{"id":5673,"date":"2021-12-03T01:59:00","date_gmt":"2021-12-03T06:59:00","guid":{"rendered":"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/?p=5673"},"modified":"2025-07-21T14:47:24","modified_gmt":"2025-07-21T19:47:24","slug":"educacion-matematica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/educacion-matematica\/","title":{"rendered":"Experiencias significativas en educaci\u00f3n matem\u00e1tica"},"content":{"rendered":"<div class=\"ead-preview\"><div class=\"ead-document\" style=\"position: relative;\"><div class=\"ead-iframe-wrapper\"><iframe src=\"\/\/docs.google.com\/viewer?url=https%3A%2F%2Frepository.icesi.edu.co%2Fbiblioteca_digital%2Fbitstream%2F10906%2F113955%2F1%2Fagudelo_experiencias_significativas_2023.pdf&amp;embedded=true&amp;hl=en\" title=\"Embedded Document\" class=\"ead-iframe\" style=\"width: 0px;height: 0px;border: none;visibility: hidden;\"><\/iframe><\/div>\t\t\t<div class=\"ead-document-loading\" style=\"width:100%;height:100%;position:absolute;left:0;top:0;z-index:10;\">\n\t\t\t\t<div class=\"ead-loading-wrap\">\n\t\t\t\t\t<div class=\"ead-loading-main\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"ead-loading\">\n\t\t\t\t\t\t\t<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/plugins\/embed-any-document\/images\/loading.svg\" width=\"55\" height=\"55\" alt=\"Loader\">\n\t\t\t\t\t\t\t<span>Loading...<\/span>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<div class=\"ead-loading-foot\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"ead-loading-foot-title\">\n\t\t\t\t\t\t\t<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/plugins\/embed-any-document\/images\/EAD-logo.svg\" alt=\"EAD Logo\" width=\"36\" height=\"23\"\/>\n\t\t\t\t\t\t\t<span>Taking too long?<\/span>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<p>\n\t\t\t\t\t\t\t<div class=\"ead-document-btn ead-reload-btn\" role=\"button\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/plugins\/embed-any-document\/images\/reload.svg\" alt=\"Reload\" width=\"12\" height=\"12\"\/> Reload document\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t<span>|<\/span>\n\t\t\t\t\t\t\t<a href=\"https:\/\/repository.icesi.edu.co\/biblioteca_digital\/bitstream\/10906\/113955\/1\/agudelo_experiencias_significativas_2023.pdf\" class=\"ead-document-btn\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">\n\t\t\t\t\t\t\t\t<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/plugins\/embed-any-document\/images\/open.svg\" alt=\"Open\" width=\"12\" height=\"12\"\/> Open in new tab\t\t\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div><p class=\"embed_download\"><a href=\"https:\/\/repository.icesi.edu.co\/biblioteca_digital\/bitstream\/10906\/113955\/1\/agudelo_experiencias_significativas_2023.pdf\" download target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Download\/Descargar <\/a><\/p><\/div>\n<strong>T\u00edtulo completo:<\/strong> Experiencias significativas en educaci\u00f3n matem\u00e1tica.<br \/>\n<strong>Editores acad\u00e9micos:<\/strong> David Ben\u00edtez Mojica, Hendel Yaker Agudelo y Henry Arley Taquez.<br \/>\n<strong>Autores:<\/strong> Edilma Quiceno Mesa, Yolanda Gir\u00f3n Colorado, Liliana Margarita Plaza Lafaurie, Luis Alberto Mosquera, Yenny Cifuentes Bocanegra, Yari Carime Riascos Moscoso, Manuel Alberto Marinez Castillo, Juli\u00e1n Enrique C\u00f3rdoba, Hevert Marin Castillo, Yeni Marcela Betancur Aristiz\u00e1bal, Urbano Rengifo Hern\u00e1ndez, Natalia Amu Mancilla, Jenny Carolina Choc\u00f3 Polo, Diana Marcela Escobar Mu\u00f1oz, David Ben\u00edtez Mojica, Hendel Yaker Agudelo y Henry Arley Taquez.<br \/>\n<strong>Editorial:<\/strong> Universidad Icesi.<br \/>\n<strong>A\u00f1o 1era edici\u00f3n:<\/strong> 2021 \/ <strong>ISBN:<\/strong> 978-958-5184-31-2 (HTML).<br \/>\n<strong>A\u00f1o 2da edici\u00f3n:<\/strong> 2023 \/ <strong>ISBN:<\/strong> 978-628-7630-17-8 (PDF).<br \/>\n<span id=\"post-ratings-5673\" class=\"post-ratings\" data-nonce=\"28b25a94a3\"><img decoding=\"async\" id=\"rating_5673_1\" src=\"https:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/plugins\/wp-postratings\/images\/stars_crystal\/rating_on.gif\" alt=\"1 estrella\" title=\"1 estrella\" onmouseover=\"current_rating(5673, 1, '1 estrella');\" onmouseout=\"ratings_off(4.7, 5, 0);\" onclick=\"rate_post();\" onkeypress=\"rate_post();\" style=\"cursor: pointer; 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Yaker Agudelo, H. y Taquez, H. A. (eds.) (2021). <i>Experiencias significativas en educaci\u00f3n matem\u00e1tica<\/i>. Cali, Colombia: Editorial Universidad Icesi. DOI: <a href=\"https:\/\/doi.org\/10.18046\/EUI\/disc.4.2023\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">https:\/\/doi.org\/10.18046\/EUI\/disc.4.2023<\/a><\/p>\n<div class=\"osc-res-tab tabbable   osc-tabs-left\"><div style=\"clear:both;width: 100%;\"><ul class=\"nav osc-res-nav nav-pills osc-tabs-left-ul\" id=\"oscitas-restabs-1-educacion-matematica-58126\"><li class=\"active\"><a href=\"#ert_pane1-0\" data-toggle=\"tab\">Contenido<\/a><\/li><li class=\"\"><a href=\"#ert_pane1-1\" data-toggle=\"tab\">Pr\u00f3logo<\/a><\/li><li class=\"\"><a href=\"#ert_pane1-2\" data-toggle=\"tab\">I<\/a><\/li><li class=\"\"><a href=\"#ert_pane1-3\" data-toggle=\"tab\">II<\/a><\/li><li class=\"\"><a href=\"#ert_pane1-4\" data-toggle=\"tab\">III<\/a><\/li><li class=\"\"><a href=\"#ert_pane1-5\" data-toggle=\"tab\">IV<\/a><\/li><li class=\"\"><a href=\"#ert_pane1-6\" data-toggle=\"tab\">Autores<\/a><\/li><li class=\"\"><a href=\"#ert_pane1-7\" data-toggle=\"tab\">Anexos<\/a><\/li><\/ul><\/div><div style=\"clear:both;width: 100%;\"><ul class=\"tab-content\" id=\"oscitas-restabcontent-1-educacion-matematica-58126\"><li class=\"tab-pane active\" id=\"ert_pane1-0\"><u>Tabla de contenido<\/u><\/p>\n<p>Pr\u00f3logo. Geogebra: mucho m\u00e1s que aprendizaje de las matem\u00e1ticas<br \/>\n<i>Ana Luc\u00eda Paz Rueda<\/i><\/p>\n<p><strong>Cap\u00edtulo I \/ Marcos te\u00f3ricos y metodol\u00f3gicos para el desarrollo de la competencia de resoluci\u00f3n de problemas con la mediaci\u00f3n de tecnolog\u00edas digitales<\/strong><br \/>\n<i>David Ben\u00edtez Mojica, Hendel Yaker Agudelo y Henry Arley Taquez<\/i><\/p>\n<p><strong>Cap\u00edtulo II \/ Experiencias significativas en la educaci\u00f3n matem\u00e1tica de la primaria<\/strong><\/p>\n<ul>Experiencia 1. Estudio sobre la resoluci\u00f3n de problemas de geometr\u00eda con estudiantes de cuarto grado de primaria, empleando Geogebra y material manipulativo<br \/>\n<i>Edilma Quiceno Mesa<\/i><\/p>\n<p>Experiencia 2. Uso de la geometr\u00eda en el dise\u00f1o de recipientes para crispetas<br \/>\n<i>Yolanda Gir\u00f3n Colorado, Liliana Margarita Plaza Lafaurie y Luis Alberto Mosquera<\/i><\/p>\n<p>Experiencia 3. Geogebra en la ense\u00f1anza del concepto de simetr\u00eda axial. Una experiencia monstruosa en grado tercero<br \/>\n<i>Yenny Cifuentes Bocanegra y Yari Carime Riascos Moscoso<\/i><\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<strong>Cap\u00edtulo III \/ Experiencias significativas en educaci\u00f3n matem\u00e1tica en el nivel de Bachillerato<\/strong><\/p>\n<ul>\nExperiencia 1. Resortes concepto de funci\u00f3n y modelaci\u00f3n<br \/>\n<i>Manuel Alberto Marinez Castillo, Juli\u00e1n Enrique C\u00f3rdoba y Hevert Marin Castillo<\/i><\/p>\n<p>Experiencia 2. Una actividad de generalizaci\u00f3n para el desarrollo del pensamiento algebraico<br \/>\n<i>Yeni Marcela Betancur Aristiz\u00e1bal y Urbano Rengifo Hern\u00e1ndez<\/i><\/p>\n<p>Experiencia 3. El dise\u00f1o de un ambiente de aprendizaje, a partir del software GeoGebra, de los elementos de una funci\u00f3n lineal con estudiantes de grado octavo<br \/>\n<i>Natalia Amu Mancilla, Jenny Carolina Choc\u00f3 Polo y Diana Marcela Escobar Mu\u00f1oz<\/i><\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<strong>Cap\u00edtulo IV \/ Experiencias significativas en educaci\u00f3n matem\u00e1tica en el nivel Universitario<\/strong><\/p>\n<ul>\nExperiencia 1. Una experiencia de aprendizaje con Geogebra Classroom en formaci\u00f3n de profesores de matem\u00e1tica<br \/>\n<i>Elena Freire-Gard, Cintya Gonzales Hern\u00e1ndez y Oneida Quiroga Gonz\u00e1lez<\/i><\/p>\n<p>Experiencia 2. Estimaci\u00f3n del \u00e1rea del lago en forma de coraz\u00f3n. Una experiencia mediada por GeoGebra<br \/>\n<i>Yasm\u00edn Johanna Garc\u00eda<\/i><\/p>\n<p>Experiencia 3. Soluci\u00f3n de un problema de optimizaci\u00f3n con ayuda de GeoGebra<br \/>\n<i>Paula Andrea Gonz\u00e1lez Parra y Lina Esperanza Soto Archila<\/i><\/p>\n<p>Experiencia 4. La resoluci\u00f3n de problemas en contexto real con la mediaci\u00f3n de GeoGebra<br \/>\n<i>Yenni Mina Mosquera y Sandra Lorena Chavarria Bueno<\/i><\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\nSobre los autores<br \/>\nAnexos<br \/><\/li><li class=\"tab-pane \" id=\"ert_pane1-1\"><u>Pr\u00f3logo<\/u><\/p>\n<p><strong style=\"color:#F1C40F;\">Geogebra: mucho m\u00e1s que aprendizaje de las matem\u00e1ticas<\/strong><br \/>\n<i>Ana Luc\u00eda Paz Rueda<\/i><br \/>\nDecana escuela Ciencias de la Educaci\u00f3n, Universidad Icesi.<\/p>\n<p>Las ideas consignadas en este libro toman especial relevancia en el marco del proyecto educativo institucional -PEI- de la Universidad icesi. Desde su nacimiento y posteriores y recientes desarrollos a lo largo de 25 a\u00f1os, hemos tenido especial inter\u00e9s en impulsar el aprendizaje de la matem\u00e1tica reconociendo su importancia en distintos sentidos y dimensiones: por una parte, sin duda, el valor disciplinar del saber matem\u00e1tico para distintas \u00e1reas del conocimiento y por otra, igualmente relevante, el valor de la matem\u00e1tica como lenguaje que ayuda a comprender y a traducir diferentes dimensiones de la realidad y, sobre todo, a desarrollar distintos tipos y elementos de pensamiento.<\/p>\n<p>Por eso desde el Departamento de Matem\u00e1ticas, integrado a la Escuela de Ciencias de la Educaci\u00f3n, propendemos por un aprendizaje que, desde las matem\u00e1ticas, contribuya a que los estudiantes desarrollen distintas habilidades de orden superior como la proposici\u00f3n y resoluci\u00f3n de problemas, la modelaci\u00f3n matem\u00e1tica, la abstracci\u00f3n, la representaci\u00f3n desde diferentes registros semi\u00f3ticos (identificaci\u00f3n, tratamiento, conversi\u00f3n), todo ello apelando a distintas estrategias cognitivas (memoria, interpretaci\u00f3n, an\u00e1lisis s\u00edntesis, etc.), metacognitivas (sentido, apropiaci\u00f3n y valoraci\u00f3n del propio aprendizaje) y, no menos importante, atendiendo al sistema de creencias. Pocas veces un \u00e1rea del saber ha gozado de tantos problemas de aprendizaje y de tanto desprestigio como las matem\u00e1ticas. Los sistemas de creencias afectan el desempe\u00f1o de los alumnos y el nivel en el que logran el desarrollo de su proceso intelectual. Las investigaciones y acciones que los docentes consignan en este libro, dan cuenta de ello. Y en todas estas dimensiones cognitivas, metacognitivas y valorativas el texto que tenemos entre manos hace aportes interesantes.<\/p>\n<p>Es muy importante mencionar que estos desarrollos de investigaci\u00f3n aplicada se dan en el marco de la alianza interinstitucional del Instituto Geogebra en el que participan varias universidades de la regi\u00f3n: Univalle, Javeriana, Antonio Jos\u00e9 Camacho, Aut\u00f3noma e Icesi. Esto habla de la importancia del trabajo conjunto para avanzar en la superaci\u00f3n estos problemas que aquejan el aprendizaje de la matem\u00e1tica. Los esfuerzos de este grupo de universidades, han trascendido las fronteras locales y, a trav\u00e9s de distintos procesos formativos en el uso de Geogebra, han llegado incluso a otros pa\u00edses y han promovido el aprendizaje entre pares de distintas latitudes.<\/p>\n<p>El libro, desde distintas apuestas y perspectivas, nos invita a la reflexi\u00f3n sobre la ense\u00f1anza\/aprendizaje de las matem\u00e1ticas haciendo uso enfocado, intencionado y pedag\u00f3gico de las TIC, (Geogebra en particular).<\/p>\n<p>En un primer cap\u00edtulo introductorio, los autores Ben\u00edtez, Yaker y T\u00e1quez, adem\u00e1s de compendiar los documentos que constituyen el libro, nos presentan importantes bases te\u00f3ricas y metodol\u00f3gicas propicias para el desarrollo profesional de los docentes de matem\u00e1ticas en distintos niveles escolares.<\/p>\n<p>Nos llaman la atenci\u00f3n sobre asuntos clave en relaci\u00f3n con el rol del educador como dise\u00f1ador de ambientes de aprendizaje, sobre la atenci\u00f3n a la dimensi\u00f3n semi\u00f3tica de la ense\u00f1anza de las matem\u00e1ticas, sobre la necesidad de trabajar perspectivas constructivistas y sobre c\u00f3mo todo ello es posible si se hacen abordajes adecuados.<\/p>\n<p>Hacen un nutrido recuento sobre distintos enfoques te\u00f3rico-metodol\u00f3gicos y llama la atenci\u00f3n la reconstrucci\u00f3n que hacen sobre la importancia de la resoluci\u00f3n de problemas c\u00f3mo v\u00eda principal para el aprendizaje de las matem\u00e1ticas. Lo usan como herramienta heur\u00edstica de primer nivel pues al centrarse en la resoluci\u00f3n de problemas, lo que est\u00e1n haciendo es impulsar a trav\u00e9s de la comprobaci\u00f3n, la reflexi\u00f3n, la generalizaci\u00f3n, etc\u00e9tera, las distintas formas de razonamiento que se van desarrollando en torno a dicho problema.<\/p>\n<p>Otro asunto clave es que rescatan la fuerza que las preguntas tienen como recurso pedag\u00f3gico para el saber matem\u00e1tico. Las preguntas tienen alcance cognitivo, metacognitivo y valorativo y contribuyen a la superaci\u00f3n de las barreras para el aprendizaje y a la construcci\u00f3n de hip\u00f3tesis como gu\u00eda para resolver problemas.<\/p>\n<p>En otra dimensi\u00f3n, se detienen en la importancia de las tecnolog\u00edas digitales y destacan el valor de Geogebra que permite a docentes y estudiantes relacionarse con distintos objetos y operaciones matem\u00e1ticas en el marco de un proceso fenomenol\u00f3gico donde la interacci\u00f3n y el movimiento tienen un valor pedag\u00f3gico fundamental. Todo esto privilegiando las aplicaciones en contextos reales.<\/p>\n<p>El cap\u00edtulo es el abrebocas perfecto para los cap\u00edtulos siguientes que describen experiencias significativas del desarrollo de saberes matem\u00e1ticos mediante Geogebra en niveles de primaria, y bachillerato tanto en instituciones educativas p\u00fablicas como privadas, muchas de ellas en contextos dif\u00edciles y vulnerables de la ciudad de Cali.<\/p>\n<p>En el segundo cap\u00edtulo se abordan experiencias de primaria. Son muy importantes porque es precisamente en esta edad cuando deben potenciarse todas las posibilidades para el m\u00e1ximo desarrollo de las habilidades matem\u00e1ticas y minimizar los riesgos actitudinales.<\/p>\n<p>Las investigaciones aplicadas se hicieron alrededor de diferentes grados, temas y objetivos de aprendizaje. Podemos leer con placer experiencias diversas que van desde problemas b\u00e1sicos de geometr\u00eda, hasta la simetr\u00eda axial. Es especialmente valioso ver apuestas pedag\u00f3gicas s\u00f3lidas, bien dise\u00f1adas, ajustadas a distintos grupos de edad y con aplicaciones pr\u00e1cticas a problemas acordes con la edad.<\/p>\n<p>M\u00e1s all\u00e1 del valor de entender la importancia de la conjetura geom\u00e9trica y las propiedades de los tri\u00e1ngulos, es relevante comprobar c\u00f3mo los estudiantes a trav\u00e9s de estos procesos que los docentes proponen, exploran, manipulan material, comunican ideas, solucionan problemas y desarrollan estrategias de visualizaci\u00f3n.<\/p>\n<p>Interesante tambi\u00e9n descubrir la reflexi\u00f3n de los profesores sobre sus propias transformaciones a lo largo de los proyectos.<\/p>\n<p>Espec\u00edficamente, la profesora Quiceno se detiene en la descripci\u00f3n del dise\u00f1o metodol\u00f3gico que us\u00f3, su validaci\u00f3n, recolecci\u00f3n y an\u00e1lisis de los datos y da cuenta de la integraci\u00f3n del proceso de investigaci\u00f3n como veh\u00edculo para construcci\u00f3n del conocimiento matem\u00e1tico. Queda claro al leerla que, usando Geogebra, logra en estudiantes de edades tempranas, el desarrollo de concepciones, percepciones y capacidades para conceptualizar, adem\u00e1s del dominio espec\u00edfico del saber matem\u00e1tico que se propone. As\u00ed vemos como salta de la construcci\u00f3n de conjeturas en un contexto geom\u00e9trico a entender c\u00f3mo el proceso deriva en que los estudiantes conocen las leyes que rigen los tri\u00e1ngulos, los visualizan, encuentran patrones, regularidades, invariancias y representan de manera visual, tabular y verbal. Estos son saberes que se transfieren, sin duda, a otras \u00e1reas del conocimiento.<\/p>\n<p>En un segundo proyecto, los autores Plaza y Mosquera usan como excusa el dise\u00f1o de un recipiente para crispetas para aprender geometr\u00eda, espec\u00edficamente enfocada en el an\u00e1lisis de los cuadril\u00e1teros. De nuevo, los estudiantes de una I.E. experimentaron c\u00f3mo la geometr\u00eda es excusa para el trabajo individual, la creatividad, la responsabilidad al mismo tiempo que aprend\u00edan a visualizar un \u00e1ngulo o una superficie. Las autoras adem\u00e1s usan pruebas de diagn\u00f3stico para dejarnos ver el nivel de conocimiento o desarrollo de la competencia antes y despu\u00e9s de su proceso de trabajo y nos muestran c\u00f3mo el uso del programa Geogebra, facilita los aprendizajes a la vez que generan adhesi\u00f3n al saber matem\u00e1tico. Sin duda, el asunto contextual y creativo en relaci\u00f3n con el recipiente de crispetas genera adem\u00e1s inter\u00e9s y vinculaci\u00f3n.<\/p>\n<p>Cifuentes y Riascos nos presentan una experiencia did\u00e1ctica en estudiantes de edades tempranas con escasa experiencia en uso de software. En esta investigaci\u00f3n aplicada, usando la met\u00e1fora de \u201cla fiesta de los monstruos\u201d, integraron habilidades de ciencias, matem\u00e1ticas, art\u00edsticas y lenguaje para que mediara en la construcci\u00f3n de conocimientos.<\/p>\n<p>Espec\u00edficamente en matem\u00e1ticas se interesaron por el pensamiento espacial y los sistemas geom\u00e9tricos. Al tiempo que sus estudiantes aprend\u00edan a relacionar objetos, clasificarlos e interpretar y comparar sus propiedades, desde la perspectiva del arte los objetos geom\u00e9tricos se llenaban de color formas y texturas y desde el \u00e1rea de Ciencias esas formas se refer\u00edan a la naturaleza. As\u00ed, integrando distintos saberes resolvieron problemas complejos que les implic\u00f3 no solo el dise\u00f1o integrado entre \u00e1reas sino el dise\u00f1o de recursos y materiales y procesos de validaci\u00f3n y an\u00e1lisis que van mucho m\u00e1s all\u00e1 de la matem\u00e1tica.<\/p>\n<p>En el tercer cap\u00edtulo los autores nos presentan experiencias en educaci\u00f3n matem\u00e1tica en el nivel de bachillerato. Este segmento re\u00fane tres investigaciones: una centrada en el concepto de funci\u00f3n y modelaci\u00f3n, otra centrado en la generalizaci\u00f3n para el desarrollo del pensamiento algebraico y otra concentrada en la funci\u00f3n lineal.<\/p>\n<p>En el primero, Marines, C\u00f3rdoba y Mar\u00edn abordan los conceptos de funci\u00f3n y modelaci\u00f3n anclados al pensamiento num\u00e9rico, al razonamiento y resoluci\u00f3n de problemas. Desarrollan las funciones mediante representaci\u00f3n verbal, num\u00e9rica, gr\u00e1fica y algebraica usando ejemplos y aplicaciones al mundo real o contextualizado. De nuevo, la identificaci\u00f3n de variables, el empleo de la funci\u00f3n lineal y la representaci\u00f3n y la tabulaci\u00f3n se aprenden simult\u00e1neamente con habilidades para el aprendizaje individual y colectivo.<\/p>\n<p>Enfrentarse a problemas concretos en esos contextos sencillos y claros, muestran el valor del uso del software para verificar c\u00f3mo la inferencia, la explicaci\u00f3n, el an\u00e1lisis, la s\u00edntesis y las conclusiones reinaron m\u00e1s all\u00e1 de identificar los elementos b\u00e1sicos de la funci\u00f3n y las variables dependientes e independientes. Los estudiantes comprendieron la intenci\u00f3n de la modelaci\u00f3n y la pusieron al servicio de la situaci\u00f3n-problema y qued\u00f3 claro que con el camino de la indagaci\u00f3n se vence miedo al aprendizaje de las matem\u00e1ticas.<\/p>\n<p>En este mismo sentido, Betancourt y Rengifo, cuando se acercan a la generalizaci\u00f3n en contextos geom\u00e9tricos, lo que encuentran es el desarrollo de capacidades para identificar patrones y regularidades en los estudiantes. As\u00ed mostraron c\u00f3mo ense\u00f1ar a pensar algebraicamente es posible yendo m\u00e1s all\u00e1 del uso de signos y letras y nos muestran con ejemplos ricos en experiencias de aprendizaje, las m\u00faltiples aristas desde las que se puede dar la ense\u00f1anza de las matem\u00e1ticas con ayuda de Geogebra.<\/p>\n<p>Finalmente, Amu, Choc\u00f3 y Escobar nos presentan su proyecto centrado en la funci\u00f3n lineal. Se\u00f1alan c\u00f3mo los estudiantes usan la funci\u00f3n lineal y c\u00f3mo determinan la relaci\u00f3n entre pendiente y rectas paralelas y perpendiculares, pero, sobre todo, dan cuenta del valor de la socializaci\u00f3n para el aprendizaje cooperativo y de la construcci\u00f3n colectiva del conocimiento y del valor de la argumentaci\u00f3n para construir ideas s\u00f3lidas e hip\u00f3tesis.<\/p>\n<p>Todos los proyectos describen los contextos, aplican pruebas diagn\u00f3sticas, explican el dise\u00f1o pedag\u00f3gico y did\u00e1ctico y dan las razones para ello, exponen claramente las metodolog\u00edas, los resultados y las rutas de an\u00e1lisis, dan valor al material con el que se trabaj\u00f3, explican en profundidad los resultados que obtuvieron y en todos ellos el uso del software Geogebra fue el protagonista para mostrar no solo como logran impulsar el saber matem\u00e1tico y algebraico sino como ayuda a transformar la disposici\u00f3n para la ense\u00f1anza de la disciplina.<\/p>\n<p>Agradezco la invitaci\u00f3n a presentar el libro. Valoro enormemente el inter\u00e9s de estos docentes por hacer investigaci\u00f3n en el aula sin, necesariamente tener experiencia en ello, y sobre todo exalto su compromiso con la transformaci\u00f3n de la ense\u00f1anza de las matem\u00e1ticas.<\/p>\n<p>Por todo ello invito a leer el libro, a entender el valor pedag\u00f3gico de Geogebra en particular y de las TIC en general y a seguir construyendo m\u00e1s y mejores rutas para ense\u00f1ar matem\u00e1ticas y, sobre todo, para lograr que nuestros estudiantes tengan pasi\u00f3n por aprenderlas, tal como pretende nuestro proyecto educativo.