NOTA: Esta página es una traducción de la Página original preparada por el Profesor Bierens. La traducción ha sido preparada con fines pedagógicos por Julio César Alonso
Cointegración corresponde al hecho que exista cierta combinación lineal de cada uno de los componentes (Xi,t, i = 1,...,k) del proceso vectorial Xt que es estacionaria, donde los cada uno de los componentes de Xt presentan una raíz unitaria, posiblemente con deriva (drift). Así,
donde Vt es un vector de dimensiones k estacionario con media cero y m es un vector de dimensiones k de derivas (drift parameters). Entonces existirá una matriz de dimensiones k ´ r de bs con rango r < k tal que b'Xt es estacionario (o estacionario al rededor de una tendencia).
Para probar que esto es posible, supongamos que Vt puede ser escrito como un proceso infinito vectorial de media móvil :
donde et es i.i.d (idénticamente e independientemente distribuido) y C(L) es un polinomio matricial en el operador de rezagos:
Donde Cj's corresponden a matrices k ´ k de coeficientes y L es el operador de rezagos (v.g., Let = et-1). Ahora, podemos expresar C(L) como
donde
Esto siempre es posible, porque
Bajo algunas condiciones de regularidad de las matrices Cj, el proceso Wt's será estacionario.
Ahora podemos escribir
expresión que por substitución hacia atrás puede ser escrita como
Aparte del vector X0 - W0 (que
realiza las funciones de un vector de interceptos) y de la tendencia lineal
mt,
la no estacionaridad de Xt se debe al termino m
Para t ® ¥ el vector aleatorio b'Wt será independiente de b'(X0 - W0), de tal forma que para t grande este último término puede ser tratado como un vector constante de interceptos. Entonces b'Xt es estacionario al rededor de una tendencia, pues b'Wt es estacionario con media cero. Las columnas de la matriz b se denominan los vectores de cointegración y el rango r de b se denomina el rango de cointegración.
Clive Granger demostró que bajo algunas condiciones de regularidad podemos escribir el proceso cointegrado Xt como un Modelo Vectorial de Corrección de Errores (VECM por su nombre en inglés Vector Error):
donde D es el operador de diferencias
(v.g.,
para algún vector g1 de dimensiones
r . Esta última condición se conoce como
restricción de cointegración para los parámetros de la
tendencia, la cual es necesaria pues de lo
contrario Xt sería un vector de procesos con raíces unitarias
con deriva lineal (linear drift)
(lo cual es raro en la práctica). Así
Como DXt es estacionario, debemos
tener que
La mayoría de las series de tiempo macroeconómicas como el PIB presentan una deriva: esta series muestan un patrón con tendencia con fluctuaciones no estacionarias al rededor de la tendencia determinística. Sin embargo, un VECM sin tendencia,
es capas de generar una deriva en Xt pues p0 actúa (de alguna manera) como un vector de parámetros de derivas. Así la deriva en el proceso Xt no es razón para incluir una tendencia en el VECM.
Deberíamos incluir una tendencia en el VECM si usted espera que:
Los componentes del vector b'Xt (o
alguno de ellos)
sean estacionarios al rededor de una tendencia.
Podemos determinar
esto mirando el gráfico de las correspondientes series.
Por ejemplo,. suponga que Xt es un proceso cointegrado
bivariado, con vector de cointegración
Xt
es estacionario al rededor de una tendencia en vez de un proceso multivariado
con procesos que poseen una raíz unitaria.
SI este es el caso, la matriz ab'
será de rango completo (k), y el VECM será un modelo VAR(p)
para Xt. estacionario al rededor de una tendencia. Una de las
pruebas de cointegración de Johansen, la prueba de traza, posee esta hipótesis
alterna.
Ahora supongamos que en el anterior VECM existe un vector g0 tal que
Esta condición es denominada restricción de cointegración para los parámetros del intercepto. Entonces el VECM puede escribirse como
En este caso los componentes de b'Xt (o
algunos de ellos) son estacionarios al rededor de una constante. Por ejemplo, el
caso bivariado con vector de cointegración
Noten que esto no significa que Xt no tiene deriva (drift), sólo implica que b'm = 0 en la ecuación b'Xt = b'(X0 - W0) + b'mt + b'Wt derivada arriba.