<br \/><\/li><li class=\"tab-pane \" id=\"ert_pane1-2\"><u>Cap\u00edtulo I<\/u><\/p>\n<p><strong style=\"color:#F1C40F;\">Marcos te\u00f3ricos y metodol\u00f3gicos para el desarrollo de la competencia de resoluci\u00f3n de problemas con la mediaci\u00f3n de tecnolog\u00edas digitales<\/strong><br \/>\n<i>David Ben\u00edtez Mojica<a href=\"#Cap1-0\" style=\"color:#F1C40F;\"><sup>[*]<\/sup><\/a>, Hendel Yaker Agudelo y Henry Arley Taquez<\/i><\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Resumen<\/strong><br \/>\nEl presente cap\u00edtulo tiene como prop\u00f3sito central presentar las bases te\u00f3ricas y metodol\u00f3gicas de un programa de desarrollo profesional docente para profesores de matem\u00e1ticas de diferentes niveles escolares, orientado al proceso de dise\u00f1o de actividades de aprendizaje, fundamentado en la resoluci\u00f3n de problemas y con la mediaci\u00f3n de GeoGebra.<br \/>\n<u style=\"color:#B695C0;\">Palabras clave<\/u>: desarrollo profesional docente, profesores de matem\u00e1ticas, Resoluci\u00f3n de problemas, GeoGebra.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#F1C40F;\">1. Algunos antecedente<\/strong><br \/>\nEn el 2015, con el objetivo de \u201ccontribuir al impulso de una educaci\u00f3n de calidad en la ciudad y la regi\u00f3n\u201d, nace en la Universidad ICESI la Escuela de Ciencias de la Educaci\u00f3n (ECE). Uno de los grupos de investigaci\u00f3n adscritos a la Escuela es IRTA, Investigaci\u00f3n en Recursos y Teor\u00edas para el Aprendizaje, que desarrolla investigaciones en educaci\u00f3n y pedagog\u00eda a trav\u00e9s de varias l\u00edneas de acci\u00f3n, entre las que se incluye la Aplicaci\u00f3n de las Tecnolog\u00edas de Informaci\u00f3n y Comunicaci\u00f3n (TIC) como apoyo al proceso de ense\u00f1anza aprendizaje, enmarcado en la propuesta de Metodolog\u00eda Activa: en el <a href=\"https:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/pei-icesi\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Proyecto Educativo de la Universidad Icesi y el aprendizaje activo<\/a> se afirma que los tres elementos indispensables en cualquier estrategia de aprendizaje activo son: lograr el compromiso de los estudiantes, reconocer que existen diferentes estilos de aprendizaje y las buenas preguntas (Gonz\u00e1lez, 1998).<\/p>\n<p>Con la promoci\u00f3n de actividades acad\u00e9micas en el \u00e1mbito de la Educaci\u00f3n, la ECE apoya la participaci\u00f3n de la Universidad en la creaci\u00f3n del Instituto GeoGebra Cali (IG Cali), que recibe su aval como instituto local en 2016. El IG Cali brinda apoyo a las actividades de docencia e investigaci\u00f3n en educaci\u00f3n matem\u00e1tica en sus Instituciones Educativas del Nivel Superior<a href=\"#Cap1-1\" style=\"color:#F1C40F;\"><sup>[1]<\/sup><\/a>. Las actividades del IG Cali se enmarcan en la perspectiva metodol\u00f3gica de soluci\u00f3n de problemas (Santos, 2008; Moreno, 1992; Santos y Ben\u00edtez, 2003; Schoenfeld, 1985; Schoenfeld, 1992; Lanza y Schey, 2006; De Guzm\u00e1n, 2007), donde la idea central, como propuesta did\u00e1ctica, es promover en los estudiantes formas de pensar consistentes con el quehacer de la disciplina, comprometi\u00e9ndolos en procesos de construcci\u00f3n matem\u00e1tica. La soluci\u00f3n de problemas es, entonces, un m\u00e9todo apropiado para poner en pr\u00e1ctica el principio general de aprendizaje activo, haciendo \u00e9nfasis en los procesos de pensamiento y de aprendizaje.<\/p>\n<p>En 2018 se produce un acercamiento entre IRTA e IG Cali que pretende aunar esfuerzos para estudiar y proponer soluciones a un problema evidenciado en los datos emp\u00edricos que arroja el seguimiento que hace el IG Cali, desde su constituci\u00f3n en 2016,a los cursos de matem\u00e1ticas de los ciclos b\u00e1sicos en las cinco instituciones universitarias: los diagn\u00f3sticos de entrada para los estudiantes que toman este primer curso muestran que la mayor\u00eda de ellos ni siquiera tienen las destrezas operativas m\u00ednimas de aritm\u00e9tica y tampoco han incorporado registros b\u00e1sicos de representaci\u00f3n, algebraicos o gr\u00e1ficos, que les permitan comunicarse en contextos matematizados. Pero tambi\u00e9n preocupa el impacto que tiene esta primera experiencia de matem\u00e1ticas universitarias: los diagn\u00f3sticos de salida para esos estudiantes (o los de entrada para el curso siguiente en la l\u00ednea de prerrequisitos) arrojan b\u00e1sicamente los mismos resultados, a pesar de todo el proceso llevado a cabo durante el semestre.<\/p>\n<p>De esta manera, surge el proyecto de investigaci\u00f3n: soluci\u00f3n de problemas con GeoGebra, cuyos objetivos principales son: i) formular una propuesta alternativa de dise\u00f1o curricular para el primer curso de matem\u00e1ticas de la Universidad ICESI y ii) proponer estrategias de desarrollo profesional docente donde se promueva el uso de TIC en el aula de clase.<\/p>\n<p>Nuestro primer acuerdo es que las propuestas del Ministerio de Educaci\u00f3n Nacional (MEN) como los Lineamientos Curriculares de Matem\u00e1ticas (MEN, 1998) y los Est\u00e1ndares B\u00e1sicos de Competencias en Matem\u00e1ticas (MEN, 2006) ofrecen unas perspectivas te\u00f3ricas y metodol\u00f3gicas para la Educaci\u00f3n Matem\u00e1tica nacional que, tal vez, no hayan sido suficientemente aprovechadas, y que tienden un puente natural para facilitar el proceso de transici\u00f3n de la educaci\u00f3n media a la superior. El MEN plantea una estructura fundamental para la matem\u00e1tica escolar compuesta por conocimientos b\u00e1sicos, procesos de pensamiento matem\u00e1tico y contextos que den sentido a la actividad matem\u00e1tica del estudiante. Como estrategia metodol\u00f3gica, la educaci\u00f3n por competencias le apunta a la adquisici\u00f3n del conocimiento mediante la acci\u00f3n, este implica el reto curricular de la integraci\u00f3n entre las diferentes \u00e1reas del conocimiento y, a la vez, demanda ambientes que doten de significado los aprendizajes: \u201cUn ambiente de aprendizaje es un espacio estructurado en donde confluyen estudiantes y profesores que interact\u00faan con la intenci\u00f3n de que ocurran aprendizajes ofreciendo oportunidades para que los estudiantes construyan conceptos, desarrollen habilidades de pensamiento, valores y actitudes\u201d (MEN, 2014, p. 17).<\/p>\n<p>Las experiencias acumuladas de investigaci\u00f3n de los dos grupos nos arrojan un panorama inicial donde es claro que las propuestas educativas actuales, presentes ya en la educaci\u00f3n b\u00e1sica y media colombiana bajo la orientaci\u00f3n de los <i>Lineamientos Curriculares<\/i>, incorporan estrategias basadas en el desarrollo de competencias y marcos conceptuales sobre diferentes niveles de uso y apropiaci\u00f3n de las nuevas tecnolog\u00edas.<\/p>\n<p>Podemos resaltar algunos aspectos centrales de estas tendencias sobre los que parece existir acuerdo entre los especialistas que nos alertan sobre la importancia de buscar mecanismos concretos para atraer a los profesores hacia su consideraci\u00f3n y estudio:<\/p>\n<ul>\n<li>Las nuevas tecnolog\u00edas est\u00e1n afectando tanto la manera de investigar como los temas de investigaci\u00f3n en Matem\u00e1ticas. Necesariamente deben afectar, tambi\u00e9n, los dise\u00f1os curriculares para la matem\u00e1tica escolar, incluidos los pregrados. La presencia de las tecnolog\u00edas digitales en el aula producir\u00e1 una serie de cambios en las decisiones que tome el profesor (contenidos, metodolog\u00edas de trabajo, evaluaci\u00f3n), y en los roles que desempe\u00f1e \u00e9l y sus estudiantes dentro del aula de matem\u00e1ticas.<\/li>\n<li>La nueva din\u00e1mica de producci\u00f3n y adquisici\u00f3n de conocimiento cambia el enfoque: la atenci\u00f3n no debe centrarse en los contenidos, sino en los procesos centrales de pensamiento<a href=\"#Cap1-2\" style=\"color:#F1C40F;\"><sup>[2]<\/sup><\/a>.<\/li>\n<li>El rol del educador se concibe como el de un dise\u00f1ador de ambientes de aprendizaje que propone situaciones problema para promover el desarrollo del pensamiento matem\u00e1tico, valida la producci\u00f3n matem\u00e1tica de los estudiantes (tanto a nivel individual como en la negociaci\u00f3n social de significados en el aula) y garantiza el adecuado manejo de valores humanos en todos los procesos de interacci\u00f3n impl\u00edcitos en el contexto social de la escuela.<\/li>\n<li>Es fundamental concebir la matem\u00e1tica escolar esencialmente como una actividad y no como un producto terminado, y debe prestarse cuidadosa atenci\u00f3n a la dimensi\u00f3n semi\u00f3tica de esta actividad.<\/li>\n<li>Los profesores universitarios deben experimentar por s\u00ed mismos tanto las posibilidades que ofrecen las nuevas tecnolog\u00edas como las posibles \u201ctrampas\u201d que tienden (Santos Trigo, 2019) para que puedan alcanzar la idoneidad necesaria en sus propuestas curriculares.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\nEn el proyecto adoptamos una visi\u00f3n constructivista del conocimiento respaldada actualmente por varios investigadores, con planteamientos como los que nos permitimos resumir a continuaci\u00f3n:<\/p>\n<ul>\n<li>Lo esencial en la actividad del estudiante es la construcci\u00f3n de significados asociados a su propia experiencia, pero este proceso necesariamente debe socializarse \u201cnegociando significados\u201d en la comunidad con la que interact\u00faa, el sal\u00f3n de clase (Moreno, 1992).<\/li>\n<li>Los problemas de aprendizaje matem\u00e1tico no pueden desligarse del contexto sociocultural espec\u00edfico del sujeto que aprende; es precisamente en el contexto donde se encuentran los sistemas de interpretaci\u00f3n de las acciones de los estudiantes sobre los objetos matem\u00e1ticos (D\u2019amore, 2004).<\/li>\n<li>La incorporaci\u00f3n de las TIC en el ambiente escolar supone nuevas reflexiones sobre las relaciones did\u00e1cticas en el proceso de construcci\u00f3n del conocimiento (Artigue, 2011).<\/li>\n<li>El trabajo fue orientado por un equipo interdisciplinario de profesores expertos en ense\u00f1anza de las matem\u00e1ticas, que est\u00e1n adscritos a las cinco universidades que respaldan el IG-Cali.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\nAnte el impacto de la revoluci\u00f3n tecnol\u00f3gica y la necesidad de atender la dimensi\u00f3n semi\u00f3tica de la actividad matem\u00e1tica, la reflexividad del profesor cobra mayor importancia en el ambiente de aprendizaje, dado el rol de constructor de la propuesta que se lleva inicialmente al aula; Josep Gasc\u00f3n (2011) plantea algunos tipos de problemas de orden epistemol\u00f3gico y problemas que consideramos del profesor, es decir, el tipo de problema que hace referencia a la transformaci\u00f3n que sufre el \u201cestudio de una cuesti\u00f3n matem\u00e1tica\u201d cuando esta se propone para ser estudiada en una instituci\u00f3n escolar. Por ello, las modificaciones y ajustes del programa curricular propuesto son decisiones did\u00e1cticas del profesor que no son necesariamente ajenas a la representaci\u00f3n de un saber matem\u00e1tico que se tiene en la instituci\u00f3n escolar. De todos modos, gran parte de las decisiones del profesor se estructuran a partir de sus conocimientos disciplinares y de sus creencias.<\/p>\n<p>Alan H. Schoenfeld (2019) comenta que, durante los casi cuarenta a\u00f1os entregados a la investigaci\u00f3n en Educaci\u00f3n Matem\u00e1tica, un poco m\u00e1s de una d\u00e9cada la dedic\u00f3 a la l\u00ednea de Resoluci\u00f3n de Problemas y las \u00faltimas tres d\u00e9cadas a modelar las pr\u00e1cticas de ense\u00f1anza; este investigador enfatiza en la necesidad de que la investigaci\u00f3n y la pr\u00e1ctica vivan en continua sinergia para que cada una de ellas mejore la otra.<\/p>\n<p>Bajo este marco de referencia, y con el prop\u00f3sito de dar cumplimiento al segundo objetivo del proyecto: proponer estrategias de desarrollo profesional docente donde se promueva el uso de TIC en el aula de clase, nace el programa: <i>Diplomado en dise\u00f1o de ambientes de aprendizaje basados en la soluci\u00f3n de problemas matem\u00e1ticos y mediados con tecnolog\u00edas<\/i>, dirigido por el IG Cali y soportado institucionalmente por el Centro de Recursos para el Aprendizaje (CREA) y el Departamento de Matem\u00e1ticas y Estad\u00edstica de la Universidad ICESI.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#F1C40F;\">2. Referentes te\u00f3ricos<\/strong><br \/>\nUna misi\u00f3n central de la Educaci\u00f3n Matem\u00e1tica consiste en contribuir al desarrollo de las competencias matem\u00e1ticas de los estudiantes.<\/p>\n<p>El tema de las competencias ha tomado fuerza en el \u00e1mbito educativo desde que una de las figuras m\u00e1s destacadas de la Ling\u00fc\u00edstica del Siglo XX, el profesor Noam Chomsky, lo introdujera por primera vez. Desde entonces, en el curr\u00edculo de varios pa\u00edses del mundo han incorporado este concepto en todas las \u00e1reas educativas.<\/p>\n<p>La palabra competencia tiene varios significados. El sentido en el que se entiende la palabra lo encontramos en el diccionario de la Real Academia Espa\u00f1ola de la Lengua: pericia, aptitud, idoneidad para hacer algo o intervenir en un asunto determinado.<\/p>\n<p>Por otra parte, el concepto de competencia implica un sistema de acci\u00f3n complejo que abarca las habilidades intelectuales, las actitudes, y otros elementos como la motivaci\u00f3n y los valores. Es decir, la competencia apunta a la capacidad que desarrolla el individuo para poner en pr\u00e1ctica de manera articulada <i>habilidades, conocimientos y actitudes<\/i> para enfrentar y resolver problemas.<\/p>\n<p>Las competencias matem\u00e1ticas que el MEN (2006) propone desarrollar en el nivel de bachillerato se pueden agrupar en las siguientes categor\u00edas que contienen las actividades centrales del pensamiento matem\u00e1tico: <i>el planteamiento y la resoluci\u00f3n de problemas; la argumentaci\u00f3n; la comunicaci\u00f3n y la modelaci\u00f3n matem\u00e1tica<\/i>.<\/p>\n<p>Un alumno logra desarrollar una competencia matem\u00e1tica espec\u00edfica cuando consigue el dominio de las siguientes dimensiones: <i>conocimientos, habilidades, actitudes y valores<\/i>.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#F1C40F;\">2.1. El desarrollo de competencias matem\u00e1ticas<\/strong><br \/>\nA pesar de que el t\u00e9rmino competencia tiene diferentes interpretaciones y aplicaciones en Educaci\u00f3n, en el presente escrito lo entenderemos como la capacidad que desarrolla un individuo para poner en pr\u00e1ctica de manera articulada cuatro dimensiones: Conocimientos, Habilidades, Actitudes y Valores (Castellano et al., 2013).<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Figura 1.<\/strong> Dimensiones para el desarrollo de competencias<br \/>\n<img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap1_1.png\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#b695c0;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2021).<\/p>\n<p><b>Los conocimientos<\/b> son todos los recursos que tiene el estudiante a su disposici\u00f3n, como una base amplia para utilizarlos en la actividad matem\u00e1tica. En esta dimensi\u00f3n se encuentra el manejo de t\u00e9rminos no definidos, definiciones, postulados, propiedades algoritmos y teoremas.<\/p>\n<p><b>Las habilidades<\/b> esta compuestas por dos familias de estrategias: las cognitivas y las metacognitivas. Las estrategias cognitivas constituyen l\u00edneas de acci\u00f3n en la actividad matem\u00e1tica como particularizar, generalizar, visualizar, estimar, encontrar patrones, formular conjeturas, encontrar contraejemplos, entre otras. Las estrategias meta cognitivas son todas las acciones o preguntas que se autoformule el estudiante para asegurar si entendi\u00f3 el enunciado del problema, si seleccion\u00f3 los recursos y caminos de soluci\u00f3n adecuados, si el camino de soluci\u00f3n es correcto, si un paso espec\u00edfico est\u00e1 bien ejecutado, para encontrar y superar errores, para reflexionar sobre la calidad o la dificultad del camino de soluci\u00f3n y para evaluar si lo encontrado soluciona o no el problema.<\/p>\n<p><b>La actitud<\/b> es la disposici\u00f3n que tenga el estudiante para enfrentar la actividad matem\u00e1tica. Es ampliamente reconocido que tal disposici\u00f3n hacia el estudio de las matem\u00e1ticas es negativa. Hecho que genera desmotivaci\u00f3n, apat\u00eda, reprobaci\u00f3n y deserci\u00f3n escolar. En la investigaci\u00f3n de la Educaci\u00f3n Matem\u00e1tica y en ense\u00f1anza de las ciencias han sido estudiados diferentes factores que inciden en este tipo de actitudes de los estudiantes; factores culturales, afectivos, cognitivos, pedag\u00f3gicos, did\u00e1cticos. En el trabajo desarrollado por Ben\u00edtez Mojica (2006) se reporta un estudio de investigaci\u00f3n donde se construyen secuencias did\u00e1cticas, actividades, materiales e instrumentos que mejoran la actitud de los estudiantes hacia el estudio de las matem\u00e1ticas.<\/p>\n<p><b>Los valores<\/b> son principios \u00e9ticos y morales sobre los que se fundamenta el accionar de todo individuo. En toda actividad humana dichos principios son impartes. En la educaci\u00f3n que promueve el diplomado se pude ayudar a cimentar valores como la puntualidad, la tenacidad, la solidaridad, el respeto, la tolerancia, entre otros.<\/p>\n<p>Finalmente, para desarrollar una competencia se deben cumplir dos condiciones: a) <b>la articulaci\u00f3n<\/b>, es decir, las cuatro dimensiones se deben desarrollar juntas; b) <b>la acci\u00f3n<\/b>, ya que, adem\u00e1s del manejo te\u00f3rico de las cuatro dimensiones, los profesores participantes deben dinamizarlas en actividades concretas.<\/p>\n<p>Las competencias que se desarrollaron en el diplomado son las siguientes: (i) resolver problemas, (ii) proponer problemas, (iii) comunicar ideas matem\u00e1ticas, (iv) argumentar, (v) usar m\u00faltiples representaciones y (vi) modelar matem\u00e1ticamente.<\/p>\n<p>De todas estas competencias, tanto en el diplomado como en el presente art\u00edculo, se hace una discusi\u00f3n m\u00e1s profunda sobre la resoluci\u00f3n de problemas de matem\u00e1ticas.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#F1C40F;\">2.2. Una discusi\u00f3n sobre la resoluci\u00f3n de problemas en el aprendizaje de las matem\u00e1ticas<\/strong><br \/>\nA finales de los a\u00f1os setenta, en algunos pa\u00edses, particularmente en Estados Unidos, se lleg\u00f3 a la conclusi\u00f3n de que ni el enfoque de la ense\u00f1anza de las matem\u00e1ticas con prioridad en las estructuras abstractas (Matem\u00e1ticas Modernas) ni el retorno al dominio de herramientas algor\u00edtmicas (regreso a lo b\u00e1sico) hab\u00edan satisfecho las expectativas relacionadas con el desarrollo de competencias matem\u00e1ticas de los estudiantes. Como consecuencia, la ense\u00f1anza de las matem\u00e1ticas se orient\u00f3, en muchas naciones, hacia la resoluci\u00f3n de problemas.<\/p>\n<p>En pa\u00edses como Estados Unidos y Canad\u00e1 el movimiento de reestructurar el estudio de las matem\u00e1ticas recomienda, expl\u00edcitamente, que la resoluci\u00f3n de problemas matem\u00e1ticos sea la actividad esencial en el estudio de la disciplina (Santos Trigo, 1992). En el aprendizaje no solo es necesario que los alumnos asimilen contenidos matem\u00e1ticos, reglas y formulas, adicionalmente se deben desarrollar habilidades y estrategias que les permitan aplicarlas a situaciones de la vida cotidiana. Con esta intenci\u00f3n han surgido grandes movimientos donde se han propuesto l\u00edneas generales sobre los fundamentos que deben aprender los estudiantes, las habilidades y las estrategias que deben desarrollar (NCTM, 2000).<\/p>\n<p>En s\u00edntesis, el movimiento de la resoluci\u00f3n de problemas surge a finales de la d\u00e9cada de los setenta como rechazo a los movimientos denominados <i>la matem\u00e1tica moderna y el regreso a lo b\u00e1sico<\/i>. La mirada fue puesta de inmediato en los trabajos de Polya (1965).<\/p>\n<p><strong style=\"color:#F1C40F;\">2.2.1. El trabajo de Polya<\/strong><br \/>\nEn 1965 George Polya present\u00f3 un trabajo titulado <i>c\u00f3mo plantear y resolver problemas<\/i>, el cual se transform\u00f3 en un cl\u00e1sico. El libro se divide en cuatro secciones: <i>en el sal\u00f3n de clases, c\u00f3mo resolver un problema: un di\u00e1logo, un breve diccionario de heur\u00edstica y problemas, sugerencias y soluciones<\/i>.<\/p>\n<p>Al comienzo del texto se propone un listado de preguntas y sugerencias para resolver problemas, y en las secciones se explica el prop\u00f3sito del listado; la manera c\u00f3mo debe usarlo el maestro y la forma de actuar del alumno al resolver problemas. Asimismo, se definen todos los t\u00e9rminos que contiene la lista y se hacen ejemplos de soluci\u00f3n.<\/p>\n<p>Polya (1965) considera la resoluci\u00f3n de problemas como un proceso en el que se identifican las siguientes etapas: comprensi\u00f3n del problema, construcci\u00f3n y ejecuci\u00f3n del plan, y una visi\u00f3n retrospectiva.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#F1C40F;\">2.2.1.1. Comprensi\u00f3n del problema<\/strong>. En dicha etapa deben quedar esclarecidos los datos, las inc\u00f3gnitas y las condiciones del problema. Algunas preguntas que pueden ayudar en el entendimiento son: \u00bfcu\u00e1l es la inc\u00f3gnita? \u00bfCu\u00e1les son los datos? \u00bfCu\u00e1l es la condici\u00f3n?<\/p>\n<p>Las respuestas a tales interrogantes deben contribuir, significativamente, a la comprensi\u00f3n de los problemas que se tratan de resolver. En los <i>problemas por demostrar<\/i> las preguntas sufren una ligera variante: \u00bfcu\u00e1les son las hip\u00f3tesis? \u00bfCu\u00e1l es la conclusi\u00f3n?<\/p>\n<p><strong style=\"color:#F1C40F;\">2.2.1.2. Construcci\u00f3n de un plan<\/strong>. Como segunda etapa se deben identificar las relaciones que existen entre los diversos elementos del problema, lo cual facilita explorar caminos viables de soluci\u00f3n. En el proceso podr\u00edan resultar de mucha utilidad las estrategias heur\u00edsticas. Seg\u00fan Polya (1965), estas son estrategias generales que por s\u00ed mismas no garantizan \u00e9xito, pero resultan de gran ayuda cuando se utilizan.<\/p>\n<p>Entre las estrategias que posibilitan trazar un plan se encuentran el considerar parte de la hip\u00f3tesis, pensar en problemas conocidos, dividir un problema en subproblemas, formular el problema de forma diferente y usar diagramas para representar el problema en forma diferente.<\/p>\n<p>Las heur\u00edsticas son presentadas en forma de sugerencias y preguntas para ser utilizadas en el aula por estudiantes y maestros al resolver problemas. Cuando el alumno piensa en las preguntas o sugerencias se derivan aspectos centrales del plan de soluci\u00f3n, tales como las t\u00e9cnicas a utilizar, los m\u00e9todos a seguir, etc.<\/p>\n<p>En ocasiones no se sabe a qu\u00e9 estrategia recurrir o surgen varias opciones para atacar un problema. \u00bfDe qu\u00e9 manera seleccionar la alternativa m\u00e1s viable?<\/p>\n<p><strong style=\"color:#F1C40F;\">2.2.1.3. Ejecuci\u00f3n del plan<\/strong>. Una vez que se ha obtenido un plan es necesario materializarlo, es decir, realizar todas y cada una de las tareas propuestas en la fase anterior hasta obtener la soluci\u00f3n.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#F1C40F;\">2.2.1.4. Visi\u00f3n retrospectiva<\/strong>. Encontrar la soluci\u00f3n no es el final del proceso. Cuando el resolutor supone que ha encontrado la respuesta del problema se inicia un nuevo proceso que incluye: verificar los resultados y los razonamientos, y explorar caminos m\u00e1s cortos y contundentes, as\u00ed como aplicar el resultado obtenido en la soluci\u00f3n de otro problema.<\/p>\n<p>La descripci\u00f3n del proceso para encontrar la respuesta se plantea en t\u00e9rminos de un resolutor ideal y se trata de describir conceptualmente las tareas \u201cgenerales\u201d que este realiza en cada una de las fases del proceso.<\/p>\n<p>En la segunda secci\u00f3n del libro, <i>c\u00f3mo plantear y resolver problemas<\/i>, se presenta un breve di\u00e1logo idealizado entre un maestro y un estudiante, donde el profesor responde a las preguntas del alumno sobre c\u00f3mo proceder en cada etapa para la soluci\u00f3n de un problema.<\/p>\n<p>En la tercera secci\u00f3n se hace una extensa reflexi\u00f3n te\u00f3rica sobre los t\u00e9rminos que utiliza (heur\u00edstica, problemas por demostrar, generalizar, etc.); se resuelven problemas, y se presentan ejemplos que le dan contexto al uso y al entendimiento de tales t\u00e9rminos en la soluci\u00f3n de problemas.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#F1C40F;\">2.2.2. El trabajo de Mason, Burton y Stacey (1989)<\/strong><br \/>\nMason et al., (1989), en su trabajo sobre resoluci\u00f3n de problemas, identifican un proceso en el que se distinguen tres fases importantes: el abordaje, el ataque y la revisi\u00f3n. Resulta interesante analizarla para reflexionar sobre la pregunta:<\/p>\n<p><i>\u00bfQu\u00e9 indicios ofrece el proceso de resoluci\u00f3n de un problema que sugiere reconsiderar modificaciones a la estrategia elegida?<\/i><\/p>\n<p>En este trabajo se encuentra documentaci\u00f3n relevante sobre procesos fundamentales del <i>pensamiento matem\u00e1tico<\/i>, como particularizar y conjeturar. En \u00e9l se construye la idea de <i>monitor interior<\/i>, elemento importante para auto regular el proceso mismo de soluci\u00f3n.<\/p>\n<p>Por otra parte, existen similitudes entre el trabajo de los autores mencionados, l\u00edneas anteriores y la propuesta de Polya (1965); por ejemplo:<\/p>\n<p>Las fases del proceso de soluci\u00f3n de problemas. De acuerdo con Mason et al., (1989), en el abordaje se fusionan el <i>entendimiento<\/i> y el <i>trazo del plan<\/i> que perfila Polya (1965).<\/p>\n<p>Las fases de la resoluci\u00f3n de problemas son similares: el <i>ataque<\/i>, en Mason et al., (1989) se asemeja a la <i>ejecuci\u00f3n<\/i> y la <i>revisi\u00f3n<\/i> (Mason et al., 1989) es igual a la <i>visi\u00f3n retrospectiva<\/i>.<\/p>\n<p>Otra semejanza son las preguntas que, de acuerdo con Mason et al., (1989), dinamizan el proceso de soluci\u00f3n: <i>\u00bfqu\u00e9 s\u00e9?<\/i>, <i>\u00bfqu\u00e9 quiero?<\/i> y <i>\u00bfqu\u00e9 puedo usar?<\/i> que tambi\u00e9n aparecen en Polya (1965).<\/p>\n<p>Para contestar la pregunta <i>\u00bfqu\u00e9 s\u00e9?<\/i> (datos del problema), ambos autores sugieren leer cuidadosamente el problema y particularizar para iniciar la exploraci\u00f3n del mismo.<\/p>\n<p>Respecto a la interrogante <i>\u00bfqu\u00e9 quiero?<\/i> Lo pertinente es clasificar la informaci\u00f3n.<\/p>\n<p>En relaci\u00f3n con la pregunta <i>\u00bfqu\u00e9 puedo usar?<\/i> Los autores sugieren que se haga un listado de hechos, representaciones y teoremas que puedan resultar de utilidad para la soluci\u00f3n del problema; se puede entender como un paso importante para el <i>trazo del plan<\/i> de soluci\u00f3n.<\/p>\n<p>Cuando no se sabe c\u00f3mo iniciar un proceso de resoluci\u00f3n, Mason et al., (1989) sugieren realizar, entre otras, las siguientes actividades:<\/p>\n<ul>\n<li>Hacer un diagrama.<\/li>\n<li>Seleccionar palabras desconocidas contenidas en la redacci\u00f3n del problema y buscar su significado en el contexto del problema.<\/li>\n<li>Se pueden buscar casos particulares que ayuden a encontrar las respuestas a las preguntas: \u00bfqu\u00e9 s\u00e9?, \u00bfqu\u00e9 quiero?, y \u00bfqu\u00e9 puedo usar?<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\nLa fase de <i>ataque<\/i> de inicio cuando el resolutor siente que el problema \u201cya es suyo\u201d. De acuerdo con Mason et al. (1989), el ataque se inicia cuando el problema se <i>ha instalado<\/i> en la mente de quien lo va a resolver.<\/p>\n<p>La fase de <i>revisi\u00f3n<\/i> involucra tres etapas: la comprobaci\u00f3n, la reflexi\u00f3n y la generalizaci\u00f3n. La primera implica revisar los c\u00e1lculos, verificar los razonamientos para analizar si las consecuencias son apropiadas y comprobar que la soluci\u00f3n corresponda al problema planteado. Mason et al., (1989) exhortan a hacer una reflexi\u00f3n sobre los momentos clave de la soluci\u00f3n. Por ejemplo, acerca de las implicaciones de las conjeturas y sobre la b\u00fasqueda de formas m\u00e1s eficientes para resolver el mismo problema en un contexto m\u00e1s amplio, extrapolando la soluci\u00f3n hallada a nuevos dominios y a cambiar las condiciones del problema para plantear unos nuevos.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#F1C40F;\">2.2.3. El trabajo se Schoenfeld (1985)<\/strong><br \/>\nSchoenfeld (1985) reconoce el potencial de las estrategias discutidas por Polya (1965). Su trabajo ejerce un rol importante en la implementaci\u00f3n de las actividades relacionadas con el proceso de resolver problemas en el aprendizaje de las matem\u00e1ticas. Desde esta perspectiva, sugiere que en el sal\u00f3n de clase hay que generar condiciones similares a las que los matem\u00e1ticos experimentan en el proceso de desarrollo de las matem\u00e1ticas. A la vez, indica que los estudiantes necesitan aprender matem\u00e1ticas en un sal\u00f3n de clase que represente un microcosmo de la cultura matem\u00e1tica.<\/p>\n<p>Schoenfeld (1985) realiz\u00f3 varios estudios con los alumnos y matem\u00e1ticos profesionales. En todos ellos encontr\u00f3 evidencias para firmar que existen cuatro dimensiones que influyen en el proceso de resolver problemas: estrategias cognitivas, dominio del conocimiento, estrategias metacognitivas y sistema de creencias.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#F1C40F;\">2.2.3.1 Estrategias cognitivas<\/strong>. Las estrategias cognitivas son m\u00e9todos heur\u00edsticos, tales como descomponer el problema en casos especiales, invertir el problema, establecer subtemas y relajar las condiciones, entre otras. Las heur\u00edsticas son acciones que pueden resultar de utilidad para resolver problemas, las cuales son consideradas como estrategias y t\u00e9cnicas para un avance en el proceso de soluci\u00f3n. Polya (1965) hace soluci\u00f3n a las heur\u00edsticas por medio de preguntas y sugerencias que realiza un resolutor ideal; a continuaci\u00f3n, se presentan algunas de ellas:<\/p>\n<ul>\n<li>\u00bfPuedes pensar en un problema an\u00e1logo, un tanto m\u00e1s accesible?<\/li>\n<li>\u00bfPuedes enunciar el problema en forma diferente?<\/li>\n<li>\u00bfDe qu\u00e9 manera se pueden cambiar los datos o las condiciones en las que est\u00e1 redactado el problema?<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\nSantos (1992) se\u00f1ala que las estrategias generales de resoluci\u00f3n de problemas toman algunas caracter\u00edsticas espec\u00edficas del contexto en el que se usan. En particular, presenta tres ejemplos donde se ilustra que la estrategia de seleccionar casos especiales tiene formas particulares, dependiendo del contexto del problema (algebra, geometr\u00eda o c\u00e1lculo).<\/p>\n<p>Algunas de las familias de estrategias heur\u00edsticas que estudiamos en el diplomado fueron las siguientes: particularizar, generalizar, hacer un diagrama, visualizar, encontrar patrones, conjeturar, formular contraejemplos, abordar el problema de atr\u00e1s hacia adelante, descomponer el problema en subproblemas y quitar una condici\u00f3n del problema.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#F1C40F;\">2.2.3.2 Dominio de conocimiento<\/strong>. Una cualidad relevante en el desempe\u00f1o de un resolutor exitoso de problemas es el desarrollo de una base amplia de conocimientos de matem\u00e1ticas.<\/p>\n<p>En esta dimensi\u00f3n se estudian los recursos matem\u00e1ticos con los que cuenta el estudiante para la resoluci\u00f3n de un problema. Aqu\u00ed se pueden elaborar preguntas que sirven de base para esclarecer las caracter\u00edsticas de la dimensi\u00f3n: \u00bfcu\u00e1les son las herramientas que tiene un resolutor a su disposici\u00f3n? \u00bfQu\u00e9 informaci\u00f3n relevante tiene a mano para resolver la situaci\u00f3n problem\u00e1tica? \u00bfC\u00f3mo accede a esa informaci\u00f3n y c\u00f3mo la utiliza?<\/p>\n<p>Schoenfeld (1992) presenta un amplio rango de recursos que pueden contribuir a la resoluci\u00f3n de problemas en un dominio matem\u00e1tico particular: El conocimiento informal e intuitivo acerca del dominio del problema, El conocimiento de hechos y definiciones, La habilidad para ejecutar procedimientos algor\u00edtmicos, El conocimiento de postulados, El manejo de teoremas y corolarios.<\/p>\n<p>En cuanto a las familias de recursos que estudiamos en el diplomado, tenemos las siguientes: T\u00e9rminos no definidos, Definiciones, Postulados, Teoremas, Corolarios y Algoritmos.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#F1C40F;\">2.2.3.3 Estrategias metacognitivas<\/strong>. En el curso de una actividad intelectual el an\u00e1lisis de la marcha del proceso desempe\u00f1a un papel central. El monitoreo y el control del progreso de la soluci\u00f3n son componentes de la metacognici\u00f3n. Este tipo de estrategias se refieren a las decisiones globales respecto a la selecci\u00f3n e implementaci\u00f3n de recursos y estrategias; tambi\u00e9n incluye acciones como planear, evaluar y decidir.<\/p>\n<p>La realizaci\u00f3n de una tarea en matem\u00e1ticas depende no solamente de los recursos disponibles, sino tambi\u00e9n de la manera de usar tales conocimientos y la eficiencia con la que se apliquen, es decir, la utilidad que se da a la informaci\u00f3n potencial a disposici\u00f3n del resolutor. Las denominadas estrategias metacognitivas constituyen un monitoreo del proceso y coadyuvan a tomar decisiones en momentos clave: la selecci\u00f3n de las estrategias, el cambio de direcci\u00f3n, cuando sea necesario.<\/p>\n<p>Schoenfeld (1992) reporta que quienes tienen mucha experiencia en la soluci\u00f3n de problemas de matem\u00e1ticas (expertos) dedican pr\u00e1cticamente la mitad del tiempo de soluci\u00f3n a entender y buscarle el sentido al problema. Tambi\u00e9n destaca que, permanente, dichas personas revisan lo que est\u00e1n haciendo, y en la parte final verifican la respuesta. Por su parte, los estudiantes no le dedican tanto tiempo a entender, sino m\u00e1s bien a poner en pr\u00e1ctica una estrategia de soluci\u00f3n. Ellos no cambian la estrategia, pese a que los resultados del proceso sean poco prometedores. A diferencia de los expertos, los alumnos en su mayor\u00eda no tienen la costumbre de revisar las respuestas de los problemas.<\/p>\n<p>Cuando se toman malas decisiones sobre la selecci\u00f3n de estrategias y recursos es inminente el fracaso, a no ser que se apliquen correctivos a tiempo. Cuando los recursos se escogen cuidadosamente y se explotan o abandonan de manera adecuada, como resultado de un control riguroso, es posible llegar con \u00e9xito a la soluci\u00f3n. Sin embargo, el problema es evaluar o darse cuenta de si la decisi\u00f3n es mala o no. De esa manera, el control sobre las decisiones y las tareas de ejecuci\u00f3n en el proceso de soluci\u00f3n de un problema no se rezaga al final, es un ejercicio permanente de evaluaci\u00f3n. Desconocer este punto garantiza el fracaso, en tanto que aplicarlo sistem\u00e1ticamente contribuye de manera eficaz a la construcci\u00f3n de la soluci\u00f3n.<\/p>\n<p>Mason et al., (1989) crean la idea del monitor interior que se encarga de hacer preguntas, dar consejos, vigilar el buen desempe\u00f1o en el proceso de soluci\u00f3n y tomar los correctivos necesarios.<\/p>\n<p>En el diplomado se analiz\u00f3 el papel central que desempe\u00f1an las estrategias de control para: entender el enunciado del problema, seleccionar recursos \u00fatiles en el proceso de soluci\u00f3n, encontrar errores en el proceso de soluci\u00f3n, discutir si lo encontrado soluciona el problema, y buscar caminos m\u00e1s cortos y elegantes.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#F1C40F;\">2.2.3.4. Sistema de creencias<\/strong>. Generalmente, los estudiantes tienen un conjunto de creencias acerca de lo que significa hacer matem\u00e1ticas y sus objetos espec\u00edficos. Es conveniente hacer la siguiente reflexi\u00f3n: \u00bfc\u00f3mo afectan tales creencias el desempe\u00f1o de los alumnos en la resoluci\u00f3n de problemas? En esta dimensi\u00f3n se ubican las creencias que el individuo tiene de las matem\u00e1ticas y de s\u00ed mismo. Las creencias determinan la manera como aborda una persona el problema, por ejemplo, las t\u00e9cnicas que emplea o evita, el tiempo que le dedica al estudio. De lo anterior, se puede afirmar que \u201clas creencias establecen el marco bajo el cual se utilizan los recursos, las heur\u00edsticas y el control\u201d (Schoenfeld, 1985, p. 45).<\/p>\n<p>Com\u00fanmente, las matem\u00e1ticas son asociadas con altos niveles de dificultad, cuya pr\u00e1ctica se limita a personas con coeficientes intelectuales elevados. Tambi\u00e9n son relacionadas con la certeza, la exactitud, la memoria y la abstracci\u00f3n. Tales supuestos culturales son modelados por la experiencia escolar que hace a los alumnos construir sus propias concepciones, generalmente distorsionadas, sobre el que hacer matem\u00e1tico. En este contexto, Schoenfeld (1985) reporta creencias t\u00edpicas de los estudiantes y algunas de sus posibles consecuencias:<\/p>\n<ul><b>Creencia 1<\/b>. Los problemas de matem\u00e1ticas siempre se resuelven en menos de 10 minutos, si ellos tienen soluci\u00f3n.<br \/>\n<b>Consecuencia<\/b>. Si los alumnos no pueden resolver un problema en 10 minutos se rinden.<br \/>\n<b>Creencia 2<\/b>. \u00danicamente los genios son capaces de descubrir o crear las matem\u00e1ticas.<br \/>\n<b>Consecuencia<\/b>. Si un estudiante t\u00edpico se olvida de algo est\u00e1 en dificultades. Despu\u00e9s de todo, no es un genio y no podr\u00e1 deducirlo solo.<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\nAlgunas creencias son generadas a partir de las pr\u00e1cticas matem\u00e1ticas escolares. En este proceso desempe\u00f1an un rol decisivo las ideas que los profesores tienen de las matem\u00e1ticas porque estas modelan las actividades que se realizan en el sal\u00f3n de clases. Sobre el particular, Santos (1993) asegura:<\/p>\n<ul>Los profesores de matem\u00e1ticas ense\u00f1an esta disciplina de acuerdo con ciertas ideas que ellos tienen acerca de las matem\u00e1ticas y como \u00e9stas deben ser aprendidas por los estudiantes. Por ejemplo, un profesor puede pensar que el aspecto formal es el ingrediente principal de esta disciplina. Como consecuencia, en el contenido presentado a los estudiantes existe un gran \u00e9nfasis en las demostraciones.<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\nOtro profesor puede creer que las matem\u00e1ticas finalmente se reducen a un conjunto de f\u00f3rmulas o algoritmos que los alumnos tienen que aprender a aplicar en varias situaciones. (p. 419).<\/p>\n<p>Al profundizar en las creencias t\u00edpicas de alumnos sobre las matem\u00e1ticas, Schoenfeld (1985) aplic\u00f3 un cuestionario con 70 preguntas cerradas y 11 abiertas a 230 estudiantes de los grados 10 a 12, inscritos en un curso tradicional de geometr\u00eda plana. Los estudiantes pertenec\u00edan a tres preparatorias con altos \u00edndices de ingreso a la universidad. El instrumento contiene cuatro partes:<\/p>\n<ul>\n<li>Las atribuciones de \u00e9xito o fracaso de los estudiantes.<\/li>\n<li>Las percepciones de los alumnos sobre las matem\u00e1ticas y la pr\u00e1ctica escolar.<\/li>\n<li>Las apreciaciones comparativas de las matem\u00e1ticas con otras disciplinas.<\/li>\n<li>El desempe\u00f1o personal en matem\u00e1ticas y la motivaci\u00f3n.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\nSchoenfeld (1985) reporta la relaci\u00f3n entre las creencias de los estudiantes acerca de las matem\u00e1ticas y su desempe\u00f1o en la materia. Del estudio emergen los siguientes resultados:<\/p>\n<ul>\n<li>En general, los alumnos consideran que es el trabajo y no la buena suerte lo que cuenta para obtener buenas calificaciones, y ponen mucho m\u00e1s \u00e9nfasis en el trabajo que en el talento inherente.<\/li>\n<li>De las respuestas escritas y de las observaciones de clase se puede concluir que como consecuencia de la pr\u00e1ctica escolar los alumnos le dan prioridad a la memorizaci\u00f3n para el aprendizaje de las matem\u00e1ticas.<\/li>\n<li>Los alumnos consideran que una pr\u00e1ctica escolar cotidiana es el uso de los ejercicios para adiestrarse en peque\u00f1as partes de la materia.<\/li>\n<li>En general, los alumnos manifestaron dedicarle, aproximadamente, diez minutos a la soluci\u00f3n de un problema antes de darse por vencidos.<\/li>\n<li>Se encontr\u00f3 una correlaci\u00f3n positiva entre el desempe\u00f1o acad\u00e9mico de los estudiantes en matem\u00e1ticas y las percepciones de su propio desempe\u00f1o.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\nEn s\u00edntesis, lo que una persona piensa acerca de las matem\u00e1ticas determina la forma de seleccionar una direcci\u00f3n para resolver un problema. Al respecto, existe una estricta relaci\u00f3n entre las creencias que los estudiantes tienen sobre la disciplina y las experiencias que han vivido en el aula.<\/p>\n<p>La caracterizaci\u00f3n de las matem\u00e1ticas en t\u00e9rminos de la resoluci\u00f3n de problemas permite ver el aprendizaje desde un enfoque din\u00e1mico. Por ejemplo, Santos (1993) se\u00f1ala que una caracterizaci\u00f3n de las matem\u00e1ticas, en t\u00e9rminos de la resoluci\u00f3n de problemas, cuestiona la aceptaci\u00f3n de las matem\u00e1ticas como un conjunto de hechos, algoritmos y procedimientos que el estudiante debe aprender de memoria. En contraposici\u00f3n, los estudiantes, bajo este enfoque, est\u00e1n activos haciendo preguntas, transformando el problema, debatiendo, conjeturando y formulando contraejemplos.<\/p>\n<p>En otros t\u00e9rminos: el enfoque de la resoluci\u00f3n de problemas ve a las matem\u00e1ticas como un objeto de aprendizaje en el que los estudiantes se desenvuelven en un ambiente similar al de los matem\u00e1ticos profesionales.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#F1C40F;\">2.2.4. Comparaci\u00f3n de los modelos de Polya, Mason y Schoenfeld<\/strong><br \/>\nPolya (1965) documenta su experiencia como matem\u00e1tico y como profesor. En su trabajo hace una caracterizaci\u00f3n de la manera como se resuelven problemas matem\u00e1ticos, es decir, utiliza el m\u00e9todo de introspecci\u00f3n. Es importante mencionar que muchos matem\u00e1ticos se identifican y reconocen la relevancia de los aportes de Polya, ya que describe a detalle lo que un experto exhibe en el proceso de resolver problemas.<\/p>\n<p>En primera instancia, se podr\u00eda pensar que el modelo de resoluci\u00f3n de problemas propuesto por Polya (1965) es aplicable a la soluci\u00f3n de problemas de cualquier tipo. Sin embargo, Schoenfeld (1985) y Santos (1992) presentan evidencias donde una estrategia heur\u00edstica puede tener subestrategias con formas superficiales distintas, dependiendo del contexto del problema.<\/p>\n<p>Las observaciones que se le hacen al trabajo de Polya est\u00e1n referidas al resolutor ideal (experto) que ha desarrollado estrategias y formas de pensar que le permiten superar obst\u00e1culos que aparecen en el proceso de resoluci\u00f3n, desde la fase de entendimiento hasta la de revisi\u00f3n del mismo proceso. En el mismo sentido, el trabajo de Mason, et al., (1989) representa una extensi\u00f3n al trabajo de Polya (1965) y presenta un marco o modelo de resoluci\u00f3n de problemas m\u00e1s descriptivo que el que propone Polya, adem\u00e1s incluye elementos directamente ligados con el quehacer did\u00e1ctico. Sin embargo, no existe un trabajo experimental que lo respalda. Por otro lado, el trabajo de Schoenfeld, que inicialmente se fundament\u00f3 en las ideas de Polya, incluye un programa de investigaci\u00f3n donde se incluye la implementaci\u00f3n sistem\u00e1tica de distintas estrategias de resoluci\u00f3n de problemas en el sal\u00f3n de clases. Es decir, incluye una componente emp\u00edrica donde observaron y analizaron los comportamientos de los estudiantes y expertos en la resoluci\u00f3n de distintos tipos de problemas.<\/p>\n<p>Otro aspecto importante en la discusi\u00f3n de los tres modelos de resoluci\u00f3n de problemas es la necesidad de reajustar las premisas fundamentales asociadas con cada uno de los modelos en t\u00e9rminos del empleo de la tecnolog\u00eda en la resoluci\u00f3n de problemas por parte de los estudiantes.<\/p>\n<p>En conclusi\u00f3n, existen diferencias importantes entre el trabajo de Schoenfeld (1985), Mason et al., (1989) y Polya (1965).<\/p>\n<p>Un elemento metodol\u00f3gico destacado del trabajo de Schoenfeld (1985) es que documenta las diferencias importantes entre el trabajo de los expertos y los estudiantes de matem\u00e1ticas.<\/p>\n<p>Existen intersecciones en los modelos:<br \/>\na. Como se puede ver en la siguiente tabla, las fases del proceso de soluci\u00f3n de problemas, en el modelo de Polya (1965) y Mason et al., (1989), son similares:<\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#b695c0;\">Tabla 3.<\/strong> Comparaci\u00f3n de los modelos de Polya (1965) y Mason et al., (1989)<\/p>\n<div>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td><b>Modelo de Polya<\/b><\/td>\n<td><b>Modelo de Mason<\/b><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Entendimiento y construcci\u00f3n de un plan<br \/>\n\u00bfCu\u00e1les son los datos? \u00bfCu\u00e1les son las inc\u00f3gnitas? \u00bfBajo qu\u00e9 condiciones est\u00e1 construido el problema?<\/td>\n<td>Abordaje<br \/>\n\u00bfQu\u00e9 s\u00e9? \u00bfQu\u00e9 quiero? \u00bfQu\u00e9 puedo usar?<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Ejecuci\u00f3n<\/td>\n<td>Ataque<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Visi\u00f3n retrospectiva<\/td>\n<td>Revisi\u00f3n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#b695c0;\">Fuente<\/strong>: Ben\u00edtez (2006).