La aproximación de Soren Johansen es estimar el VECM por máxima verosimilitud, bajo varios supuestos entorno a los parámetros de tendentecita o del intercepto y el número de vectores de cointegración r , y después efectuar pruebas de razones de máxima verosimilitud. Assumiendo que los errores del VECM (Ut) son independientes y siguen una distribución Nk[0,S] y dada las restricciones de cointegración para los parámetros de la tendencia o del intercepto, la función de máxima verosimilitud Lmax(r) depende del rango de cointegración r. Johansen propuso 2 tipos de pruebas para r:
La prueba lambda-max.
Esta prueba está basada en la razón de máxima verosimilitud ln[Lmax(r)/Lmax(r+1)],
y se efectuada secuencialmente para r = 0,1,..,k-1. El nombre de
la prueba proviene del hecho que este estadístico corresponde al máximo valor
propio generalizado. Esta prueba corrobora la hipótesis nula de que el rango de
cointegración es r versus la alterna de que el rango de
cointegración es r+1.
La prueba de traza
Ambas pruebas siguen asintóticamente una distribución no estándar es más, dado el rango de cointegración r Johansen también derivó una razón de máxima verosimilitud para la restricción de cointegración para los parámetros de la tendencia y del intercepto.
Para más lecturas en el tema de cointegración, ver mis notas de clase (Ver notas de clase del Profesor Bierens lecture notes on cointegration) y las referencias a los documentos de Johansen al final de esta recorrido guiado.
Los datos corresponde a la base de datos de EasyReg, en especial datos trimestrales para el consumo y PIB nominales de los Estados Unidos. Las dos series se emplearán en logaritmos (use la opción Menu > Input > Transform variables).
Antes de efectuar el análisis de cointegración, debemos comrpobar si las series de tiempo involucradas corresponden a procesos con raíces unitarias, empleando la opción Menu > Data analysis > Unit root tests (root 1).
También, siempre grafique los datos para determinar si existe una deriva (drift), y si incluye una tendencia en el VECM. Los datos son graficados a continuación:
Claramente, existe evidencia fuerte de la presencia de una deriva (drift).
Las dos series aparentemente se mueven paralelamente, lo cual sugiere que se
debe emplear un VECM sin tendencia y sin restricciones de cointegración en los
parámetros del intercepto.
Abra la opción Menu > Multiple equation models > Johansen's cointegration analysis, seleccione las dos series y seleccione la opción "Intercepts only, with cointegrating restrictions imposed":
Si hacemos clic en References entonces la referencias de los documentos de Johansen
apareserán (ver el final de este documento)
en una ventana de texto.
Dado que los datos son trimestrales, podemos tambien incluir variables dummy
estacionales. Sin embargo, las series de tiempo involucradas están des-estacionalisadas,
de tal forma que esta opción no es necesaria para nuestro caso.
Haga clic en Option OK. La siguiente ventana nos deja seleciona el orden p
del VECM.
EasyReg puede hacer esto automáticamente empleando los criterios de información
de Hannan-Quinn y/o Schwarz. Dado que la aproximación de Johansen es algo
sensitiva a la escogencia de p,
yo recomiendo emplear esta opción. Si este es el caso, el valor de seleccionado
de p será únicamente el limite superior del orden del VECM.
El criterio de Hannan-Quinn sugiere emplear p = 4 y el criterio de Schwarz
sugiere p = 2. Yo recomiendo emplear el más grande de los dos::
p = 4:
Haga clic en p OK:
Haga clic en Coninue:
Aquí encontrará los resultados para las pruebas de lambda-max y traza. EasyReg
analizará automáticamente los resultados y hará una recomendación sobre el orden
de integración r.
Sin embargo, no debemos ciegamente seguir esta sugerencia, por el contrario
deberiamos obtener nuestras propias conclusiones. En este caso, sin embargo, la
sugerencia de un r = 1 parece ser adecuada, por lo menos a un nivel de
significancia del 5%.
Si estamos en desacuerdo con EasyReg, podemos ajustar el valor de r.
Haga click en Continue:
Dado que habíamos impuesto una restricción de cointegración sobre los
parámetros del intercepto, EasyReg hará una prueba de esta hipótesis. El problema es que una inspección visual de las series de tiempo involucradas
no es una manera ideal para determinar si debemos incluir o no una tendencia. Aparentemente,
las dos curvas en el gráfico de arriba no se comportan exactamente de manera paparalela,
pero esto es dificil de ver. Por tanto, debemos rehacer el análisis. Haga clic
en click Cancel y reinicie el proceso otra vez. Ahora incluyamos una tendencia en el VECM e impongamos restricciones de
cointegración en los parámetros de la tendencia.