<\/p>\n<p>b. El monitor interior de Mason et al., (1989) y la dimensi\u00f3n de las estrategias metacognitivas de Schoenfeld (a\u00f1o) tienen funciones similares:<\/p>\n<ul>\n<li>Darse el tiempo necesario para entender el problema. Cuando el resolutor no comprende suficientemente el enunciado no es prudente iniciar la soluci\u00f3n.<\/li>\n<li>Darse cuenta cuando se ha perdido el camino hacia la soluci\u00f3n. De ser as\u00ed, el resolutor debe regresar hasta terrenos conocidos. Si fuera necesario, deber\u00e1 leer nuevamente la redacci\u00f3n del problema.<\/li>\n<li>Revisar permanentemente los c\u00e1lculos algebraicos, los c\u00e1lculos aritm\u00e9ticos, la elaboraci\u00f3n de gr\u00e1ficas y su interpretaci\u00f3n.<\/li>\n<li>Examinar la efectividad de las estrategias empleadas. Cuando una estrategia no ayuda en la soluci\u00f3n del problema se debe seleccionar y usar una nueva.<\/li>\n<li>Revisar la soluci\u00f3n completa. Cuando el resolutor tenga una posible soluci\u00f3n debe llevar a cabo una revisi\u00f3n del trabajo que incluya los siguientes aspectos: evaluar el cumplimiento de las exigencias del problema, buscar posibles errores en el procesamiento num\u00e9rico, grafico o algebraico de la informaci\u00f3n, detectar argumentaciones d\u00e9biles, y encontrar recursos y estrategias \u00fatiles para resolver el problema que podr\u00e1 aplicar en situaciones similares.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\nUn aspecto clave en la <i>revisi\u00f3n<\/i> es proponer nuevos problemas. Una vez que el resolutor piense que termin\u00f3, el ciclo se activa nuevamente; surgen nuevos problemas o nuevas situaciones donde se puedan aplicar las ense\u00f1anzas del problema actual.<\/p>\n<p>Schoenfeld (1987, citado por Santos, 1997) sugiere algunas actividades que pueden servir al desarrollo de habilidades metacognitivas:<\/p>\n<ul>\n<li>Mostrar videos de estudiantes resolviendo problemas. La finalidad es discutir las debilidades y las destrezas que exhiban durante la soluci\u00f3n.<\/li>\n<li>Actuar como moderador mientras los estudiantes resuelven un problema. La reflexi\u00f3n se va generando de las ideas que los estudiantes exponen para solucionar un problema; proponen recursos y discuten sobre una estrategia. A la vez, algunas actividades que realiza el profesor son: acotar y resaltar los elementos importantes que van resultando en el debate, plantear preguntas, hacer sugerencias, mediar en la discusi\u00f3n y hacer aclaraciones.<\/li>\n<li>Resolver un problema en peque\u00f1os grupos. Hay alumnos que son sobresalientes en la resoluci\u00f3n de problemas y que pueden ense\u00f1arles mucho a sus compa\u00f1eros. El papel del profesor, en estos casos, es hacer preguntas y plantear sugerencias que ayuden al grupo a reflexionar acerca de lo que est\u00e1n haciendo.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<strong style=\"color:#F1C40F;\">2.3. Las tecnolog\u00edas digitales y la resoluci\u00f3n de problemas de matem\u00e1ticas<\/strong><br \/>\nEl Tercer Handbook Internacional de Educaci\u00f3n Matem\u00e1tica resalta que esta disciplina est\u00e1 cambiando muy r\u00e1pidamente, y que las tecnolog\u00edas digitales constituyen un factor importante que influyen en la velocidad y profundidad de estos cambios. Varios de los trabajos presentados en esta obra reflexionan sobre la influencia que ha tenido la tecnolog\u00eda en la ense\u00f1anza, el aprendizaje, la evaluaci\u00f3n y la elaboraci\u00f3n de material.<\/p>\n<p>El uso de la tecnolog\u00eda se ha convertido en factor prioritario para la toma de decisiones sobre planes de estudio y estrategias did\u00e1cticas (Ben\u00edtez, 2006). Las herramientas tecnol\u00f3gicas ofrecen potencial para comprometer a los estudiantes en la discusi\u00f3n de ideas matem\u00e1ticas significativas.<\/p>\n<p>A nivel nacional han existido programas de incorporaci\u00f3n impulsados desde el MEN y el Min-Tic como, por ejemplo, el uso de calculadoras en educaci\u00f3n matem\u00e1tica, tabletas para educar y Computadores para Educar. En el \u00e1mbito local se impuls\u00f3 el programa TIT@: educaci\u00f3n digital para todos, impulsado por la Secretar\u00eda de Educaci\u00f3n de Cali. El objetivo de este programa es fortalecer a los ni\u00f1os, ni\u00f1as y j\u00f3venes, docentes y directivos docentes de Cali en competencias del Siglo XXI: el biling\u00fcismo, el uso de las tecnolog\u00edas digitales, la investigaci\u00f3n, el emprendimiento, la comunicaci\u00f3n y el pensamiento cr\u00edtico. Todos estos programas han desempe\u00f1ado un papel muy importante. Por ejemplo, han logrado dotar de infraestructura a las instituciones educativas, empero, no han sido sostenibles en el tiempo y no han logrado dejar una formaci\u00f3n s\u00f3lida en los profesores para un uso sistem\u00e1tico que promueva el desarrollo de los procesos centrales del pensamiento matem\u00e1tico.<\/p>\n<p>El uso de la tecnolog\u00eda, en actividades de aprendizaje, tiene ya una historia de m\u00e1s de 30 a\u00f1os. Sin embargo, su incorporaci\u00f3n sistem\u00e1tica a los sistemas escolares ha sido mucho m\u00e1s reciente y a\u00fan m\u00e1s lo han sido los estudios y evaluaciones que dan cuenta de los resultados de ese proceso. Desde esta perspectiva, es pertinente emprender trabajos de investigaci\u00f3n que documenten los efectos que genera el empleo de la tecnolog\u00eda en la resoluci\u00f3n de problemas de matem\u00e1ticas.<br \/>\nEn el desarrollo del Diplomado se ha incorporado el uso de las herramientas tecnol\u00f3gicas para promover el desarrollo de procesos matem\u00e1ticos: comunicar ideas matem\u00e1ticas, conjeturar, representar y formular contraejemplos.<\/p>\n<p>Heid (1997) describe cuatro principios sobre el uso de tecnolog\u00eda. Uno de ellos establece que se debe dar a los estudiantes la oportunidad de tener experiencias similares a las de los matem\u00e1ticos profesionales, y se\u00f1ala que los micromundos computacionales son avenidas para la actividad matem\u00e1tica real, pues estimulan el desarrollo de una postura investigativa para la indagaci\u00f3n matem\u00e1tica. Un micromundo es un sistema computacional dotado de una fenomenolog\u00eda. Un sistema es una terna compuesta por objetos matem\u00e1ticos, operaciones y relaciones. La fenomenolog\u00eda es el conjunto de fen\u00f3menos que ocurren en la pantalla de un computador.<\/p>\n<p>GeoGebra es un Ambiente de Geometr\u00eda din\u00e1mica que est\u00e1 caracterizado como un micromundo computacional:<\/p>\n<ul>\n<li>Objetos: en GeoGebra hay diferentes clases de objetos matem\u00e1ticos como n\u00fameros, pol\u00edgonos, funciones, matrices, polinomios, entre otros.<\/li>\n<li>Operaciones: en GeoGebra se pueden realizar pr\u00e1cticamente todo tipo de operaciones matem\u00e1ticas como operaciones aritm\u00e9ticas elementales (adici\u00f3n, sustracci\u00f3n, multiplicaci\u00f3n, potenciaci\u00f3n, radicaci\u00f3n, logaritmaci\u00f3n), operaciones con funciones (adici\u00f3n, sustracci\u00f3n, composici\u00f3n, l\u00edmite, derivada, integrales), operaciones con matrices, transformaciones del plano, entre otras.<\/li>\n<li>Fenomenolog\u00eda: en la pantalla GeoGebra ocurren varios fen\u00f3menos como: arrastre, movimiento, medidas, la traza, el lugar geom\u00e9trico y las macroconstrucciones.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\nEn la experiencia de resolver problemas con la ayuda de GeoGebra, los estudiantes pueden desarrollar diferentes niveles de argumentaci\u00f3n que incluyen:<\/p>\n<ul>\n<li>El reconocimiento visual: con la visualizaci\u00f3n los estudiantes pueden observar que tres puntos est\u00e1n alineados o que dos rectas concurren.<\/li>\n<li>La prueba del arrastre: los estudiantes modifican los objetos primitivos de la construcci\u00f3n para verificar si la propiedad visualizada en la fase anterior es verdadera o no. La prueba de arrastre tambi\u00e9n puede ser aplicada para acotar el dominio geom\u00e9trico, donde se cumple una propiedad.<\/li>\n<li>La verificaci\u00f3n de propiedades: una vez que se induce una ley, los alumnos pueden usar el software de geometr\u00eda din\u00e1mica para preguntar si dos rectas son paralelas o si un punto pertenece a un lugar geom\u00e9trico.<\/li>\n<li>La macroconstrucci\u00f3n: los estudiantes pueden construir funciones computacionales en el entorno GeoGebra, donde la variable independiente es el objeto inicial y la variable dependiente es el objeto final. De esta manera, cada vez que se le aplique la funci\u00f3n al mismo objeto inicial el programa genera el mismo objeto final.<\/li>\n<li>La prueba con l\u00e1piz y papel: despu\u00e9s de inducir y darle seguimiento a una conjetura, los estudiantes deben hacer una demostraci\u00f3n usando l\u00e1piz y papel.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<strong style=\"color:#F1C40F;\">3. El dise\u00f1o metodol\u00f3gico<\/strong><br \/>\nEl diplomado promueve principalmente el empleo de GeoGebra, un software de geometr\u00eda din\u00e1mica de acceso libre en la web<a href=\"#Cap1-3\" style=\"color:#F1C40F;\"><sup>[3]<\/sup><\/a>, que brinda la posibilidad de generar simult\u00e1neamente, para un mismo objeto matem\u00e1tico, su representaci\u00f3n algebraica y su representaci\u00f3n gr\u00e1fica, a la vez que permite al usuario experimentar con la variaci\u00f3n de coordenadas (visualizaci\u00f3n y reconocimiento de estructuras) y generar tablas de datos din\u00e1micas (visualizaci\u00f3n y reconocimiento de leyes de covariaci\u00f3n). Este software le exige al usuario comunicarse en lenguaje matem\u00e1tico, invit\u00e1ndolo a ensayar y poner en juego sus intuiciones (actitud que han incorporado naturalmente nuestros j\u00f3venes por su cotidiana exposici\u00f3n a los dispositivos electr\u00f3nicos). Para el experto en la disciplina (el profesor), GeoGebra no solo le permite dinamizar su propia formaci\u00f3n, sino que le ofrece un laboratorio completo con el que puede aprender a dise\u00f1ar experiencias de aprendizaje que se actualicen constantemente, y con el que puede desarrollar experticia en la formulaci\u00f3n de \u201cbuenas preguntas\u201d que movilicen a los estudiantes hacia su formaci\u00f3n aut\u00f3noma<a href=\"#Cap1-4\" style=\"color:#F1C40F;\"><sup>[4]<\/sup><\/a>.<\/p>\n<p>El Instituto Internacional GeoGebra (IGI) es una enorme comunidad acad\u00e9mica que se define como \u201c\u2026una organizaci\u00f3n sin \u00e1nimo de lucro que proporciona software libre de matem\u00e1ticas din\u00e1micas\u2026fomenta y promueve la colaboraci\u00f3n entre profesionales e investigadores, buscando establecer comunidades de usuarios autosuficientes\u201d. El IG Cali est\u00e1 reconocido por el IGI desde febrero de 2016 como uno de sus afiliados regionales, con sede en Colombia, que tiene el aval para desarrollar actividades en el \u00e1mbito educativo, mediadas por el empleo del software GeoGebra, con el prop\u00f3sito de enriquecer y cualificar la ense\u00f1anza de las matem\u00e1ticas en nuestro medio. Este Instituto tiene una agenda permanente de trabajo que comprende jornadas de capacitaci\u00f3n en el uso del software para profesores de todos los niveles educativos, apoyo a la investigaci\u00f3n en educaci\u00f3n matem\u00e1tica en sus sedes institucionales y en colaboraci\u00f3n con distintas Instituciones Educativas (IE) de la ciudad y sus alrededores, promoci\u00f3n y apoyo para el uso de TIC a trav\u00e9s de un seminario permanente, y de la colaboraci\u00f3n institucional con programas de educaci\u00f3n continua.<\/p>\n<p>El trabajo de observaci\u00f3n impl\u00edcito en las actividades del IG Cali ha permitido evidenciar la gran resistencia de nuestros profesores de matem\u00e1ticas tanto a incorporar nuevas tecnolog\u00edas en sus clases como a salir del modelo tradicional de explicaci\u00f3n-ejemplos-talleres-evaluaci\u00f3n por imitaci\u00f3n; bajo este modelo lo normal es acudir al rigor del lenguaje formal y emplear la mediaci\u00f3n de libros de texto comerciales. Por otro lado, las din\u00e1micas administrativas en las IE implican el manejo de ciertos indicadores que garanticen las acreditaciones de calidad y las condiciones m\u00ednimas de funcionamiento. Las demandas de estos indicadores, principalmente en las IE de b\u00e1sica y media, afectan necesariamente el normal desarrollo de los proyectos educativos. Un efecto directo de este tipo de presiones aparece en la sobrecarga de trabajo de escritorio para los profesores que deben emplear una parte considerable de su tiempo en el registro de evidencias de sus trabajos en clase y en la escritura de numerosos informes. No menos importante es la presi\u00f3n constante de las evaluaciones internacionales y de Estado que han provocado (es un secreto a voces) la pr\u00e1ctica generalizada de emplear los tiempos de clase en el entrenamiento de los estudiantes para las pruebas estandarizadas, con criterios netamente t\u00e9cnicos sobre la tipolog\u00eda de las pruebas, en busca de mejores resultados en las calificaciones.<\/p>\n<p>Estos aspectos considerados se conjugan en nuestro medio produciendo, por lo menos, dos efectos negativos:<\/p>\n<ul>\n<li>I.\tSe estimula el aprendizaje por repetici\u00f3n. El estudiante enfrentado a un sistema de c\u00f3digos que le descargan en los libros de texto y en las explicaciones de clase, y que \u00e9l no logra traducir apropiadamente, toma la decisi\u00f3n de memorizar procedimientos y algoritmos para pasar la evaluaci\u00f3n, porque sabe que las preguntas con las que ser\u00e1 examinado son imitaci\u00f3n de los ejemplos y ejercicios propuestos por el profesor y por los textos.<\/li>\n<li>II. Se desestimula el desarrollo de la autonom\u00eda intelectual. El estudiante se habit\u00faa a recibir las explicaciones de los procedimientos \u201cpaso a paso\u201d para enfrentar tareas sobre situaciones hipot\u00e9ticas a las que, generalmente, no les encuentra ning\u00fan sentido.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\nEstas condiciones presentes en nuestro sistema educativo explican en gran medida el bajo nivel de desempe\u00f1o en matem\u00e1ticas de nuestros j\u00f3venes bachilleres, primero porque el aprendizaje no se da si el que aprende no siente la necesidad de comprometerse con su proceso; adem\u00e1s, lo que se aprende por repetici\u00f3n, si no tiene aplicabilidad necesaria, simplemente se olvida y no genera ning\u00fan tipo de adaptaci\u00f3n estructural en nuestra facultad de pensamiento.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#F1C40F;\">4. Reflexiones finales<\/strong><br \/>\nSe puso en marcha un programa de formaci\u00f3n permanente de profesores, el cual tuvo varias caracter\u00edsticas que se describen en la presente secci\u00f3n.<\/p>\n<p>El primer principio b\u00e1sico de acci\u00f3n es la renovaci\u00f3n de pr\u00e1ctica docentes. El conocimiento de las matem\u00e1ticas y del pensamiento matem\u00e1tico son condiciones necesarias para lograr ese objetivo, pero no son suficientes. El profesor debe implementar procesos de ense\u00f1anza, aprendizaje y evaluaci\u00f3n que promuevan mayor participaci\u00f3n de los estudiantes en el proceso de construcci\u00f3n de conocimientos.<\/p>\n<p>El eje central de la reflexi\u00f3n fue la promoci\u00f3n del desarrollo de procesos centrales del pensamiento matem\u00e1tico en la poblaci\u00f3n escolar como particularizar, encontrar patrones, conjeturar, comunicar, argumentar.<\/p>\n<p>El programa de diplomado est\u00e1 orientado a profesores de matem\u00e1ticas y de \u00e1reas afines como la f\u00edsica y la ingenier\u00eda. Se trabaj\u00f3 con profesores de matem\u00e1ticas de diferentes niveles escolares. Esta integraci\u00f3n result\u00f3 importante para entender problemas de ense\u00f1anza, para reflexionar sobre el curr\u00edculo, para buscar estrategias comunes e integraci\u00f3n en el gremio de profesores.<\/p>\n<p>Se estudiaron las competencias que se impulsan en la matem\u00e1tica escolar de diferentes pa\u00edses. En este sentido, se reflexion\u00f3 sobre procesos como: resolver problemas, proponer problemas, comunicar ideas, argumentar, representar y modelar. La competencia a la que se le dedic\u00f3 mayor tiempo y esfuerzo fue a la de resolver problemas, por ser un elemento clave en los objetivos del diplomado.<\/p>\n<p>Se dise\u00f1aron actividades o tareas de aprendizaje en tres contextos: real, realista y formal. Entendiendo los primeros como actividades de aplicaci\u00f3n de las matem\u00e1ticas a otras \u00e1reas como la f\u00edsica, la qu\u00edmica, la biolog\u00eda, la econom\u00eda, la medicina y donde las matem\u00e1ticas desempe\u00f1an un papel importante para su soluci\u00f3n. Las actividades realistas o hipot\u00e9ticas son aquellas que se formulan en contextos cercanos a la realidad porque se le restan variables o porque el contexto o los datos son invenciones. El contexto formal o puramente matem\u00e1tico contiene abstracciones sin aplicaci\u00f3n alguna.<\/p>\n<p>El uso de tecnolog\u00edas digitales tuvo un papel central en todo el programa. En este sentido, se discuti\u00f3 sobre los enfoques te\u00f3ricos y metodol\u00f3gicos de su implementaci\u00f3n. Tambi\u00e9n se dieron talleres de manejo sobre cada una de las vistas de GeoGebra, para que los profesores tuvieran mejor dominio instrumental para resolver problemas, dictar clase con apoyo de esta herramienta y para dise\u00f1ar actividades de aprendizaje.<\/p>\n<p>El dise\u00f1o de tareas es otro elemento central en este programa, de esta manera, los profesores tuvieron oportunidad de implementar los aprendizajes adquiridos en el diplomado para dise\u00f1ar tareas con la mediaci\u00f3n de GeoGebra, validarlas, implementarlas en uno de sus cursos. Adicionalmente, documentaron la intervenci\u00f3n did\u00e1ctica escribiendo la experiencia en un formato espec\u00edfico y participaron como ponentes en eventos nacionales e internacionales.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#F1C40F;\">5. Referencias<\/strong><br \/>\nArtigue, M. (2011). Tecnolog\u00eda y Ense\u00f1anza de las Matem\u00e1ticas: desarrollo y aportes de la aproximaci\u00f3n instrumental. <i>Cuadernos de Investigaci\u00f3n y Formaci\u00f3n en Educaci\u00f3n Matem\u00e1tica<\/i>, 13-33.<\/p>\n<p>Ben\u00edtez Mojica, D. (2006). Formas de razonamiento que desarrollan los estudiantes en la resoluci\u00f3n de problemas con apoyo de la tecnolog\u00eda computacional [Tesis Doctoral] (Cinvestav, Ed.) M\u00e9xico.<\/p>\n<p>Castellano Torres, N., Morga Rodr\u00edguez, L. E. y Castellano Torres, A. (2013). <i>Educaci\u00f3n por competencias: hacia la excelencia en la formaci\u00f3n superior<\/i>. Red Tercer Milenio.<\/p>\n<p>Clements, M. B.-K.-S. (Ed.). 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The technological revolution and the reform of school mathematics. <i>American Journal of education<\/i>, 106, 5-56.<\/p>\n<p>Lanza, P. y Schey, I. (2006). <i>Matem\u00e1tica en el Primer Ciclo. Todos pueden aprender Lengua y Matem\u00e1tica<\/i>. Asociaci\u00f3n Civil-Unicef-Fundaci\u00f3n Noble; Grupo Clar\u00edn.<\/p>\n<p>Mason, J., Burton, L. y Stacey, K. (1989). <i>Pensar matem\u00e1ticamente<\/i>. Labor.<\/p>\n<p>Ministerio de Educaci\u00f3n. (MEN). (1998). <i>Lineamientos Curriculares de Matem\u00e1ticas<\/i>. https:\/\/www.mineducacion.gov.co\/1621\/articles-89869_archivo_pdf9.pdf<\/p>\n<p>Ministerio de Educaci\u00f3n. (MEN). (2006). <i>Est\u00e1ndares B\u00e1sicos de Competencias en Matem\u00e1ticas<\/i>. https:\/\/www.mineducacion.gov.co\/1621\/articles-116042_archivo_pdf2.pdf<\/p>\n<p>Ministerio de Educaci\u00f3n. (MEN). (2014). <i>Foro Educativo Nacional. Ciudadanos Matem\u00e1ticamente Competentes<\/i>.<\/p>\n<p>Moreno, L. (1992). Constructivismo y Educaci\u00f3n Matem\u00e1tica. <i>Educaci\u00f3n Matem\u00e1tica<\/i>, 4(2), 7-15.<\/p>\n<p>NCTM. (2000). <i>Principles and standars for school Mathematics<\/i>. Reston.<\/p>\n<p>Polya, G. (1965). <i>\u00bfC\u00f3mo plantear y resolver problemas de matem\u00e1ticas?<\/i>. Trillas.<\/p>\n<p>Santos Trigo, M. (1992). La resoluci\u00f3n de problemas: el trabajo del Alan Schoenfeld, una propuesta a considerar en el aprendizaje de las matem\u00e1ticas. <i>Educaci\u00f3n Matem\u00e1tica<\/i>, 2(2), 16-24.<\/p>\n<p>Santos Trigo, M. (1997). <i>Principios y m\u00e9todos de la resoluci\u00f3n de problemas en el aprendizaje de las matem\u00e1ticas<\/i>. Iberoam\u00e9rica.<\/p>\n<p>Santos Trigo, M. (2019). Mathematical Problem Solving and the Use of Digital Technologies. En P. Liljedahl y M. Santos Trigo (Eds.), <i>Mathematical Problem Solving: Current Themes, Trends, and Research<\/i> (pp. 63-89). Cham. doi:10.1007\/978-3-030-10472-6_4<\/p>\n<p>Santos, M. (2008). La Resoluci\u00f3n de Problemas Matem\u00e1ticos: Avances y perspectivas en la construcci\u00f3n de una agenda de investigaci\u00f3n y pr\u00e1ctica. En R. Luengo, B. G\u00f3mez, M. Camacho, L. Blanco (Eds), <i>Investigaci\u00f3n en educaci\u00f3n matem\u00e1tica XII<\/i> (pp. 159-192). Sociedad Espa\u00f1ola de Investigaci\u00f3n en Educaci\u00f3n Matem\u00e1tica, SEIEM.<\/p>\n<p>Santos, M. y Ben\u00edtez, D. (2003). Herramientas tecnol\u00f3gicas en el desarrollo de sistemas de representaci\u00f3n para la resoluci\u00f3n de problemas. <i>Perfiles educativos<\/i>, 25(100), 23-41.<\/p>\n<p>Schoenfeld, A. (1985). <i>Mathematical Problem Solving<\/i>. Academic Press.<\/p>\n<p>Schoenfeld, A. (1992). <i>Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense making in mathematics<\/i>. D. Grows.<\/p>\n<p>Schoenfeld, A. (2019). What Makes for Powerful Classrooms, and How Can We Support Teachers in Creating Them? A story of research and practice, productively interwined. En G. K. (Ed.), <i>Compendium for Early Career Researchers in Mathematics Education<\/i> (pp. 495-510). doi:10.1007\/978-3-030-15636-7_26<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<strong style=\"color:#F1C40F;\">Notas (cap\u00edtulo I)<\/strong><br \/>\n<a name=\"Cap1-0\">[*]<\/a> Asimismo se reconoce que algunas bases te\u00f3ricas y metodol\u00f3gicas para la construcci\u00f3n del presente libro (Experiencias significativas en Educaci\u00f3n Matem\u00e1tica) se fundamentan en resultados de investigaci\u00f3n del proyecto <i>Desarrollo de la competencia de resoluci\u00f3n de problemas de matem\u00e1ticas con la mediaci\u00f3n de las tecnolog\u00edas digitales en estudiantes de educaci\u00f3n b\u00e1sica en Cali<\/i> de convocatoria interna de la Universidad del Valle.<\/p>\n<p><a name=\"Cap1-1\">[1]<\/a> Universidad Aut\u00f3noma de Occidente, Universidad ICESI, Universidad Javeriana de Cali, Universidad del Valle y la Instituci\u00f3n Universitaria Antonio Jos\u00e9 Camacho.<\/p>\n<p><a name=\"Cap1-2\">[2]<\/a> \u201c(\u2026) en nuestro mundo cient\u00edfico e intelectual tan r\u00e1pidamente mutante vale mucho m\u00e1s hacer acopio de procesos de pensamiento \u00fatiles que de contenidos (\u2026)\u201d (De Guzm\u00e1n, 2007, p. 27).<\/p>\n<p><a name=\"Cap1-3\">[3]<\/a> Para conocer m\u00e1s, pueden dirigirse al siguiente enlace: <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">www.GeoGebra.org<\/a><\/p>\n<p><a name=\"Cap1-4\">[4]<\/a> La comunidad GeoGebra publica regularmente tutoriales de apoyo para los diferentes tipos de usuarios del programa. Para los lectores de este libro que apenas est\u00e9n iniciando su incursi\u00f3n en este mundo digital les recomendamos: <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/MqVqGRux\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/www.geogebra.org\/m\/MqVqGRux<\/a><br \/><\/li><li class=\"tab-pane \" id=\"ert_pane1-3\"><u>Cap\u00edtulo II<\/u><\/p>\n<details>\n<summary><strong style=\"color:#B695C0;\">Experiencias significativas en la educaci\u00f3n matem\u00e1tica de la primaria<\/strong><br \/>\n<i>David Ben\u00edtez Mojica, Hendel Yaker Agudelo y Henry Arley Taquez<\/i><\/summary>\n<p>&nbsp;<br \/>\nEl presente cap\u00edtulo est\u00e1 compuesto por tres trabajos de investigaci\u00f3n en el \u00e1rea de la Educaci\u00f3n matem\u00e1tica, en el nivel de primaria, con la mediaci\u00f3n de tecnolog\u00edas digitales.<\/p>\n<p>El objetivo del primer trabajo es describir el proceso de construcci\u00f3n de conjeturas geom\u00e9tricas que construyen los estudiantes de cuarto a\u00f1o de primaria de una instituci\u00f3n p\u00fablica de la ciudad de Cali-Colombia. El proyecto se realiz\u00f3 en un ambiente de soluci\u00f3n de problemas de matem\u00e1ticas, donde se promueve el uso de software din\u00e1mico y material manipulativo como papel, reglas, tijeras, colores y pegamento. En el trabajo se analizaron tanto las actividades de aprendizaje como el rol del profesor y las estrategias utilizadas por los estudiantes que los llevaron a la formulaci\u00f3n de una conjetura geom\u00e9trica sobre propiedades de los tri\u00e1ngulos. Los resultados revelaron que los estudiantes a edad temprana pueden formular conjeturas geom\u00e9tricas en un ambiente de aprendizaje que promueve su participaci\u00f3n activa mediante la exploraci\u00f3n con instrumentos de mediaci\u00f3n como el software GeoGebra, el material manipulativo, la comunicaci\u00f3n de ideas tanto de manera escrita como de manera verbal, y la soluci\u00f3n de ejercicios y problemas.<\/p>\n<p>En el segundo trabajo se describe la experiencia que tuvieron los estudiantes del grado tercero de un colegio del sector privado de la Ciudad de Cali-Colombia, quienes realizaron un proyecto denominado \u201cpromotores de cine Berch\u201d. Este fue un proyecto planeado para los dos primeros per\u00edodos del a\u00f1o lectivo 2019-2020, en el cual los estudiantes tuvieron la oportunidad de participar en aspectos propios de la log\u00edstica para el montaje de una funci\u00f3n de cine. Dentro de dichos aspectos estuvieron: la venta y compra de productos, venta y compra de las boletas de entrada; marcar la silleter\u00eda de la sala vs la boleter\u00eda, difusi\u00f3n e invitaci\u00f3n de la pel\u00edcula; y la elaboraci\u00f3n del dise\u00f1o de las cajas para las crispetas, este \u00faltimo aspecto se constituy\u00f3 en la actividad central del proyecto, permitiendo el dise\u00f1o de un ambiente de aprendizaje enmarcado en la utilizaci\u00f3n de GeoGebra, programa a trav\u00e9s del cual los estudiantes, en un principio, exploraron, identificaron, verificaron y reconocieron las propiedades geom\u00e9tricas de los cuadril\u00e1teros como el paralelogramo cuadrado y el trapecio is\u00f3sceles,; realizando la construcci\u00f3n de dichas figuras geom\u00e9tricas, siendo finalmente empleadas en la elaboraci\u00f3n del dise\u00f1o del recipiente.<\/p>\n<p>El cap\u00edtulo II del presente libro se cierra con una experiencia did\u00e1ctica en el \u00e1rea de matem\u00e1ticas para estudiantes de grado tercero del sector oficial de la Ciudad de Cali. Se dise\u00f1\u00f3 e implement\u00f3 un proyecto que combina actividades de geometr\u00eda, tecnolog\u00eda, art\u00edstica y convivencia. Las actividades se desarrollan con la mediaci\u00f3n del software de Geogebra y de material manipulativo, para construir propiedades geom\u00e9tricas.<\/p>\n<\/details>\n<p>\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014<\/p>\n<details>\n<summary><strong style=\"color:#F1C40F;\">Experiencia 1. Estudio sobre la resoluci\u00f3n de problemas de geometr\u00eda con estudiantes de cuarto grado de primaria, empleando Geogebra y material manipulativo<\/strong><br \/>\n<i>Edilma Quiceno Mesa<a href=\"#Cap2Exp1-0\" style=\"color:#F1C40F;\"><sup>[*]<\/sup><\/a><\/i><\/summary>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\">Resumen<\/strong><br \/>\nEl objetivo es documentar los tipos de conjeturas geom\u00e9tricas que construyen los estudiantes de cuarto a\u00f1o de primaria de la IE T\u00e9cnica de Comercio Sim\u00f3n Rodr\u00edguez de la ciudad de Cali, en un ambiente de soluci\u00f3n de problemas donde se promueve el uso de software din\u00e1mico y material manipulativo. En el trabajo se analizaron tanto las actividades de aprendizaje como el rol del profesor y las estrategias utilizadas por los estudiantes que los llevaron a la formulaci\u00f3n de una conjetura geom\u00e9trica sobre propiedades de los tri\u00e1ngulos. Los resultados revelaron que los estudiantes a edad temprana pueden formular conjeturas geom\u00e9tricas en un ambiente de aprendizaje que promueve su participaci\u00f3n activa, mediante la exploraci\u00f3n con instrumentos de mediaci\u00f3n como el software GeoGebra, el material manipulativo, la comunicaci\u00f3n de ideas por las v\u00edas oral y escrita, y la soluci\u00f3n de ejercicios y problemas.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\">\u00bfEn d\u00f3nde se hizo el proyecto y las caracter\u00edsticas de la poblaci\u00f3n?<\/strong><br \/>\nEl proyecto se desarroll\u00f3 en la IE T\u00e9cnica de Comercio Sim\u00f3n Rodr\u00edguez, de Cali, la cual cuenta con tres sedes: dos de primaria, que funcionan en las jornadas de la ma\u00f1ana y la tarde, y la de bachillerato, que labora en las tres jornadas (ma\u00f1ana, tarde y noche). En la jornada nocturna se implementa el programa de alfabetizaci\u00f3n para adultos. Es una instituci\u00f3n de car\u00e1cter oficial con modalidad comercial que fundamenta su modelo pedag\u00f3gico en el constructivismo y en la pedagog\u00eda activa.<\/p>\n<p>El trabajo que aqu\u00ed se reporta se realiz\u00f3 en la sede Mar\u00eda Panesso, en la jornada de la tarde, la cual est\u00e1 ubicada en el barrio El Sena, de la Comuna 5 de la ciudad de Cali. En esta sede estudian los alumnos de los grados tercero a quinto de la b\u00e1sica primaria. La investigaci\u00f3n se realiz\u00f3 durante el tercer y cuarto periodo del a\u00f1o lectivo 2019.<\/p>\n<p>La comunidad escolar que particip\u00f3 en este estudio estuvo conformada por los estudiantes del grado cuarto de b\u00e1sica primaria de dicha instituci\u00f3n, en la jornada de la tarde. El grupo era mixto, con edades que oscilaban entre los 9 y los 13 a\u00f1os. Estos estudiantes presentaban un nivel medio de reprobaci\u00f3n y de deserci\u00f3n escolar. De otra parte, el grupo objetivo ten\u00eda un nivel b\u00e1sico en el uso de computadores y bases m\u00ednimas de Geometr\u00eda; adem\u00e1s, carec\u00edan de alguna fundamentaci\u00f3n sobre el uso del software GeoGebra.<\/p>\n<p>Respecto al contexto familiar, el 59,2 % de los alumnos conviven con familias disfuncionales, el 39,5 % de ellos forman parte de familias tradicionales, mientras que el 1,3 % corresponde a familias desplazadas.<\/p>\n<p>El 60,8 % de los estudiantes habitan en viviendas o apartamentos propios y el 39,2 % viven en casas o apartamentos alquilados. Los estudiantes, en su mayor\u00eda, est\u00e1n cerca de la instituci\u00f3n, en las comunas 4 y 5 de Cali, que corresponden a los estratos socioecon\u00f3mico 3 y 4, es decir, gran parte de las familias tiene un empleo u otra fuente de ingresos permanente que les posibilita un nivel de vida c\u00f3modo. Las viviendas est\u00e1n construidas en material y cuentan con los servicios b\u00e1sicos de agua potable, energ\u00eda, gas natural domiciliario e internet.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\">\u00bfQu\u00e9 se hizo y por qu\u00e9?<\/strong><br \/>\nEn el presente art\u00edculo se reportan los resultados de investigaci\u00f3n de un proceso de innovaci\u00f3n did\u00e1ctica en b\u00e1sica primaria. Este trabajo se enmarca en el \u00e1rea de desarrollo del pensamiento geom\u00e9trico. Espec\u00edficamente, se reportan los tipos de conjeturas geom\u00e9tricas que construyen los estudiantes de cuarto a\u00f1o de primaria de la IE T\u00e9cnica de Comercio Sim\u00f3n Rodr\u00edguez de la ciudad de Cali, en un ambiente de soluci\u00f3n de problemas donde se promueve el uso de GeoGebra y material manipulativo, como un estuche de geometr\u00eda, tijeras, l\u00e1piz y papel.<\/p>\n<p>En el trabajo se analizaron tanto las actividades de aprendizaje como el rol del profesor y las estrategias utilizadas por los estudiantes que los llevaron a la formulaci\u00f3n de una conjetura geom\u00e9trica sobre propiedades de los tri\u00e1ngulos. Los resultados indicaron que los estudiantes a edad temprana pueden formular conjeturas geom\u00e9tricas en un ambiente de aprendizaje que promueve su participaci\u00f3n activa a trav\u00e9s de la exploraci\u00f3n \u2012utilizando instrumentos de mediaci\u00f3n como el software GeoGebra y material manipulativo\u2012 y la comunicaci\u00f3n de ideas por las v\u00edas oral y escrita mediante la soluci\u00f3n de ejercicios y problemas.<\/p>\n<p>El art\u00edculo tiene como prop\u00f3sito central documentar una implementaci\u00f3n did\u00e1ctica concreta en la que el profesor desarrolla un ambiente de aula e implementa una metodolog\u00eda que le permiti\u00f3 a los estudiantes participar de manera activa en la construcci\u00f3n de conjeturas.<\/p>\n<p>Generalmente, la construcci\u00f3n de conjeturas se desarrolla en el \u00e1mbito universitario, por ello, es importante demostrar que este proceso central del pensamiento matem\u00e1tico es posible iniciarlo a edades m\u00e1s tempranas. Sin embargo, los estudiantes del nivel b\u00e1sico experimentan dificultades a la hora de resolver problemas de matem\u00e1ticas. De ah\u00ed, que este trabajo se enmarque en un proyecto de investigaci\u00f3n que tiene como prop\u00f3sito contribuir al desarrollo de la competencia de resoluci\u00f3n de problemas en estudiantes de Educaci\u00f3n B\u00e1sica.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\">\u00bfC\u00f3mo se hizo el proyecto?<\/strong><br \/>\nEl proyecto se estructur\u00f3 en dos partes: supuestos te\u00f3ricos y dise\u00f1o metodol\u00f3gico.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\"><i>Supuestos te\u00f3ricos<\/i><\/strong><br \/>\nLos supuestos te\u00f3ricos \u2012resoluci\u00f3n de problemas de matem\u00e1ticas, tecnolog\u00eda digital en educaci\u00f3n matem\u00e1tica y material manipulativo\u2012 que sirvieron de soporte a la investigaci\u00f3n se describen de manera concreta a continuaci\u00f3n.<\/p>\n<p><b>Resoluci\u00f3n de problemas<\/b>. Schoenfeld (1985) realiz\u00f3 varios estudios con los alumnos y matem\u00e1ticos profesionales. En todos ellos encontr\u00f3 evidencias para afirmar que existen cuatro dimensiones que influyen en el proceso de resoluci\u00f3n de problemas: (a) estrategias cognitivas, (b) dominio del conocimiento, (c) estrategias metacognitivas y (d) sistema de creencias.<\/p>\n<p><b>Estrategias cognitivas<\/b>. Son m\u00e9todos heur\u00edsticos, tales como descomponer el problema en casos especiales, invertir el problema, establecer subtemas y relajar las condiciones, entre otras. Las heur\u00edsticas son acciones que pueden ser de utilidad para resolver problemas. Son consideradas estrategias y t\u00e9cnicas para un avance en el proceso de soluci\u00f3n. Polya (1965) plantea soluci\u00f3n a las heur\u00edsticas por medio de preguntas y sugerencias que realiza un resolutor ideal. Las siguientes son algunas de ellas: \u00bfpueden pensar en un problema an\u00e1logo un tanto m\u00e1s accesible?, \u00bfpueden enunciar el problema en forma diferente?, \u00bfde qu\u00e9 manera se pueden cambiar los datos o las condiciones en las que est\u00e1 redactado el problema?<\/p>\n<p><b>Dominio del conocimiento<\/b>. Una cualidad relevante en el desempe\u00f1o de un resolutor exitoso de problemas es el desarrollo de una base amplia de conocimientos de matem\u00e1ticas. En esta dimensi\u00f3n se estudian los recursos matem\u00e1ticos con los que cuenta el estudiante para la resoluci\u00f3n de un problema. Aqu\u00ed se pueden elaborar preguntas que sirven de base para esclarecer las caracter\u00edsticas de la dimensi\u00f3n: \u00bfcu\u00e1les son las herramientas que tiene un resolutor a su disposici\u00f3n?, \u00bfqu\u00e9 informaci\u00f3n relevante tiene a mano para resolver la situaci\u00f3n problem\u00e1tica?, \u00bfc\u00f3mo accede a esa informaci\u00f3n y c\u00f3mo la utiliza?<\/p>\n<p><b>Estrategias metacognitivas<\/b>. En el curso de una actividad intelectual, el an\u00e1lisis de la marcha del proceso desempe\u00f1a un papel central. El monitoreo y el control del progreso de la soluci\u00f3n son componentes de la metacognici\u00f3n. Este tipo de estrategias se refieren a las decisiones globales respecto al entendimiento del problema y a la selecci\u00f3n e implementaci\u00f3n de recursos y estrategias; tambi\u00e9n incluye acciones como planear, evaluar y decidir.<\/p>\n<p><b>Sistema de creencias<\/b>. Generalmente, los estudiantes tienen un conjunto de creencias acerca de lo que significa hacer matem\u00e1ticas y sus objetos espec\u00edficos. Es conveniente hacer la siguiente reflexi\u00f3n: \u00bfc\u00f3mo afectan tales creencias el desempe\u00f1o de los alumnos en la resoluci\u00f3n de problemas? En esta dimensi\u00f3n se ubican las creencias de que el individuo tiene de las matem\u00e1ticas y de s\u00ed mismo. Las creencias determinan la manera c\u00f3mo aborda una persona el problema; por ejemplo, las t\u00e9cnicas que emplea o evita y el tiempo que le dedica al estudio. De lo anterior se puede afirmar que \u201clas creencias establecen el marco bajo el cual se utilizan los recursos, las heur\u00edsticas y el control\u201d (Schoenfeld, 1985, p. 45).<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\"><i>Tecnolog\u00edas digitales en educaci\u00f3n matem\u00e1tica<\/i><\/strong><br \/>\nEl uso de la tecnolog\u00eda en actividades de aprendizaje tiene ya una historia de m\u00e1s de treinta a\u00f1os. Sin embargo, su incorporaci\u00f3n a los sistemas escolares es mucho m\u00e1s reciente y a\u00fan m\u00e1s lo son los estudios y evaluaciones que dan cuenta de los resultados de ese proceso. Desde esta perspectiva es pertinente emprender trabajos de investigaci\u00f3n que documenten los efectos que genera el empleo de la tecnolog\u00eda en la resoluci\u00f3n de problemas de matem\u00e1ticas y en la construcci\u00f3n de conjeturas.<\/p>\n<p>En muchas actividades humanas utilizamos instrumentos tecnol\u00f3gicos: un celular con aplicaciones que nos orientan en el tr\u00e1fico de una ciudad, una tableta para buscar informaci\u00f3n o un computador para resolver un problema. Los instrumentos que utilizamos en cada caso para lograr mediaci\u00f3n cognitiva no solo han aumentado nuestra capacidad cognitiva, sino que la han reestructurado. En s\u00edntesis, los instrumentos amplifican el dominio de recursos y habilidades, y nos ayudan a resolver los problemas de manera diferente a la utilizada en el universo del l\u00e1piz y el papel.<\/p>\n<p>A trav\u00e9s de dichos instrumentos podemos conocer maneras que no eran posibles en ausencia de ellos. Por ejemplo, un bi\u00f3logo que utiliza un microscopio electr\u00f3nico tiene acceso a un nivel de observaciones y de conocimiento que le era inaccesible sin el instrumento. Algo similar ocurre con el telescopio del astr\u00f3nomo y con el computador del matem\u00e1tico que construye conjeturas con el apoyo de este instrumento. Desde esta perspectiva, la construcci\u00f3n de conocimiento est\u00e1 mediada por el instrumento tecnol\u00f3gico.<\/p>\n<p>Se tienen indicios para pensar que cuando se trabaja con la ayuda de las herramientas tecnol\u00f3gicas en la soluci\u00f3n de un problema de matem\u00e1ticas, algunas componentes del pensamiento matem\u00e1tico se ejecutan de manera distinta de cuando el problema se resuelve \u00fanicamente con l\u00e1piz y papel. En la experiencia de resolver problemas con la ayuda de GeoGebra, los estudiantes pueden desarrollar procesos del pensamiento geom\u00e9trico para particularizar, visualizar, construir patrones, conjeturas y contraejemplos, a trav\u00e9s de varias acciones como el trazo de objetos geom\u00e9tricos, la prueba del arrastre, la medici\u00f3n, el lugar geom\u00e9trico y la utilizaci\u00f3n de diferentes registros de representaci\u00f3n. Seg\u00fan Duval (1999), GeoGebra es un software de Geometr\u00eda Din\u00e1mica interactivo libre, como un micromundo computacional. Esto quiere decir que este instrumento de mediaci\u00f3n tiene un conjunto de objetos con relaciones que permite realizar operaciones y contiene una serie de fen\u00f3menos como el arrastre, el movimiento, los lugares geom\u00e9tricos, el uso de diversas representaciones semi\u00f3ticas y la realizaci\u00f3n de macroconstrucciones. Con este instrumento de mediaci\u00f3n se pueden ejecutar varias acciones cognitivas, como visualizaci\u00f3n, experimentaci\u00f3n, sorpresa y retroalimentaci\u00f3n.<\/p>\n<p><b>Visualizaci\u00f3n<\/b>. El ambiente de geometr\u00eda din\u00e1mica les permite a los estudiantes construir figuras con ciertas propiedades, visualizarlas y transformarlas. Dicho proceso contribuye a desarrollar el h\u00e1bito de transformar los casos particulares para buscar visualmente las variantes e invariantes de la construcci\u00f3n y la justificaci\u00f3n formal de las conjeturas.<\/p>\n<p><b>Experimentaci\u00f3n<\/b>. Adem\u00e1s de la visualizaci\u00f3n, el software din\u00e1mico ayuda a los estudiantes a experimentar por medio de la construcci\u00f3n de casos particulares, para explorar casos adversos y situaciones extremas. En dichos ejemplos, los alumnos pueden medir, comparar y hacer trazos auxiliares. La informaci\u00f3n obtenida en la experimentaci\u00f3n puede ayudar a construir conjeturas.<\/p>\n<p><b>Sorpresa<\/b>. Una actividad que puede resultar significativa para acompa\u00f1ar la investigaci\u00f3n, es pedirles a los estudiantes que hagan predicciones sobre el resultado de cierto fen\u00f3meno que est\u00e1n a punto de abordar. Al realizar dichas predicciones, se hacen expl\u00edcitas varias de ellas, las cuales permiten que los alumnos: (a) expresen sus predicciones con claridad, (b) tengan cuidado al construir sus propias predicciones, y (c) creen expectativas y motivaciones para la experimentaci\u00f3n real. En la experimentaci\u00f3n, los estudiantes pueden encontrar situaciones que contradigan sus predicciones.<\/p>\n<p><b>Retroalimentaci\u00f3n<\/b>. La sorpresa descrita en l\u00edneas anteriores puede entenderse como una retroalimentaci\u00f3n, en la que los alumnos pueden diferenciar entre una expectativa de cierta acci\u00f3n y el resultado de esa acci\u00f3n. En esta fase pueden aparecer nuevas predicciones y se abre la necesidad de hacer una demostraci\u00f3n formal.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\"><i>Material manipulativo<\/i><\/strong><br \/>\nLos materiales manipulativos matem\u00e1ticos, seg\u00fan Bartolini Bussi y Martignone (2014), son artefactos empleados en la educaci\u00f3n matem\u00e1tica, que pueden ser utilizados por las manos de los estudiantes para explorar, adquirir o investigar conceptos o procesos matem\u00e1ticos y realizar tareas o actividades de resoluci\u00f3n de problemas, fundament\u00e1ndose en evidencia perceptual (visual, t\u00e1ctil o, m\u00e1s generalmente, sensorial).<\/p>\n<p>El uso de los materiales manipulativos, como estuches de geometr\u00eda (regla, comp\u00e1s y escuadras), tijeras, papel y colores, les permite a los estudiantes realizar actividades concretas en el aprendizaje de la geometr\u00eda como, por ejemplo, trazar, dibujar, colorear, visualizar, recortar, pegar o medir. Todas estas actividades generan la posibilidad de que el estudiante tenga una experiencia perceptual concreta y tangible. Estas experiencias iniciales se pueden convertir en insumos para la construcci\u00f3n de conjeturas.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\">Dise\u00f1o metodol\u00f3gico<\/strong><br \/>\nEn esta secci\u00f3n se exponen los pasos que se siguieron durante el desarrollo de la investigaci\u00f3n en las diferentes fases: dise\u00f1o, validaci\u00f3n, uso de tecnolog\u00eda, recolecci\u00f3n y an\u00e1lisis de resultados. Las fases implementadas fueron las sugeridas en la tesis doctoral de Ben\u00edtez (2006). Las actividades importantes en cada fase se presentan de forma sint\u00e9tica en la Figura 1. M\u00e1s adelante se hace una descripci\u00f3n particularizada de cada actividad.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 1.<\/strong> Fases del estudio<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap2_fig1.png\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2020).<\/p>\n<p><b>Dise\u00f1o<\/b>. En esta fase se exponen dos momentos: el primero alude a la selecci\u00f3n de actividades o problemas, los cuales ser\u00e1n estructurados a la luz de los est\u00e1ndares b\u00e1sicos de competencia en matem\u00e1tica propuestos por el Ministerio de Educaci\u00f3n Nacional (MEN, 2017), para el grado cuarto de primaria de la Educaci\u00f3n B\u00e1sica con observancia de diversos autores. Lo anterior posibilita el dise\u00f1o del test de entrada y las hojas de trabajo, lo que se consolida en un segundo momento.<\/p>\n<p><b>Validaci\u00f3n<\/b>. Una vez dise\u00f1ados el test de entrada y las hojas de trabajo, se presentaron las siguientes instancias: (a) la revisi\u00f3n del director y el codirector del proyecto de trabajo de grado, y (b) la identificaci\u00f3n de docentes que tuvieran conocimiento sobre la elaboraci\u00f3n de propuestas en las TIC, en la resoluci\u00f3n de problemas matem\u00e1ticos y en la construcci\u00f3n de conjeturas. Los anteriores pasos se realizaron con el fin de mejorar y elaborar hojas de trabajo que dieran cuenta de la investigaci\u00f3n objeto de estudio.<\/p>\n<p><b>Uso de tecnolog\u00eda<\/b>. Consiste en exponer a los estudiantes algunas instrucciones sobre el manejo de GeoGebra, siguiendo a Ben\u00edtez (2006). En esta fase se implementaron las siguientes acciones: (a) una descripci\u00f3n global del software, y (b) un taller de manejo del mismo, usando la vista gr\u00e1fica y la hoja de c\u00e1lculo para la soluci\u00f3n de problemas relacionados con algunas de las propiedades del tri\u00e1ngulo.