Repitamos el proceso para seleccionar p, que en este caso corresponde al
mismo resultado anterior: p = 4.
La prueba lambda-max y traza indican que r = 1.
Ahora la restricción impuesta sobre la tendencia es aceptada, así que podemos
continuar.
SI dejamos la casilla "write output to file OUTPUT.TXT" seleccionada,
entonces todas las estimación y pruebas seran anexadas al archivo de salida (output file)
cuando hagamos clic en
Done/Other options.
Ahora tenemos dos opciones. Despues de completar estas opciones, retornaremos
a esta misma ventana.
La primera opción será discutida a continuación. Por tanto haga clic en Test
parameter restrictions.
Suponga que deseamos comprobar si el vector de cointegración es b = (-1,1)'
en vez de
(-0.973619,1)'. Para hacer esto, remplace el valor de En general debemos remplazar todas las entradas estimadas (los números entre -1
y 1)
por números fijos, excepto para los números 1, pues estos se deben a la
normalización del vector de cointegración. Si la matriz H (alias b)
tien 2 o más columnas, usted puede borrar una o más columnas pero obviamente
deberá dejar al menos una.
La hipótesis es aceptada a un nivel de confianza del 5% pero es rechazada a
un nivel de 10%.
Una manera de reconfirmar esta hipótesis es conformar la combinación lineal
implicita (empleando > Input > Transform variables)
y comprobar si corresponde a un proceso con raíz unitaria. En este caso, yo he
creado una nueva variable,
Haga clic en Done y posteriormente en Innovation response analysis.
La otra opción es efectuar un análisis (no estructural) de impulso-respuesta
similar al caso del VAR estacionario.
Yo he escogido un horizonte de respuestas de 40 periodos, que corresponde a 10
años.
HAga clic en Start. A continuación las respuestas son calculadas:
Los valores numéricos de las respuestas son reportados en esta ventana.
Usualmente estamos interesados únicamente en los gráficos de las respuestas, así
que no hay necesidad de guardar las respuestas al archivo de salida (output file).
Por tanto, podemos dejar la casilla "store output" sin seleccionar.
Haga click en Continue:
Dado que algunos de los parámetros estimados de máxima verosimilitud tienen
una distribución no-estándar, los gráficos de impulso-respuesta no son
construidos con bandas de errores estándar.
Otra diferencia con el análisis estándar de impulso-respuesta es que en
general las respuestas no tienden a cero. Por tanto los impulsos o shocks
podrian inducir cambios permanentes en los niveles, como se obserba en el
gráfico arriba.
Abajo se presenta la salida de la segunda corrida:
Análisis de cointegración en la práctica:
2da corrida
Prueba de restricciones para los parámetros
del vector de cointegración
Analisis de impulso-respuesta (Innovation response analysis)
Los Resultados
EasyReg International [August 29, 2003]
Session date: Wednesday September 3, 2003
Session time: 10:28:09
----------------------------------------------
Johansen's cointegration analysis:
Dependent variables:
Y(1) = LN[nominal consumption]
Y(2) = LN[nominal GDP]
Characteristics:
LN[nominal consumption]
First observation = 33(=1947.1)
Last observation = 223(=1994.3)
Number of usable observations: 191
Minimum value: 5.0536948E+000
Maximum value: 8.4462341E+000
Sample mean: 6.6648432E+000
LN[nominal GDP]
First observation = 33(=1947.1)
Last observation = 223(=1994.3)
Number of usable observations: 191
Minimum value: 5.4236276E+000
Maximum value: 8.8234566E+000
Sample mean: 7.0953749E+000
Information criteria:
p Hannan-Quinn Schwarz
1 -1.85644E+01 -1.83377E+01
2 -1.89468E+01 -1.85674E+01
3 -1.89676E+01 -1.84343E+01
4 -1.89808E+01 -1.82923E+01
5 -1.89483E+01 -1.81033E+01
6 -1.89272E+01 -1.79243E+01
7 -1.88742E+01 -1.77122E+01
8 -1.88427E+01 -1.75202E+01
9 -1.88489E+01 -1.73646E+01
10 -1.89132E+01 -1.72656E+01
11 -1.88816E+01 -1.70694E+01
12 -1.89056E+01 -1.69273E+01
p = 4 2
Remark: These estimates of p are only asymptotically correct.