<\/p>\n<ul>\n<li>Descripci\u00f3n global del software: se mostraron las caracter\u00edsticas m\u00e1s importantes de GeoGebra, las funciones, los comandos principales y la forma de operarlos con relaci\u00f3n a la vista gr\u00e1fica y la hoja de c\u00e1lculo.<\/li>\n<li>Taller de manejo del software: se implement\u00f3 con los estudiantes un taller de una hora con el objetivo de que resolvieran una serie de actividades sobre el manejo b\u00e1sico de cada herramienta de GeoGebra. El profesor estuvo pendiente de las inquietudes que los estudiantes pudieron tener en el proceso.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<b>Recolecci\u00f3n<\/b>. Se utilizaron las hojas de trabajo como instrumento de recolecci\u00f3n, el cual abarcaba diferentes preguntas con un espacio suficiente para que los estudiantes comunicaran sus ideas por escrito. En este taller se evidenci\u00f3 la capacidad que ellos tienen para conjeturar, a pesar de su corta edad. Algunos de los cuestionamientos estuvieron basados en un contexto realista o hipot\u00e9tico. Cabe mencionar que la propuesta de trabajo se abord\u00f3 tanto de manera individual como colectiva.<\/p>\n<p>Durante la puesta en escena de las hojas de trabajo sobresalieron tres etapas: (a) trabajo individual, (b) acompa\u00f1amiento del docente investigador y (c) reformulaci\u00f3n de contextos.<\/p>\n<ul>\n<li>Trabajo individual: en esta etapa, el estudiante se confronta al problema de manera individual con apoyo del docente o de otro par.<\/li>\n<li>Acompa\u00f1amiento del docente investigador: en esta etapa, la intervenci\u00f3n del maestro es para formular cuestionamientos y brindar sugerencias que permitan al estudiante aproximarse a la soluci\u00f3n del problema.<\/li>\n<li>Reformulaci\u00f3n de contextos: este espacio le brinda la oportunidad al estudiante a enfrentarse a problemas parecidos, pero en diferentes contextos, es decir, que sea capaz de sostener un v\u00ednculo con el problema original, pero aumentando algunas caracter\u00edsticas que le posibiliten explorar nuevos dominios.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<b>Fase de procesamiento<\/b>. Despu\u00e9s de haber recogido la informaci\u00f3n, se procedi\u00f3 a archivarla de forma f\u00edsica y electr\u00f3nica. Se realizaron archivos con las hojas de trabajo. Las actividades fueron clasificadas en carpetas, las cuales se marcaron con el t\u00edtulo de la hoja de trabajo y la fecha de aplicaci\u00f3n. De igual manera, se conservaron, nombraron y guardaron los archivos electr\u00f3nicos elaborados por los estudiantes en los port\u00e1tiles, con ayuda del software de GeoGebra, adem\u00e1s de fotograf\u00edas y videos. Una vez guardados los archivos, se procedi\u00f3 a elaborar las tablas y las gr\u00e1ficas, seg\u00fan las categor\u00edas de an\u00e1lisis. En lo cuantitativo, se emplearon las siguientes categor\u00edas: correcto, incorrecto y no contest\u00f3. Esta \u00faltima no se caracteriz\u00f3 debido a que todos los estudiantes contestaron cada una de las preguntas. En relaci\u00f3n con lo cualitativo, se utilizaron las categor\u00edas de acuerdo con el tipo de recursos y estrategias utilizadas por los estudiantes participantes.<\/p>\n<p><b>An\u00e1lisis de resultados<\/b>. Una vez recogida la informaci\u00f3n, se procedi\u00f3 a analizarla, con base en los desarrollos cualitativos y cuantitativos. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos, fue posible entregar la respuesta a las preguntas planteadas en la investigaci\u00f3n, las cuales marcaron el derrotero para la realizaci\u00f3n del trabajo. Por otro lado, se pudo evaluar el impacto de las actividades propuestas a los participantes en el sal\u00f3n de clase.<\/p>\n<p>Esta fase del estudio se efectu\u00f3 con base en los referentes planteados en los cap\u00edtulos 1 y 2 del trabajo de investigaci\u00f3n, con lo que se esperaba constatar que, en el marco de la resoluci\u00f3n de problemas, el uso de material manipulativo y de tecnolog\u00eda digital desempe\u00f1an un papel preponderante al interior del aula de clase, puesto que posibilitan el progreso de la capacidad del estudiante para construir conjeturas.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\">\u00bfCon qu\u00e9 materiales se ejecut\u00f3 el proyecto?<\/strong><br \/>\nPara la ejecuci\u00f3n del proyecto, en el \u00e1mbito de la resoluci\u00f3n de problemas, se utilizaron dos clases de materiales: (a) el software GeoGebra y (b) los materiales manipulativos matem\u00e1ticos, tales como la regla y el comp\u00e1s.<\/p>\n<p>GeoGebra es un software libre y gratuito, creado por Hohenwarter et al., (2008), que combina la geometr\u00eda y la estructura de los sistemas algebraicos, lo cual permite potenciar conceptos matem\u00e1ticos desde los primeros a\u00f1os de escuela hasta los grados universitarios, si se desea. Este programa le permiti\u00f3 al docente, durante la investigaci\u00f3n, producir cualquier tipo de actividad o tarea para introducir un concepto matem\u00e1tico e institucionalizarlo.<\/p>\n<p>De otro lado, le brind\u00f3 al alumno herramientas de tipo geom\u00e9trico, algebraico y propias del c\u00e1lculo, para explorar y comprender propiedades fundamentales de los objetos matem\u00e1ticos, y poder pasar de una representaci\u00f3n a otra de un mismo concepto, lo que lleva, seg\u00fan Duval (1999), a comprender realmente la estructura de los elementos matem\u00e1ticos involucrados.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\">\u00bfQu\u00e9 resultados se obtuvieron?<\/strong><br \/>\n<strong style=\"color:#b695c0;\"><i>La l\u00ednea base<\/i><\/strong><br \/>\nEn esta secci\u00f3n se describen las caracter\u00edsticas de un estudio diagn\u00f3stico y se presentan los principales resultados.<\/p>\n<p>La l\u00ednea de base se establece a partir de la aplicaci\u00f3n inicial a los estudiantes del grado cuarto de primaria, de un test de entrada que consta de cuatro p\u00e1ginas, dos hojas y diez preguntas mixtas, de estas, siete eran de car\u00e1cter abierto y las otras tres de selecci\u00f3n m\u00faltiple (Anexo A), las cuales se compilaron en los siguientes grupos de an\u00e1lisis:<br \/>\n<b>Concepciones<\/b>: las primeras siete preguntas indagaron sobre las concepciones que tuvieron los alumnos sobre \u00e1ngulo llano, tri\u00e1ngulo, \u00e1ngulos internos y externos de un tri\u00e1ngulo.<\/p>\n<p><b>Percepci\u00f3n<\/b>: la pregunta 8 comprend\u00eda la percepci\u00f3n que tuvieron los alumnos sobre el tama\u00f1o, la forma y la posici\u00f3n de un tri\u00e1ngulo alrededor de la propiedad de la suma de la medida de los \u00e1ngulos internos de esta figura. Lo que se pretend\u00eda con este interrogante era examinar el impacto que tienen el tama\u00f1o, la forma y la posici\u00f3n en la toma de decisiones para la resoluci\u00f3n de problemas de geometr\u00eda.<\/p>\n<p><b>Manejo de recursos<\/b>: las preguntas 9 y 10 correspond\u00edan al grupo de cuestionamientos relacionados con algunas de las propiedades de los tri\u00e1ngulos, a saber: (a) propiedad de la suma de la medida de los \u00e1ngulos internos de un tri\u00e1ngulo, (b) propiedad de la suma de la medida de los \u00e1ngulos externos de un tri\u00e1ngulo, y (c) propiedad de la suma de la medida de dos \u00e1ngulos internos de un tri\u00e1ngulo con relaci\u00f3n a un \u00e1ngulo externo no adyacente a ellos. En este bloque de preguntas se trataba de analizar si los alumnos conoc\u00edan o no estas propiedades.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\"><i>Objetivos<\/i><\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Analizar los conceptos que tienen los alumnos alrededor del tri\u00e1ngulo y algunos de sus elementos (Conceptualizaci\u00f3n).<\/li>\n<li>Estudiar el impacto que tiene la percepci\u00f3n (tama\u00f1o, forma y posici\u00f3n) en relaci\u00f3n con la toma de decisiones geom\u00e9tricas, en la resoluci\u00f3n de problemas de geometr\u00eda respecto a la construcci\u00f3n de conjeturas geom\u00e9tricas (Percepci\u00f3n).<\/li>\n<li>Explorar el conocimiento inicial que tienen los alumnos de grado cuarto de primaria acerca de algunas de las propiedades de los \u00e1ngulos en un tri\u00e1ngulo (Uso de recursos, seg\u00fan Schoenfeld).<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<strong style=\"color:#b695c0;\"><i>Condiciones de la aplicaci\u00f3n<\/i><\/strong><br \/>\nEl test de entrada, que sirvi\u00f3 de l\u00ednea de base para esta investigaci\u00f3n, cont\u00f3 con la participaci\u00f3n de 28 estudiantes (13 mujeres y 15 hombres). Este instrumento se aplic\u00f3 por escrito y de forma individual; para contestarlo, los estudiantes estuvieron bajo las siguientes condiciones:<\/p>\n<p>El diagn\u00f3stico se aplic\u00f3 a los 28 estudiantes del grado cuarto de primaria participantes del estudio, en la IE T\u00e9cnica de Comercio Sim\u00f3n Rodr\u00edguez, sede Mar\u00eda Panesso, en la jornada de la tarde, en la ciudad de Cali.<\/p>\n<p>Antes de entregar el test de entrada, la docente dio las explicaciones correspondientes para diligenciarlo. Luego, les solicit\u00f3 a todos los estudiantes que se sentaran en sillas individuales. Posteriormente, la profesora verific\u00f3 que todos los estudiantes tuvieran a mano un lapicero de color negro para resolver el test. En ese momento, para que los estudiantes resolvieran el test de entrada, la docente procedi\u00f3 a leer en voz alta las indicaciones que estaban detalladas en la parte inicial del mismo: <i>(a) Lee y entiende cada punto antes de responder, (b) usa lapicero para responder el test, (c) no borres ni taches las respuestas, y (d) la profesora le indicar\u00e1 cu\u00e1ndo puede pasar a resolver cada punto<\/i>.<\/p>\n<p>M\u00e1s adelante, la docente ley\u00f3 en voz alta cada una de las preguntas hasta terminar los diez \u00edtems planteados en el test, dando un tiempo prudente para que todos los estudiantes alcanzaran a responder. Finalmente, la docente les inform\u00f3 que, al terminar de contestar los diez \u00edtems, verificaran si escribieron el nombre y contestaron cada pegunta. Inmediatamente, pas\u00f3 por cada puesto recogiendo los test. Los estudiantes emplearon un tiempo de 40 minutos para contestar el test de entrada.<\/p>\n<p>El trabajo se fundament\u00f3 en que los estudiantes construyeran las conjeturas sobre algunas de las propiedades de los tri\u00e1ngulos, estas son: (a) la suma de los \u00e1ngulos internos de los tri\u00e1ngulos, (b) la suma de los \u00e1ngulos externos de los tri\u00e1ngulos, y (c) la suma de dos \u00e1ngulos internos y uno externo no adyacente a ellos. Para efectos de este art\u00edculo y por calidad de la extensi\u00f3n, solo se abordar\u00e1 la primera propiedad citada.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\"><i>Resultados de la hoja de trabajo 1 (suma de \u00e1ngulos internos de un tri\u00e1ngulo)<\/i><\/strong><br \/>\nLa actividad de la hoja de trabajo 1 se aplic\u00f3 el 11 de septiembre de 2019; esta permiti\u00f3 que los alumnos pudieran establecer la relaci\u00f3n entre los \u00e1ngulos interiores de un tri\u00e1ngulo. Dicha hoja de trabajo constaba de ocho actividades (Anexo B), las cuales estaban planteadas en el siguiente orden:<\/p>\n<ul>\n<li>Con el apoyo del software din\u00e1mico de GeoGebra dibuja el tri\u00e1ngulo ABC.<\/li>\n<li>Mide los \u00e1ngulos internos del tri\u00e1ngulo ABC que dibujaste.<\/li>\n<li>Mueve los v\u00e9rtices del tri\u00e1ngulo para completar la tabla de la hoja de c\u00e1lculo del software, y en el cuaderno suma los \u00e1ngulos internos del tri\u00e1ngulo.<\/li>\n<li>Seg\u00fan los resultados de la tabla, escribe un p\u00e1rrafo sobre la suma de la medida de los \u00e1ngulos internos de un tri\u00e1ngulo.<\/li>\n<li>Utilizaci\u00f3n de material manipulativo para la construcci\u00f3n de dos tri\u00e1ngulos de diferentes tama\u00f1os y el trazado de los \u00e1ngulos internos del mismo con el uso de regla y comp\u00e1s.<\/li>\n<li>Escritura de lo observado al comparar la medida de la suma de los \u00e1ngulos internos de los dos tri\u00e1ngulos de distinto tama\u00f1o.<\/li>\n<li>Socializaci\u00f3n de los resultados con el docente y los pares.<\/li>\n<li>Institucionalizaci\u00f3n de resultados.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<strong style=\"color:#b695c0;\"><i>Objetivos de la hoja de trabajo<\/i><\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Analizar el manejo de recursos que emplean los estudiantes del grado cuarto de primaria en el proceso de construcci\u00f3n de conjeturas en un contexto geom\u00e9trico.<\/li>\n<li>Analizar el impacto que tiene el empleo de GeoGebra y el material manipulativo en el proceso de construir conjeturas geom\u00e9tricas.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<strong style=\"color:#b695c0;\"><i>Condiciones de trabajo de la hoja de trabajo 1<\/i><\/strong><br \/>\nEsta hoja de trabajo la respondieron 28 estudiantes ,15 hombres [53,54 %] entre los 9 y los 14 a\u00f1os de edad, y 13 mujeres [46,46 %] entre los 9 y los 13 a\u00f1os de edad). Fue aplicada a cada estudiante el d\u00eda 23 de octubre de 2019 de manera escrita hasta la pregunta n\u00famero 7. En la pregunta 8, las conclusiones se socializaron con el docente y los compa\u00f1eros de clase. Para solucionar las actividades de dicha hoja de trabajo, los alumnos usaron papel, l\u00e1piz, 1\/8 de cartulina, colores, comp\u00e1s, pegante, tijeras (Figura 2); adem\u00e1s de un computador por persona, con previa instalaci\u00f3n del software din\u00e1mico GeoGebra. Los alumnos se capacitaron sobre el uso de GeoGebra. La actividad se llev\u00f3 a cabo durante 120 minutos (Figura 3).<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 2.<\/strong> Medici\u00f3n de los \u00e1ngulos internos con material manipulativo<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap2_1.png\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2020).<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 3.<\/strong> Medici\u00f3n de los \u00e1ngulos internos con GeoGebra<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/cap2_4.png\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2020).<\/p>\n<p>Las fases en las que se desarroll\u00f3 el taller para la hoja de trabajo 1, en el grado cuarto de primaria, se describen en la Tabla 2.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Tabla 2.<\/strong> Fases del desarrollo del taller para la hoja de trabajo 1<\/p>\n<div>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td><b>Fase<\/b><\/td>\n<td><b>Descripci\u00f3n<\/b><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Taller de manejo de GeoGebra<\/td>\n<td>Uso del software GeoGebra. Los alumnos exploraron la barra de herramientas y la vista de la hoja de c\u00e1lculo.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Uso de GeoGebra<\/td>\n<td>Los alumnos dibujaron un tri\u00e1ngulo y midieron los \u00e1ngulos internos del mismo. Al mover indistintamente cualquier v\u00e9rtice del tri\u00e1ngulo, se formaron distintos \u00e1ngulos internos que fueron anotados en la vista de la hoja de c\u00e1lculo. El alumno sum\u00f3 los \u00e1ngulos internos y escribi\u00f3 con sus propias palabras una conjetura con base en el registro num\u00e9rico.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Uso del material manipulativo<\/td>\n<td>Los alumnos, usando el 1\/8 de cartulina, dibujaron dos tri\u00e1ngulos de diferente tama\u00f1o, con apoyo de un comp\u00e1s y teniendo en cuenta que deb\u00edan trazar con la misma abertura los \u00e1ngulos internos de cada tri\u00e1ngulo. Luego procedieron a cortar los \u00e1ngulos internos de cada tri\u00e1ngulo y los fijaron sobre una l\u00ednea recta trazada con anterioridad. Los alumnos deb\u00edan construir una conjetura con base en el registro visual.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Socializaci\u00f3n<\/td>\n<td>En esta fase, los alumnos socializaron los resultados obtenidos y por medio de la t\u00e9cnica de \u201clluvia de ideas\u201d construyeron conceptos fundamentados en su pr\u00e1ctica. El docente hizo el papel de moderador.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Institucionalizaci\u00f3n<\/td>\n<td>Terminada la socializaci\u00f3n por parte de los alumnos, el docente organiz\u00f3 e institucionaliz\u00f3 las ideas y los resultados evidenciados en cada uno de los registros de la hoja de c\u00e1lculo de GeoGebra y los elaborados con el material manipulativo.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2020).<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\"><i>Pregunta 7 (Medir)<\/i><\/strong><br \/>\nLa actividad formulada fue la siguiente: cada estudiante manipular\u00e1 y arrastrar\u00e1 uno de los v\u00e9rtices del tri\u00e1ngulo para luego registrar en la siguiente tabla de la hoja de trabajo las diferentes medidas de los \u00e1ngulos internos de los cuatro casos presentados. En la Figura 4 se observa que hay un elevado porcentaje de alumnos que logra medir los \u00e1ngulos internos del tri\u00e1ngulo. Los datos se registraron en la tabla de la ficha de trabajo y en la hoja de c\u00e1lculo de GeoGebra, y se elabor\u00f3 la suma de ellos.<\/p>\n<p>En la Figura 4 se evidencia que, a pesar de haber realizado talleres previos sobre el uso de GeoGebra, al 10,72 % de los estudiantes se les dificult\u00f3 medir de forma adecuada los \u00e1ngulos internos de un tri\u00e1ngulo, mientras que el 89,28 % de ellos logr\u00f3 hacer la medici\u00f3n. En esta clase de ambientes de aprendizaje el uso de GeoGebra forma parte del dominio de conocimientos o recursos de los que dispone el resolutor.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 4.<\/strong> Pregunta 7 &#8211; Hoja de trabajo 1<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap2_fig4.png\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2020).<\/p>\n<p>En la Figura 5 se muestran dos evidencias del trabajo realizado por los estudiantes para medir \u00e1ngulos con ayuda de GeoGebra.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 5.<\/strong> Estudiante 20 &#8211; Hoja de trabajo 1<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap2_5.jpg\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2020).<\/p>\n<p>En la Figura 6 se puede ver una respuesta incorrecta. La alumna cometi\u00f3 una equivocaci\u00f3n al realizar una de las sumas de las medidas de los \u00e1ngulos del tri\u00e1ngulo. Es evidente que a\u00fan no manejaba los recursos para medir los \u00e1ngulos internos de un tri\u00e1ngulo. De otro lado, a\u00fan no ten\u00eda desarrolladas las estrategias metacognitivas ni los mecanismos de control para detectar y corregir el error a tiempo. En consecuencia, las conclusiones relacionadas con la suma de los \u00e1ngulos internos le dieron distintos resultados, por lo que se le dificult\u00f3 construir la conjetura.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 6.<\/strong> Estudiante 20 &#8211; Hoja de trabajo 1<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap2_6.png\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2020).<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\"><i>Pregunta 8 (Conjeturar)<\/i><\/strong><br \/>\nLa actividad planteada fue la siguiente: seg\u00fan lo analizado en la actividad de recortado de la suma de los \u00e1ngulos internos de un tri\u00e1ngulo y lo realizado en GeoGebra, escribe en el siguiente espacio en blanco, utilizando tus propias palabras, \u00bfen qu\u00e9 consiste la ley sobre la suma de los \u00e1ngulos internos en un tri\u00e1ngulo? En las figuras 7 y 8 se observan los resultados de los estudiantes.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 7.<\/strong> Pregunta 8 (Conjeturar) &#8211; Hoja de trabajo 1<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap2_fig7.png\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2020).<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 8.<\/strong> Resultados de los estudiantes en la pregunta 8<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap2_8.jpg\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2020).<\/p>\n<p>En cuanto a la construcci\u00f3n de conjeturas de los estudiantes, se pudo inferir que gran parte de los alumnos (85,71 %) lograron construir acertadamente la ley de la suma de los \u00e1ngulos internos de un tri\u00e1ngulo, ya que pudieron visualizar y encontrar invariantes geom\u00e9tricas, y construir la conjetura solicitada. De igual manera, se evidenci\u00f3 que los alumnos que a\u00fan no med\u00edan de forma correcta lo \u00e1ngulos o que fallaron al realizar la suma de los \u00e1ngulos internos del tri\u00e1ngulo no alcanzaron a identificar el patr\u00f3n o la regularidad, teniendo en cuenta que no interesa la forma, el tama\u00f1o o el tipo de tri\u00e1ngulo sobre el que se trabaja, para que la suma de los \u00e1ngulos internos sea igual.<\/p>\n<p>Otro detalle importante en la construcci\u00f3n de las conjeturas fue el redondeo, pues en algunos casos la suma de los \u00e1ngulos internos dio un aproximado de 179,98\u00ba, y los alumnos no lograron reconocer que esta m\u00ednima diferencia o error ocurre debido a la precisi\u00f3n de la medida y que, por lo tanto, la cantidad se puede redondear a 180\u00ba. En las figuras 9 (correcta) y 10 (incorrecta) se observan los manuscritos producidos por los estudiantes en las hojas de trabajo, durante el proceso de construcci\u00f3n de conjeturas.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 9.<\/strong> Estudiante 5 &#8211; Hoja de trabajo 1 [Correcta]\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap2_9.jpg\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2020).<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 10.<\/strong> Estudiante 4 &#8211; Hoja de trabajo 1 [Incorrecta]\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap2_10.jpg&quot;\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2020).<\/p>\n<p>Una gran mayor\u00eda de alumnos (85,71 %) alcanzaron a construir la conjetura sobre la suma de la medida de \u00e1ngulos internos del tri\u00e1ngulo. Esto revel\u00f3 un significativo progreso al proceso de aprendizaje de los estudiantes de cuarto grado de primaria, porque lograron medir, visualizar, encontrar patrones, regularidades, invariancias geom\u00e9tricas y expresar las ideas matem\u00e1ticas con sus propias palabras. Sin embargo, fueron palpables los errores de ortograf\u00eda y de redacci\u00f3n de los estudiantes.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\"><i>Pregunta 5 (Recortar)<\/i><\/strong><br \/>\nEn esta instrucci\u00f3n los alumnos deb\u00edan dibujar dos tri\u00e1ngulos de distinto tama\u00f1o (uno grande y otro peque\u00f1o); luego, con ayuda de un comp\u00e1s, empleando la misma abertura, deb\u00edan trazar los \u00e1ngulos internos en cada uno de los tri\u00e1ngulos dibujados para luego proceder a recortar los \u00e1ngulos internos de cada uno de los tri\u00e1ngulos, usando las tijeras. Posteriormente, deb\u00edan pegarlos sobre un \u00e1ngulo llano. M\u00e1s adelante, se expusieron las evidencias del trabajo elaborado por los alumnos con el material manipulativo (Figura 11).<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 11.<\/strong> Trabajo de los estudiantes hoja de trabajo<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap2_fig11.png\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2020).<\/p>\n<p>Los 28 alumnos (100 %) recortaron los \u00e1ngulos internos de cada tri\u00e1ngulo y los pegaron sobre un \u00e1ngulo llano, tal como se reporta en la Figura 11.<\/p>\n<p>En las muestras aqu\u00ed expuestas (figuras 12 y 13) se observa que los alumnos alcanzaron a recortar y pegar los \u00e1ngulos internos de los dos tri\u00e1ngulos (uno grande y uno peque\u00f1o). Esta actividad les permiti\u00f3 a los estudiantes analizar el resultado de la suma de la medida de los \u00e1ngulos internos por medio de un registro gr\u00e1fico de representaci\u00f3n, lo cual suplement\u00f3 el trabajo abordado desde el registro tabular o num\u00e9rico de la hoja de c\u00e1lculo de GeoGebra. Adem\u00e1s, se evidenci\u00f3 que algunos alumnos presentaron inconvenientes en lo referente a la motricidad fina, al realizar el corte con las tijeras y pegado de los \u00e1ngulos sobre el \u00e1ngulo llano.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 12.<\/strong> Estudiante 4 &#8211; Hoja de trabajo 1<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap2_12.jpg\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: manuscrito del estudiante (2020).<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 13.<\/strong> Estudiante 25 &#8211; Hoja de trabajo 1<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap2_13.jpg\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: manuscrito del estudiante (2020).<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\"><i>Pregunta 5 (Conjeturar)<\/i><\/strong><br \/>\nEn cuanto a que los estudiantes construyeran con sus propias palabras un p\u00e1rrafo sobre la suma de la medida de los \u00e1ngulos internos de un tri\u00e1ngulo, que correspond\u00eda al \u00edtem 5, el estudio revel\u00f3 que los alumnos, al recortar y pegar los \u00e1ngulos sobre el \u00e1ngulo llano, redactaron de distinta manera lo solicitado sobre la ley de la suma de la medida de los \u00e1ngulos internos de un tri\u00e1ngulo. Desde esta perspectiva, que se pueda afirmar que lograron construir sus propias conjeturas, tal como se observa en las figuras 14 y 15.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 14.<\/strong> . Estudiante 12 &#8211; Hoja de trabajo 1<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap2_14.jpg\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n del estudiante (2020).<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 15.<\/strong> Estudiante 36 &#8211; Hoja de trabajo 1<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap2_15.jpg\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n del estudiante (2020).<\/p>\n<p>Este tipo de evidencias experimentales demuestran que los estudiantes de cuarto a\u00f1o de primaria, con la ayuda del profesor, pueden realizar actividades de aprendizaje mediadas por una hoja de trabajo, tecnolog\u00eda digital y materiales manipulativos, as\u00ed como construir conjeturas sobre los objetos geom\u00e9tricos.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\">\u00bfCu\u00e1les son las lecciones aprendidas?<\/strong><br \/>\nEn la l\u00ednea de base se evidenci\u00f3 que gran parte (92 %) de los alumnos del grado cuarto de primaria desconoc\u00edan la ley acerca de la suma de la medida de los \u00e1ngulos internos de un tri\u00e1ngulo. Sin embargo, al aplicar las secuencias did\u00e1cticas, el 94 % de los alumnos fueron capaces de construir la conjetura sobre esta ley de manera correcta.<\/p>\n<p>En las tablas 2 y 3 se observa que la implementaci\u00f3n did\u00e1ctica tuvo un impacto positivo en el grupo de estudiantes en varios aspectos: (a) en el aumento del promedio de rendimiento del 21,79 % en el test de entrada, al 94,6 % en el test de salida, y b) en el coeficiente de variabilidad (CV) se observ\u00f3 que el grupo inicialmente era muy heterog\u00e9neo y despu\u00e9s de la intervenci\u00f3n did\u00e1ctica se hizo m\u00e1s homog\u00e9neo.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Tabla 2.<\/strong> Test de entrada<\/p>\n<div>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td><b>Media<\/b><\/td>\n<td>21,79<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><b>Desviaci\u00f3n t\u00edpica<\/b><\/td>\n<td>13,38<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><b>C.V.<\/b><\/td>\n<td>61,40<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2020).<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Tabla 3.<\/strong> Test de salida<\/p>\n<div>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td><b>Media<\/b><\/td>\n<td>94,64<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><b>Desviaci\u00f3n t\u00edpica<\/b><\/td>\n<td>9,81<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><b>C.V.<\/b><\/td>\n<td>10,37<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#b695c0;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2020).<\/p>\n<p>Para producir los resultados altamente positivos en la construcci\u00f3n de conjeturas, fue necesario tener en cuenta: (a) un profesor con formaci\u00f3n matem\u00e1tica y did\u00e1ctica, (b) hojas de trabajo desarrolladas exprofeso, (c) material did\u00e1ctico (computadores, software din\u00e1mico y material manipulativo) y (d) una metodolog\u00eda de trabajo que demanda un rol m\u00e1s activo de parte del estudiante.<\/p>\n<p>Los alumnos intervinieron de forma din\u00e1mica durante todo el proceso de construcci\u00f3n de este conocimiento. Participaron en actividades como trazar tri\u00e1ngulos y \u00e1ngulos, medir, calcular, recortar, colorear, visualizar, encontrar patrones, regularidades, invariancias y conjeturar. La organizaci\u00f3n intencionada de este tipo de actividades motiva a los alumnos, y les permite establecer roles m\u00e1s participativos y proactivos en el proceso de aprendizaje de las matem\u00e1ticas.<\/p>\n<p>Se emplearon distintas representaciones semi\u00f3ticas, tales como visuales, tabulares y verbales (Duval, 1999). Estos diferentes registros de representaci\u00f3n se complementan en los procesos de comprensi\u00f3n y articulaci\u00f3n que se generan entre ellos, emergiendo as\u00ed el conocimiento. La tarea de medir, arrastrar, mover, recortar, pegar y visualizar que la suma de los \u00e1ngulos internos de un tri\u00e1ngulo da como resultado media circunferencia o que en la hoja de c\u00e1lculo de GeoGebra puedan verificar que la suma de la medida de los \u00e1ngulos internos de todo tri\u00e1ngulo da 180\u00b0 permite que el conocimiento matem\u00e1tico sea palpable y que las construcciones elaboradas a partir de este m\u00e9todo sean significativas para los alumnos.<\/p>\n<p>Esta metodolog\u00eda promueve la innovaci\u00f3n did\u00e1ctica debido a que la propuesta de secuencia did\u00e1ctica le permite a los estudiantes construir la ley por medio de conjeturas y se rompe con la educaci\u00f3n bancaria, en la que el profesor es quien enuncia la ley, sin llegar a evidenciar verdaderos procesos de comprensi\u00f3n en los estudiantes.<\/p>\n<p>El hecho de dibujar, arrastrar, medir, agrandar, achicar o construir tablas con la mediaci\u00f3n tecnol\u00f3gica, permite que los alumnos est\u00e9n atentos con respecto a los fen\u00f3menos y eventos que suceden en la pantalla del computador.<\/p>\n<p>Seg\u00fan esta propuesta de trabajo, un ambiente de geometr\u00eda din\u00e1mica es adecuado para la construcci\u00f3n de conjeturas desde la b\u00e1sica primaria sin importar la complejidad del lenguaje.<br \/>\nEl desarrollo de esta clase de actividades le genera a los estudiantes curiosidad e inter\u00e9s. Los materiales tanto manipulativos como computacionales se constituyen en herramientas de mediaci\u00f3n y motivaci\u00f3n para la construcci\u00f3n de conocimiento matem\u00e1tico.<\/p>\n<p>Los resultados de investigaci\u00f3n que aqu\u00ed se reportan invitan a hacer una reforma curricular en el \u00e1rea de matem\u00e1ticas, lo que demanda estudiar contenidos y desarrollar habilidades matem\u00e1ticas a una edad m\u00e1s temprana.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\">Referencias<\/strong><br \/>\nBen\u00edtez, D. (2006). Formas de razonamiento que desarrollan estudiantes universitarios de primer a\u00f1o en la resoluci\u00f3n de problemas con tecnolog\u00eda digital (tesis doctoral), Departamento de Matem\u00e1tica Educativa].<\/p>\n<p>Ben\u00edtez, D. y Casta\u00f1eda, L. (2005). <i>La influencia de la percepci\u00f3n en la construcci\u00f3n de conjeturas geom\u00e9tricas<\/i>. Universidad Pedag\u00f3gica Nacional.<\/p>\n<p>Ministerio de Educaci\u00f3n Nacional. (MEN). (2017). <i>Plan Nacional Decenal de Educaci\u00f3n 2016-2026. El camino hacia la calidad y equidad<\/i>.<\/p>\n<p>Moreno, L. y Santos, L. M. (2016). The Use of Digital Technology to Frame and Foster Learners\u2019Problem-Solving Experiences. En P. Felmer, E. Pehkonen, y J. Kilpatrick (Eds.), <i>Posing and Solving Mathematical Problem<\/i> (pp. 5-32). Springer.<\/p>\n<p>Polya, G. (1965). <i>\u00bfC\u00f3mo plantear y resolver problemas de matem\u00e1ticas?<\/i>. Trillas.<\/p>\n<p>Schoenfeld, A. (1985). <i>Mathematical Problem Solving<\/i>. Orlando, Fl.: Academic Press.<\/p>\n<p>Duval, R.. (2017). <i>Semiosis y pensamiento humano. Registros semi\u00f3ticos y aprendizajes intelectuales<\/i>. Universidad del Valle.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#F1C40F;\">Notas (cap\u00edtulo II \/ Experiencia 1)<\/strong><br \/>\n<a name=\"Cap2Exp1-0\">[*]<\/a> Asimismo se reconoce que algunas bases te\u00f3ricas y metodol\u00f3gicas para la construcci\u00f3n del presente art\u00edculo son resultados de investigaci\u00f3n del proyecto <i>Desarrollo de la competencia de resoluci\u00f3n de problemas de matem\u00e1ticas con la mediaci\u00f3n de las tecnolog\u00edas digitales en estudiantes de educaci\u00f3n b\u00e1sica en Cali<\/i> de convocatoria interna de la Universidad del Valle, donde la su autora Edilma Quiceno Mesa fungi\u00f3 como estudiante vinculada a dicho proyecto.<br \/>\n<\/details>\n<p>\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014<\/p>\n<details>\n<summary><strong style=\"color:#F1C40F;\">Experiencia 2. Uso de la geometr\u00eda en el dise\u00f1o de recipientes para crispetas<\/strong><br \/>\n<i>Yolanda Gir\u00f3n Colorado, Liliana Margarita Plaza Lafaurie y Luis Alberto Mosquera<\/i><\/summary>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\">Resumen<\/strong><br \/>\nA partir de lo que significa la experiencia de ir al cine, los estudiantes del grado tercero tuvieron la oportunidad del proyecto denominado \u201cpromotores de cine Berch\u201d. Este fue un proyecto planeado para los dos primeros per\u00edodos del a\u00f1o lectivo 2019-2020, en el cual los estudiantes tuvieron la oportunidad de participar en aspectos propios de la log\u00edstica para el montaje de una funci\u00f3n de cine. Dentro de dichos aspectos estuvieron: la venta y compra de productos; venta y compra de las boletas de entrada; marcar la silleter\u00eda de la sala vs la boleter\u00eda; difusi\u00f3n e invitaci\u00f3n de la pel\u00edcula y la elaboraci\u00f3n del dise\u00f1o de las cajas para las crispetas, este \u00faltimo aspecto, se constituy\u00f3 en la actividad central del proyecto, permitiendo el dise\u00f1o de un ambiente de aprendizaje enmarcado en la utilizaci\u00f3n del programa GeoGebra, programa a trav\u00e9s del cual los estudiantes en un principio, exploraron, identificaron, verificaron y reconocieron las propiedades geom\u00e9tricas de los cuadril\u00e1teros como el paralelogramo cuadrado y el trapecio is\u00f3sceles, realizando la construcci\u00f3n de dichas figuras geom\u00e9tricas, siendo finalmente empleadas en la elaboraci\u00f3n del dise\u00f1o del recipiente.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\">\u00bfD\u00f3nde se hizo el proyecto?<\/strong><br \/>\nLa instituci\u00f3n educativa donde se implement\u00f3 el proyecto es el colegio Berchmans, situado al sur de Cali, perteneciente al sector privado que, a su vez, hace parte de la Red de Asociaci\u00f3n de colegios Jesuitas de Colombia (ACODESI). Alrededor de la Instituci\u00f3n educativa hay una zona residencial que colinda con la Pontificia Universidad Javeriana de Cali.<\/p>\n<p>El centro de su propuesta educativa es la persona como ser humano integral. Por tal raz\u00f3n, en la instituci\u00f3n se acompa\u00f1a a los estudiantes en su proceso de formaci\u00f3n, donde todas y cada una de las actividades se viven con el sello de la educaci\u00f3n jesu\u00edtica. Las caracter\u00edsticas distintivas son: el educar teniendo en cuenta el contexto sociocultural, <i>el fomentar la autonom\u00eda y responsabilidad<\/i> en la relaci\u00f3n del estudiante consigo mismo, con los otros y con el conocimiento; <i>desarrollar una did\u00e1ctica personalizada<\/i> que permita a los estudiantes dar cuenta de las significaciones de la realidad y <i>promover en los espacios escolares la actividad, el trabajo individual y grupal, la creatividad, y la sana convivencia, as\u00ed como el esp\u00edritu de trascendencia<\/i>.<\/p>\n<p>El proyecto fue implementado en el grado tercero de primaria, el cual est\u00e1 conformado por 4 grupos de 32 ni\u00f1os cada uno, para un total de 128 estudiantes, de los cuales 52 son ni\u00f1as y 76 son ni\u00f1os que oscilan en las edades de 9 y 10 a\u00f1os; la mayor\u00eda de los estudiantes inici\u00f3 su escolaridad en el preescolar del colegio. Para el desarrollo del colegio se cont\u00f3 con el acompa\u00f1amiento de 4 maestras titulares de los grupos enunciados.<\/p>\n<p>En la propuesta del proyecto y su desarrollo experimental se hizo en dos grupos (3B y 3D). Los otros grupos (3 A y 3C) participaron en calidad de grupos piloto.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\">\u00bfQu\u00e9 se hizo y por qu\u00e9?<\/strong><br \/>\nEn el presente art\u00edculo se comparte una Experiencia Did\u00e1ctica significativa en la Matem\u00e1tica escolar en el grado tercero de la b\u00e1sica primaria. El trabajo se desarroll\u00f3 en el marco del Aprendizaje Basado en Proyectos (ABP) donde, de manera transversal, se aborda una activad problem\u00e1tica que contiene actividades de las \u00e1reas de matem\u00e1ticas, lenguaje, econom\u00eda y art\u00edstica.<\/p>\n<p>El proyecto estuvo enmarcado especialmente en el desarrollo del pensamiento geom\u00e9trico en un ambiente de aprendizaje en el que los estudiantes reconozcan las propiedades geom\u00e9tricas de los cuadril\u00e1teros y las empleen en el dise\u00f1o de recipientes para crispetas utilizando el programa de GeoGebra.<\/p>\n<p>Observando las dificultades presentadas con los estudiantes al momento de trabajar las propiedades geom\u00e9tricas de los cuadril\u00e1teros en procesos de verificaci\u00f3n y construcci\u00f3n, haciendo uso del papel, l\u00e1piz, regla y escuadra, y con el prop\u00f3sito de motivarlos a partir de pr\u00e1cticas innovadoras en las clases, se asumi\u00f3 como reto, parte de las propuestas dadas en el diplomado ofrecido al colegio y dictado por la Universidad ICESI-Instituto GeoGebra Cali, el llevar al aula el uso de la tecnolog\u00eda, elemento que incentiva y motiva al estudiante de hoy en d\u00eda para, posteriormente, alternarlo con el trabajo en el papel.<\/p>\n<p>Al inicio del desarrollo del proyecto se observ\u00f3 r\u00e1pidamente c\u00f3mo los estudiantes se fueron apropiando con facilidad de las herramientas que proporciona el programa de GeoGebra y c\u00f3mo a partir del desarrollo de las propuestas de cada clase lograban reconocer los elementos que conforman las figuras geom\u00e9tricas: v\u00e9rtice, segmentos, \u00e1ngulos, superficie, adem\u00e1s de comprender mejor ciertos conceptos geom\u00e9tricos tales como: punto, puntos de intersecci\u00f3n, punto medio, medida de los lados y \u00e1ngulos, relaci\u00f3n de paralelismo y perpendicularidad entre los lados de una figura, congruencia, entre otros.<\/p>\n<p>Las actividades de cada clase estaban enmarcadas en el uso de unas gu\u00edas de trabajo que les permit\u00eda en un principio explorar, sacar conclusiones y llegar a definir cada figura enunciando sus propiedades. Posterior a ello, los estudiantes a partir del seguimiento de unas instrucciones lograron realizar construcciones del paralelogramo, paralelogramo cuadrado, trapecio y trapecio is\u00f3sceles, figuras que se requer\u00edan para la elaboraci\u00f3n del recipiente para las crispetas.<\/p>\n<p>Sin embargo, desde otras \u00e1reas tambi\u00e9n se trabaj\u00f3 en el proyecto. En el \u00e1rea de lengua castellana se hizo rese\u00f1a hist\u00f3rica de la pel\u00edcula, se analizaron las intenciones y caracter\u00edsticas de los personajes principales; en art\u00edstica se elaboraron los afiches promocionando la pel\u00edcula, los carteles con los precios de los productos que se iban a vender en la tienda.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\">\u00bfC\u00f3mo se hizo el proyecto?<\/strong><br \/>\nSe indica c\u00f3mo se llev\u00f3 a cabo, con cu\u00e1les supuestos te\u00f3ricos y t\u00e9cnicas empleadas (aqu\u00ed el elemento articulador es la hoja de trabajo), los factores que influyeron positiva y negativamente (a nivel institucional, local, organizativo, actuaci\u00f3n de protagonistas\u2026), los aciertos y errores, los cambios suscitados en la marcha. En esta secci\u00f3n se pueden presentar la fases o etapas de ejecuci\u00f3n del proyecto. Es clave resaltar las condiciones en las que se ejecut\u00f3 la hoja de trabajo (tiempos, roles, si fue individual o por equipos y los diferentes momentos de la clase).<\/p>\n<p>Dentro de los referentes te\u00f3ricos en los que fue basado el proyecto enunciado, se encuentran:<\/p>\n<ul>\n<li>El concepto de competencia \u2013 Sergio Tob\u00f3n. Seg\u00fan este autor una competencia es la capacidad que desarrolla un individuo para poner en pr\u00e1ctica de manera articulada: conocimientos, habilidades, actitudes y valores.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\nEn la dimensi\u00f3n de conocimientos se encuentran los t\u00e9rminos no definidos, las definiciones, los axiomas, los algoritmos y los teoremas. Mientras que las habilidades cognitivas (o heur\u00edsticas) son estrategias \u00fatiles en la resoluci\u00f3n de problemas como: descomponer un problema en subproblemas, particularizar, conjeturar, generalizar. En las habilidades metacognitivas encontramos las preguntas que se autoformule el resolutor para entender, encontrar sus propios errores y superarlos.<\/p>\n<p>La actitud es la disposici\u00f3n que la persona tenga para estudiar las matem\u00e1ticas. Estas actitudes pueden ser positivas o negativas.<\/p>\n<p>Los valores son principios \u00e9ticos sobre los cuales se soporta el accionar todo individuo: respeto, puntualidad, cumplimiento, responsabilidad, tolerancia.<\/p>\n<p>En el diplomado trabajamos con cinco competencias: resolver problemas, proponer problemas, comunicar ideas, argumentar ideas, representar y modelar.<\/p>\n<p>El presente proyecto es una implementaci\u00f3n fundamentada en la resoluci\u00f3n de problemas de matem\u00e1ticas con la mediaci\u00f3n de las tecnolog\u00edas digitales y el material concreto.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\">Objetivo general<\/strong><br \/>\nDise\u00f1ar un ambiente de aprendizaje en el que los estudiantes reconozcan las propiedades geom\u00e9tricas de los cuadril\u00e1teros y las empleen en el dise\u00f1o de recipientes para crispetas.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\"><i>Objetivos espec\u00edficos<\/i><\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Emplear el programa GeoGebra en la exploraci\u00f3n, identificaci\u00f3n y verificaci\u00f3n de las propiedades geom\u00e9tricas de los cuadril\u00e1teros.<\/li>\n<li>Realizar procesos de construcci\u00f3n de paralelogramos y trapecios en el dise\u00f1o de recipientes para crispetas, mediante el uso de GeoGebra.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\nEl trabajo incluy\u00f3 las siguientes fases:<\/p>\n<p><b>Diagn\u00f3stico<\/b>: en la prueba diagnostica, la cual fue realizada a trav\u00e9s de un ejercicio individual, se explor\u00f3 si los estudiantes:<\/p>\n<ul>\n<li>Reconoc\u00edan las relaciones de paralelismo y perpendicularidad, entre segmentos de recta.<\/li>\n<li>Identificaban \u00e1ngulos rectos, agudos y obtusos.<\/li>\n<li>Reconoc\u00edan y verificaban con instrumentos la congruencia entre segmentos.<\/li>\n<li>Identificaban y designaban adecuadamente los elementos que conforman una figura geom\u00e9trica bidimensional.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\nEn los resultados del diagn\u00f3stico, se observ\u00f3 un porcentaje de acierto del 64 %, con una desviaci\u00f3n est\u00e1ndar de 0,48. En esta aplicaci\u00f3n, el coeficiente de variaci\u00f3n es del 76 %, lo que nos mostr\u00f3 un alto nivel de dispersi\u00f3n entre aciertos y errores al responder la prueba.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Tabla 1.<\/strong> Diagn\u00f3stico<\/p>\n<div>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td colspan=\"2\"><b>Diagn\u00f3stico<\/b><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Promedio<\/td>\n<td>0,64<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>D. est\u00e1ndar<\/td>\n<td>0,48<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>C.V.<\/td>\n<td>76%<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2020).<\/p>\n<p>Despu\u00e9s de los resultados obtenidos en el diagn\u00f3stico se desarroll\u00f3 una <b>asesor\u00eda grupal<\/b> con el prop\u00f3sito de retomar y afianzar en los estudiantes, los conceptos de paralelismo y perpendicularidad; as\u00ed como tambi\u00e9n el reconocimiento y designaci\u00f3n de los elementos que conforman las figuras geom\u00e9tricas bidimensionales. Junto con lo anterior, se realiz\u00f3 un trabajo de acercamiento, conocimiento y apropiaci\u00f3n de los estudiantes hac\u00eda las herramientas que ofrece el programa de GeoGebra, haciendo \u00e9nfasis en aquellas que iban a ser utilizadas en el proceso de la definici\u00f3n del paralelogramo, cuadrado, trapecio y trapecio is\u00f3sceles, as\u00ed como tambi\u00e9n en los procesos de verificaci\u00f3n y construcci\u00f3n de los mismos, permiti\u00e9ndoles tener los elementos para la elaboraci\u00f3n de los recipientes para las crispetas como parte del proyecto \u201cCine Berch\u201d.<\/p>\n<p><b>Exploraci\u00f3n<\/b>: posterior al trabajo diagn\u00f3stico y a la asesor\u00eda grupal, los estudiantes tuvieron la oportunidad de ir a la sala computacional para \u201cexplorar\u201d las herramientas que les ofrece el programa de GeoGebra. Cabe anotar que se dejaron a su disposici\u00f3n \u00fanicamente las herramientas que los estudiantes requer\u00edan para el trabajo, facilit\u00e1ndoles un poco la apropiaci\u00f3n de las mismas.