Chosen VAR(p) order: p = 4
Error correction model
(Cointegrating restrictions on the trend parameters imposed)
z(t)-z(t-1) = A(1)(z(t-1)-z(t-2)) + .... + A(3)(z(t-3)-z(t-4) + B.H'(z(t-4)',t-4)' + c + u(t),
where:
1: z(t) is a 2-vector with components:
z(1,t) = LN[nominal consumption](t)
z(2,t) = LN[nominal GDP](t)
2: H'(z(t-4)',t-4)' = e(t-4), say, is the r-vector of error correction
terms, with H the 3xr matrix of cointegrating vectors,
3: c is a 2-vector of constants,
4: u(t) is the 2-vector of error terms.
5: t = 37(=1948.1),...,223(=1994.3).
Matrix Skk:
0.9132701 0.8989686 46.9964855
0.8989686 0.8854574 46.3370578
46.9964855 46.3370578 2451.0662661
Matrix Sko[Soo^-1]Sok:
0.0222743 0.0232121 1.2612369
0.0232121 0.0241895 1.3141306
1.2612369 1.3141306 71.7803021
Generalized Eigenvalues of Sko[Soo^-1]Sok w.r.t. Skk:
0.1645072 0.0172668 0
Corresponding Eigenvectors:
-0.9156543 -0.4378486 1
1 1 -0.9308772
-0.0011596 -0.0107648 -0.0005286
LR test (Lambda-max test) of the null hypothesis that there are r
cointegrated vectors against the alternative that there are r + 1
cointegrated vectors
Table 5: Restriction on trend imposed.
C.f. Johansen (1994), table V
critical values conclusions:
r test statistic 20% 10% 5% 20% 10% 5%
0 33.6 14.7 16.9 19.2 reject reject reject
1 3.3 8.6 10.6 23.5 accept accept accept
LR test (trace test) of the null hypothesis that there are at most r
cointegrated vectors against the alternative that there are 2
cointegrated vectors
Table 5: Restriction on trend imposed.
C.f. Johansen (1994), table V
critical values conclusions:
r test statistic 20% 10% 5% 20% 10% 5%
1 3.3 8.6 10.6 12.5 accept accept accept
0 36.9 20.3 23.0 25.4 reject reject reject
Conclusion: r =1
Standardized cointegrating vector:
-0.9156543 LN[nominal consumption]
1 LN[nominal GDP]
-0.0011596 t
Error correction model
(Cointegrating restrictions on the trend parameters imposed)
z(t)-z(t-1) = A(1)(z(t-1)-z(t-2)) + .... + A(3)(z(t-3)-z(t-4) + B.H'(z(t-4)',t-4)' + c + u(t),
where:
1: z(t) is a 2-vector with components:
z(1,t) = LN[nominal consumption](t)
z(2,t) = LN[nominal GDP](t)
2: H'(z(t-4)',t-4)' = e(t-4), say, is the 1-vector of error correction
terms, with H the 3x1 matrix of cointegrating vectors: H =
-0.9156543
1
-0.0011596
3: c is a 2-vector of constants,
4: u(t) is the 2-vector of error terms.
5: t = 37(=1948.1),...,223(=1994.3).
ML estimation results for the VECM:
Parameter names:
Elements of the matrix A(k): a(i,j,k), k=1,..,3
Components of the vector B: b(i)
Components of the vector c: c(i)
Equation 1: DIF1[LN[nominal consumption]]
Parameter ML estimate
a(1,1,1) -0.248140
a(1,2,1) 0.282982
a(1,1,2) 0.275947
a(1,2,2) 0.038602
a(1,1,3) 0.184454
a(1,2,3) -0.211952
b(1) 0.073180
c(1) -0.052540
s.e.: 8.79608E-03
R-Square: 0.2698
n: 187
Equation 2: DIF1[LN[nominal GDP]]
Parameter ML estimate
a(2,1,1) 0.382883
a(2,2,1) 0.149728
a(2,1,2) 0.390740
a(2,2,2) -0.056182
a(2,1,3) 0.185361
a(2,2,3) -0.244998
b(2) -0.071612
c(2) 0.066501
s.e.: 1.05578E-02
R-Square: 0.2808
n: 187
ML estimate of the variance matrix of u(t):
0.0000741 0.0000616
0.0000616 0.0001067
Error correction term = LN[nominal GDP](-4)
-0.915654*LN[nominal consumption](-4)
-0.001160*(t-4)
Remark: If you choose to conduct innovation response analysis,
this model will be used.
LR test of the null hypothesis that the
imposed restrictions on the trend parameters hold:
Test statistic = .23
Asymptotic null distribution: Chi-square(1)
p-value = 0.63109
Significance levels: 10% 5%
Critical values: 2.71 3.84
Conclusions: accept accept
The cointegrating vectors are calculated without imposing
restrictions on the time trend parameters.
Standardized cointegrating vector:
-0.9132153 LN[nominal consumption]
1 LN[nominal GDP]
Remark: This result will be used to test restrictions on the cointegrating vector.
Error correction model
(No cointegrating restrictions on the trend parameters imposed,
but they are assumed to hold anyway)
z(t)-z(t-1) = A(1)(z(t-1)-z(t-2)) + .... + A(3)(z(t-3)-z(t-4) + B.H'z(t-4) + C.d(t) + u(t),
where:
1: z(t) is a 2-vector with components:
z(1,t) = LN[nominal consumption](t)
z(2,t) = LN[nominal GDP](t)
2: H'z(t-4) = e(t-4), say, is the 1-vector of error correction
terms, with H the 2x1 matrix of cointegrating vectors: H =
-0.9132153
1
3: d(t) is the 2-vector of deterministic variables, with components:
d(t,1) = 1
d(t,2) = t
4: u(t) is the 2-vector of error terms.
5: t = 37(=1948.1),...,223(=1994.3).
ML estimation results for the VECM:
Parameter names:
Elements of the matrix A(k): a(i,j,k), k=1,..,3
Components of the vector B: b(i)
Elements of the matrix C: c(i,j)
Equation 1: DIF1[LN[nominal consumption]]
Parameter ML estimate
a(1,1,1) -0.250013
a(1,2,1) 0.282575
a(1,1,2) 0.272812
a(1,2,2) 0.038963
a(1,1,3) 0.183650
a(1,2,3) -0.211794
b(1) 0.067345
c(1,1) -0.045949
c(1,2) -0.000075
s.e.: 8.81848E-03
R-Square: 0.2702
n: 187
Equation 2: DIF1[LN[nominal GDP]]
Parameter ML estimate
a(2,1,1) 0.380114
a(2,2,1) 0.148980
a(2,1,2) 0.386479
a(2,2,2) -0.055845
a(2,1,3) 0.184296
a(2,2,3) -0.244799
b(2) -0.079453
c(2,1) 0.070051
c(2,2) 0.000104
s.e.: 1.05794E-02
R-Square: 0.2819
n: 187
ML estimate of the variance matrix of u(t):
0.000074 0.0000615
0.0000615 0.0001065
Error correction term = LN[nominal GDP](-4)
-0.913215*LN[nominal consumption](-4)
Null hypothesis: There exists a cointegrating vector x satisfying
x = Hy,
where y an arbitrary conformable vector.
In other words, H spans the space of cointegrating vectors.
H:
-1
1
LR test: Test statistic: 3.72. Null distr.: Chi-square(1)
Significance levels: 10% 5%
Critical values: 2.71 3.84
Conclusions: reject accept
Johansen,S. (1988), "Statistical Analysis of Cointegrating Vectors",
Journal of Economic Dynamics and Control 12, 231-254
Johansen,S. (1991), "Estimation and Hypothesis Testing of Cointegrating
Vectors in Gaussian Vector Autoregressive Models", Econometrica 59, 1551-1580
Johansen,S. (1994), "The Role of the Constant and Linear Terms in Cointegration
Analysis of Nonstationary Variables", Econometric Reviews 13(2)
Johansen,S. and K.Juselius (1990), "Maximum Likelihood Estimation and
Inference on Cointegration, with Applications to the Demand for Money",
Oxford Bulletin of Economics and Statistics 52, 169-210
NOTA: Esta página es una traducción de la Página original preparada por el Profesor Bierens. La traducción ha sido preparada con fines pedagógicos por Julio César Alonso