<\/p>\n<p>El trabajo estuvo enmarcado en el desarrollo por parejas de cuatro gu\u00edas de trabajo, cada estudiante contaba con su gu\u00eda para el registro.<\/p>\n<p><b>Comunicaci\u00f3n<\/b>: se cont\u00f3 con un computador para cada pareja; esta acomodaci\u00f3n permit\u00eda que ambos estudiantes pudieran tener el tiempo de hacer el ejercicio en el programa, comunicarse entre ellos para definir conclusiones y\/o el registro de los procedimientos llevados a cabo.<\/p>\n<p><b>Institucionalizaci\u00f3n<\/b>: en el proyecto se elaboraron las siguientes gu\u00edas de trabajo:<br \/>\n<b>Gu\u00eda de trabajo No 1<\/b>. Paralelogramo.<br \/>\n<b>Gu\u00eda de trabajo No 2<\/b>. Trapecio.<br \/>\n<b>Gu\u00eda de trabajo No 3<\/b>. Cuadrado.<br \/>\n<b>Gu\u00eda de trabajo No 4<\/b>. Trapecio Is\u00f3sceles.<br \/>\n<b>Gu\u00eda de trabajo No 5<\/b>. Dise\u00f1o del recipiente para las crispetas.<\/p>\n<p>En la primera gu\u00eda de trabajo se cont\u00f3 con el apoyo de tres maestros en el aula, con el prop\u00f3sito de acompa\u00f1ar cercanamente a los estudiantes e irles ayudando a que resuelvan inquietudes o dificultades en el proceso, se fueran apropiando al manejo del programa y sus herramientas; de igual manera, se realizaron algunas puestas en com\u00fan donde uno de los maestros modelaba situaciones importantes de retomar; todas estas intervenciones eran mediadas por el di\u00e1logo mutuo, la confrontaci\u00f3n y retroalimentaci\u00f3n. Bajo la misma din\u00e1mica se desarrollaron las siguientes gu\u00edas donde finalmente se definen las propiedades de las diferentes figuras geom\u00e9tricas bidimensionales.<\/p>\n<p>Para cada gu\u00eda de trabajo, se destinaron entre dos y tres bloques de clase (hora y media cada bloque), observ\u00e1ndose en la medida en que avanzaba en el trabajo mayor dominio por parte de los estudiantes de las herramientas tecnol\u00f3gicas ofrecidas por GeoGebra, as\u00ed como tambi\u00e9n mayor autonom\u00eda y mayor rendimiento en el manejo de los tiempos.<\/p>\n<p><b>Evaluaci\u00f3n<\/b>: tras el desarrollo de las diferentes hojas de trabajo, se explora tanto en entornos computacionales como en medios f\u00edsicos si los estudiantes:<\/p>\n<ul>\n<li>Verifican relaciones de paralelismo y perpendicularidad entre los lados de figuras geom\u00e9tricas bidimensionales.<\/li>\n<li>Clasifican cuadril\u00e1teros en paralelogramos o trapecios.<\/li>\n<li>Construye paralelogramos y trapecios.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\nEn una de las evaluaciones aplicada posterior a la implementaci\u00f3n de las hojas de trabajo de la secuencia metodol\u00f3gica propuesta, se observa un porcentaje de acierto del 92 % con una desviaci\u00f3n est\u00e1ndar de 0,27. En esta medici\u00f3n el coeficiente de variaci\u00f3n fue del 30 %, lo que nos muestra una reducci\u00f3n significativa en la dispersi\u00f3n entre aciertos y errores al responder la prueba.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Tabla 2.<\/strong> Evaluaci\u00f3n<\/p>\n<div>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td colspan=\"2\"><b>Evaluaci\u00f3n<\/b><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Promedio<\/td>\n<td>0,92<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>D. est\u00e1ndar<\/td>\n<td>0,27<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>C.V.<\/td>\n<td>30%<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2020).<\/p>\n<p>Para el abordaje de cada uno de los cuadril\u00e1teros propuesto en la secuencia de las gu\u00edas, los estudiantes interactuaron con una construcci\u00f3n din\u00e1mica en un micro mundo computacional. El trabajo en este micro mundo computacional les permiti\u00f3 realizar abstracciones contextuales, sobre los aspectos invariantes en las construcciones, que, finalmente, se pudieron generalizar como propiedades geom\u00e9tricas.<\/p>\n<p>Los estudiantes identifican con mayor facilidad las relaciones de paralelismo y perpendicularidad utilizando el programa de GeoGebra, ya que cuentan con herramientas que hacen expl\u00edcitas estas relaciones o pueden llevar a cabo procesos de construcci\u00f3n para comparar visualmente si se cumple o no con alguna de estas relaciones.<\/p>\n<p>En este entorno, los estudiantes no se enfrentan a las dificultades inherentes al trazo con l\u00e1piz y papel, que presupone manejo de instrumentos como regla y escuadra, desarrollo de motricidad fina, precisi\u00f3n en los trazos, coordinaci\u00f3n viso motriz, entre otros aspectos.<\/p>\n<p>En un momento posterior se observa mayor comprensi\u00f3n de los procesos que deben desarrollar para llevar a cabo los procesos de construcci\u00f3n y verificaci\u00f3n en medio f\u00edsico de estas relaciones, empleando l\u00e1piz y papel.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Imagen 1.<\/strong> Estudiando propiedades geom\u00e9tricas b\u00e1sicas<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap2B_1.jpg\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2020).<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\">\u00bfCon qu\u00e9 materiales se ejecut\u00f3 el proyecto?<\/strong><br \/>\nEl proyecto estuvo enmarcado, b\u00e1sicamente, en el desarrollo de las gu\u00edas mencionadas anteriormente, que contienen una secuencia de actividades que le permiti\u00f3 a los estudiantes explorar a partir de las herramientas de GeoGebra los elementos de las diferentes figuras geom\u00e9tricas, reconociendo sus v\u00e9rtices, lados, \u00e1ngulos y superficie; igualmente, se vieron enfrentados a establecer la relaci\u00f3n de perpendicularidad y paralelismo entre los lados de las figuras realizando trazos para construir o verificar dichas relaciones.<\/p>\n<p>A trav\u00e9s de la prueba del arrastre, en este caso de los v\u00e9rtices, los estudiantes reconocieron qu\u00e9 elementos y relaciones se conservaban en la figura al realizar dicha prueba para, de esta manera, reconocer las propiedades que definen a cada una de estas figuras. Finalmente, la actividad propuesta fue que los estudiantes, a partir del trabajo anterior, pudiesen realizar las construcciones del paralelogramo, cuadrado, trapecio y trapecio is\u00f3sceles.<\/p>\n<p>Todo esto, es un modelo representativo del contenido y propuestas para los estudiantes en las diferentes gu\u00edas de trabajo como la siguiente:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap2_Guia.png\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\">\u00bfQu\u00e9 resultados se obtuvieron? \u00bfCu\u00e1les son las lecciones aprendidas?<\/strong><br \/>\nLa situaci\u00f3n planteada donde, a partir del uso de la geometr\u00eda y el empleo de las herramientas que ofrece el programa de GeoGebra, se realiz\u00f3 el dise\u00f1o de recipientes para crispetas, se constituy\u00f3 en un <i>problema real<\/i>, pues el referente donde se desarroll\u00f3 la situaci\u00f3n involucr\u00f3 una situaci\u00f3n real: \u201cel montaje del cine\u201d. Por ser un contexto familiar para los estudiantes, result\u00f3 de m\u00e1s f\u00e1cil abordaje en el aula y, de igual manera, el manejo de la herramienta computacional, result\u00f3 de gran utilidad<\/p>\n<p>En primer lugar, es importante se\u00f1alar que los resultados a nivel cuantitativo muestran un alto impacto en los aprendizajes de los estudiantes de la secuencia implementada. Entre las dos mediciones realizadas se observa un aumento significativo en el promedio de aciertos que pasa del 64 % al 9 2%, y una reducci\u00f3n tambi\u00e9n importante en la dispersi\u00f3n de los resultados obtenidos, puesto que el coeficiente de variaci\u00f3n pasa del 76 % al 30 %.<\/p>\n<p>Las razones de este impacto positivo de la secuencia creemos se encuentra en que:<\/p>\n<ul>\n<li>El uso de ambientes de aprendizaje mediados por tecnolog\u00eda, en particular por GeoGebra, permiti\u00f3 que los estudiantes lograran poner en juego de manera articulada conocimientos, habilidades, actitudes y valores. Es decir, permite el desarrollo de competencias, genera motivaci\u00f3n, brinda posibilidades de trabajo en equipo, necesidades de comunicaci\u00f3n, tanto de manera oral como escrita.<\/li>\n<li>El trabajo con GeoGebra permiti\u00f3 desligar la comprensi\u00f3n conceptual de las dificultades inherentes a los procesos de construcci\u00f3n y verificaci\u00f3n con l\u00e1piz y papel. Estos \u00faltimos presuponen el desarrollo de ciertas habilidades con instrumentos como regla, escuadra, comp\u00e1s, que demandan mucho tiempo en su adquisici\u00f3n. Una vez que se ha legado a la compresi\u00f3n conceptual mediante GeoGebra, el paso al entorno de l\u00e1piz y papel resulta m\u00e1s sencillo.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\nEn la implementaci\u00f3n de la secuencia metodol\u00f3gica encontramos que:<\/p>\n<ul>\n<li>La mediaci\u00f3n tecnol\u00f3gica en estos ambientes de aprendizaje requiere de un proceso de preparaci\u00f3n de parte de los estudiantes en relaci\u00f3n con las herramientas que cumplen esta funci\u00f3n mediadora.<\/li>\n<li>En estos ambientes de aprendizaje se modifican las secuencias de ense\u00f1anza. Los maestros reval\u00faan su rol, las clases pasan de ser instructivas a convertirse en espacios de discusi\u00f3n y generaci\u00f3n de conocimiento.<\/li>\n<li>El cambio en las secuencias de ense\u00f1anza ha generado la necesidad de vincular en el dise\u00f1o y discusi\u00f3n de las actividades propuestas a otros maestros del grado.<\/li>\n<li>Algunas familias han mostrado inter\u00e9s en que este trabajo realizado en el colegio pueda tener continuidad y momentos de pr\u00e1ctica en sus casas.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<strong style=\"color:#b695c0;\">Referencias<\/strong><br \/>\nBarrera, F. y Santos, M. (2002). Cualidades y procesos matem\u00e1ticos importantes en la resoluci\u00f3n de problemas: un caso hipot\u00e9tico de suministro de medicamentos. En Ministerio de Educaci\u00f3n Nacional (Ed.), <i>Seminario Nacional de Formaci\u00f3n de Docentes: Uso de las Nuevas Tecnolog\u00edas en el Aula de Matem\u00e1ticas<\/i> (pp. 166-185). MEN<\/p>\n<p>Sacristan, A. (2003). La importancia de los micro mundos computacionales como entornos did\u00e1cticos estructurados para fomentar e investigar el aprendizaje matem\u00e1tico. En <i>3er Congreso Internacional de ense\u00f1anza de la Matem\u00e1tica Asistida por Computadora (CIEMAC)<\/i>. Cartago, Costa Rica: Instituto Tecnol\u00f3gico de Costa Rica.<\/p>\n<p>Tob\u00f3n, S. (2006). <i>Aspectos b\u00e1sicos de la formaci\u00f3n basada en competencias<\/i>. Talca: proyecto Mesesup<br \/>\n<\/details>\n<p>\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014<\/p>\n<details>\n<summary><strong style=\"color:#F1C40F;\">Experiencia 3. Geogebra en la ense\u00f1anza del concepto de simetr\u00eda axial. Una experiencia monstruosa en grado tercero<\/strong><br \/>\n<i>Yenny Cifuentes Bocanegra y Yari Carime Riascos Moscoso<\/i><\/summary>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\">Resumen<\/strong><br \/>\nEl presente trabajo contiene una experiencia did\u00e1ctica en el \u00e1rea de matem\u00e1ticas para estudiantes de grado tercero del sector oficial de la Ciudad de Cali. Se dise\u00f1\u00f3 e implement\u00f3 un proyecto que combina actividades de geometr\u00eda, tecnolog\u00eda, art\u00edstica y convivencia. Las actividades se desarrollan con la mediaci\u00f3n del software de GeoGebra y de material manipulativo, para construir propiedades geom\u00e9tricas.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\">\u00bfD\u00f3nde se hizo el proyecto?<\/strong><br \/>\nLa experiencia se desarroll\u00f3 en la Instituci\u00f3n educativa oficial Libardo Madrid Valderrama, ubicada en la comuna 16 de la ciudad de Cali, la cual est\u00e1 conformada por 4 sedes, tres de ellas ofrecen los niveles de preescolar y primaria, y la cuarta es la sede principal que ofrece el bachillerato diurno y educaci\u00f3n formal para adultos en el nocturno.<\/p>\n<p>La mayor\u00eda de los estudiantes reside en los barrios de la comuna y se distribuyen as\u00ed: 57 % se encuentran en la sede principal, 21 % en la sede Ang\u00e9lica Sierra, 14 % en la sede Pablo Neruda y el 8 % restante en la sede Primero de mayo. Desde el Proyecto Educativo Institucional (PEI) el modelo pedag\u00f3gico de la Instituci\u00f3n se fundamenta en el Aprendizaje significativo, activo y constructivista que propende a la formaci\u00f3n integral de los estudiantes para el ejercicio de la ciudadan\u00eda.<\/p>\n<p>El proyecto fue denominado La Fiesta de los Monstruos como experiencia se desarroll\u00f3 con un grupo de 36 estudiantes de grado tercero pertenecientes a la Sede de primaria Ang\u00e9lica Sierra Arizabaleta ubicada en el Barrio La Uni\u00f3n. La mayor\u00eda de ellos oscilan entre los 8 y los 10 a\u00f1os de edad y era la primera vez que se acercaban al software matem\u00e1tico. Cabe resaltar que la Sede Ang\u00e9lica Sierra cuenta con dos Aulas Tit@s dotadas de 38 port\u00e1tiles cada una, conectividad y un tablero inteligente con su respectivo video beam, que posibilitaron la implementaci\u00f3n de las hojas de trabajo propuestas en el marco de la experiencia. El tiempo de ejecuci\u00f3n fue de dos meses, correspondientes al segundo per\u00edodo del a\u00f1o escolar, cuando en el Plan de Aula del \u00e1rea de matem\u00e1ticas se presentaba la Situaci\u00f3n #2 <i>La Fiesta de los Monstruos<\/i> de la Cartilla Todos A Aprender 2.0 del Ministerio de Educaci\u00f3n Nacional (MEN).<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\">\u00bfQu\u00e9 se hizo y por qu\u00e9?<\/strong><br \/>\nEl presente art\u00edculo describe una experiencia educativa que aporta a la implementaci\u00f3n de pr\u00e1cticas integradoras del curr\u00edculo, mediante el desarrollo de un proyecto de aula \u201cLa fiesta de los Monstruos\u201d, que involucr\u00f3 el uso del software de GeoGebra. El proyecto integr\u00f3 contenidos y habilidades de ciencias, matem\u00e1ticas art\u00edstica y lenguaje. Este tipo de actividades dan la posibilidad de construir un ambiente de aprendizaje que motiva a los estudiantes y le asigna roles activos en la construcci\u00f3n de su propio conocimiento.<\/p>\n<p>En el presente art\u00edculo se analiza el dise\u00f1o de las hojas de trabajo, la implementaci\u00f3n del software de GeoGebra y la aplicaci\u00f3n del concepto de simetr\u00eda en un contexto real al dise\u00f1ar una tarjeta de invitaci\u00f3n.<\/p>\n<p>Para el caso de los aprendizajes en Matem\u00e1ticas y las competencias propuestas a trabajar en la experiencia se tiene que esta se enmarca en el Pensamiento Espacial y Sistemas Geom\u00e9trico, en el est\u00e1ndar \u201cReconozco y valoro simetr\u00edas en distintos aspectos del arte y el dise\u00f1o\u201d y en el Derecho B\u00e1sico de Aprendizaje (DBA) N\u00b06 <i>\u201cDescribe y representa formas bidimensionales y tridimensionales de acuerdo con las propiedades geom\u00e9tricas\u201d<\/i> (MEN, 2018). As\u00ed, como en la competencia de Resoluci\u00f3n y formulaci\u00f3n de problemas.<\/p>\n<p>En este sentido, las actividades presentadas en la hoja de trabajo inician con el doblado de papel para la comprensi\u00f3n del concepto de simetr\u00eda y para hallar los ejes de una figura; y sigue con la implementaci\u00f3n de GeoGebra para reconocer y enunciar algunas propiedades. Por consiguiente, en las tareas que se presentaron a los estudiantes deb\u00edan:<\/p>\n<ul>\n<li>Relacionar objetos de su entorno con formas bidimensionales, nombrar y describir sus elementos.<\/li>\n<li>Clasificar y representar formas bidimensionales tomando en cuenta sus caracter\u00edsticas geom\u00e9tricas comunes y describe el criterio utilizado.<\/li>\n<li>Interpretar, comparar y justificar propiedades de formas bidimensionales.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\nAdicionalmente, la integraci\u00f3n de los anteriores aprendizajes de matem\u00e1ticas con otras \u00e1reas durante la realizaci\u00f3n del proyecto presenta una mirada hol\u00edstica del conocimiento y ser\u00e1 el estudiante quien establezca las relaciones con el contexto real: La Fiesta de los Monstruos.<\/p>\n<p>En la situaci\u00f3n N\u00b02 se describe la intenci\u00f3n de organizar una fiesta por parte del Monstruo Calimo con motivo del Congreso Anual de Monstruos a realizarse este a\u00f1o. Para ello, los estudiantes deb\u00edan dise\u00f1ar la tarjeta de invitaci\u00f3n, proponer algunas actividades de entretenimiento para la fiesta, y armar el pincho con gomas de tortugas y gusanos que resultan apetitosas para cualquier monstruo.<\/p>\n<p>Es as\u00ed, como desde el lenguaje se trabaj\u00f3 lo relacionado con la escritura de una tarjeta de invitaci\u00f3n con algunas preguntas orientadoras: \u00bfa qui\u00e9n se le escribe la tarjeta?, \u00bfqui\u00e9n invita a la fiesta?, y \u00bfqu\u00e9 informaci\u00f3n debe presentar? A continuaci\u00f3n, se muestra una de ellas.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 1.<\/strong> El dise\u00f1o de la tarjeta de invitaci\u00f3n<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap2C_fig1.png\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2020).<\/p>\n<p>Desde la Educaci\u00f3n Art\u00edstica los estudiantes hicieron la representaci\u00f3n mediante la creaci\u00f3n propia un monstruo, al que le dieron un nombre y luego lo llevaron a GeoGebra, haciendo uso de objetos geom\u00e9tricos como semic\u00edrculos, segmentos, pol\u00edgonos a los cuales los editan con color. Este primer acercamiento al Software fue toda una exploraci\u00f3n que promovi\u00f3 el uso de un lenguaje geom\u00e9trico, sin mayores dificultades porque lograban visualizar el elemento que se necesitaba en la construcci\u00f3n del monstruo.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 2.<\/strong> Creaci\u00f3n art\u00edstica propia del monstruo deseado<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap2C_fig2.png\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2020).<\/p>\n<p>En las producciones presentadas en la Figura 2 se evidencia que los estudiantes tienen recursos como pol\u00edgonos, segmentos, c\u00edrculos y manejan la definici\u00f3n de simetr\u00eda axial vertical.<\/p>\n<p>En el \u00e1rea de las Ciencias Naturales se present\u00f3 un art\u00edculo cient\u00edfico titulado \u201cFeria de los monstruos: las joyas m\u00e1s raras del reino animal\u201d (Yanes, 2016). A partir del texto, los estudiantes extraen informaci\u00f3n y completaron una ficha con las caracter\u00edsticas especiales de estas criaturas (Figura 3).<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 3.<\/strong> Feria de los monstruos: las joyas m\u00e1s raras del reino animal<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap2C_fig3.png\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2020).<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\">\u00bfC\u00f3mo se hizo el proyecto?<\/strong><br \/>\nEsta secci\u00f3n est\u00e1 dividida en dos partes: (i) supuestos te\u00f3ricos y (ii) dise\u00f1o metodol\u00f3gico.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\"><i>Supuestos te\u00f3ricos<\/i><\/strong><br \/>\n<b>a. Resoluci\u00f3n de problemas<\/b><br \/>\nActualmente, el aprendizaje escolar de las matem\u00e1ticas ha trascendido de la simple memorizaci\u00f3n de reglas o algoritmos, propiedades o hechos; a la construcci\u00f3n de conocimiento por el mismo estudiante para dar soluci\u00f3n a diversos problemas matem\u00e1ticos, de otras disciplinas o de la vida misma.<\/p>\n<p>En este sentido, algunos autores como por ejemplo G. Polya propone una heur\u00edstica para la resoluci\u00f3n de problemas,<\/p>\n<ul>\n<li>Comprender el problema, saber cu\u00e1les son los datos que se tienen, conocer cu\u00e1l es la inc\u00f3gnita, qu\u00e9 condiciones hay, entre otras.<\/li>\n<li>Concebir un plan, en este aspecto, propone que los estudiantes se piensen si en otra ocasi\u00f3n han tenido un problema parecido, invita a que los estudiantes parafraseen la situaci\u00f3n con sus propias palabras y, de esta manera, se perciba hasta d\u00f3nde se ha comprendido el problema, dar ejemplos de otra situaci\u00f3n parecida, entre otras.<\/li>\n<li>Ejecutar el plan: lo que se pens\u00f3 en el paso 2 ahora lo va a realizar, verificar los pasos y comprobar que claramente sirvi\u00f3 el plan propuesto.<\/li>\n<li>Examinar la soluci\u00f3n obtenida: los resultados obtenidos al ejecutar el plan deben ponerse a prueba, verificar razonamientos y demostrar que efectivamente son los correctos.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\nA trav\u00e9s de estos cuatro pasos en la resoluci\u00f3n de problemas matem\u00e1ticos se pretende la participaci\u00f3n activa de los estudiantes, se pone en juego la creatividad, el ingenio y se moviliza el pensamiento matem\u00e1tico.<\/p>\n<p>Cabe destacar que las Mallas de Aprendizaje y los DBA propuestos por el MEN, en correspondencia con los lineamientos curriculares de matem\u00e1ticas y los Est\u00e1ndares B\u00e1sicos de Competencias, asumen la actividad matem\u00e1tica desde la resoluci\u00f3n de problemas.<\/p>\n<p><b>b. Mediaci\u00f3n de la tecnolog\u00eda en el aprendizaje<\/b><br \/>\nEstamos en un mundo que atraviesa por cambios tan agigantados respecto a las nuevas tecnolog\u00edas de la informaci\u00f3n y la comunicaci\u00f3n, en el cual no solo existe demasiada difusi\u00f3n de la informaci\u00f3n, sino que esta est\u00e1 al alcance de todos; pero hay que decir que ante este panorama es imperante el llamado que se le hace a la escuela para reflexionar en la pr\u00e1ctica educativa, pues es uno de los escenarios m\u00e1s propicios en el que se desarrollan procesos para aprender, adem\u00e1s, durante a\u00f1os se le ha descargado la mayor responsabilidad de la educaci\u00f3n y formaci\u00f3n del ser humano, por tal motivo se hace necesario que como docentes reflexionemos y nos pongamos en acci\u00f3n para descubrir que el potencial de las TIC transforma la pr\u00e1ctica educativa.<\/p>\n<p>Esta integraci\u00f3n de las TIC abre la posibilidad a nuevas formas de aprender, se puede evidenciar c\u00f3mo en el modelo TPCK lo m\u00e1s importante es la utilidad que se le da al conocimiento, es decir, no es algo que este dise\u00f1ado y que se tenga que impartir a los estudiantes; esta cultura de aprendizaje que correspondi\u00f3 a un modelo tradicionalista debe ser transformada en este cambio de \u00e9poca que se vive actualmente por modelos innovadores que permitan la producci\u00f3n y adquisici\u00f3n de conocimientos desde otras formas, y es aqu\u00ed donde la tecnolog\u00eda entra a desempe\u00f1ar un papel decisivo en la construcci\u00f3n de nuevos entornos de aprendizaje.<\/p>\n<p>Al respecto, el modelo SAMR expuesto por el Dr. Ruben Puentedura propone que si el objetivo es integrar la tecnolog\u00eda para mejorar y alcanzar niveles altos en el aprendizaje, la clave est\u00e1 en idear c\u00f3mo usarla para que los estudiantes tengan la oportunidad de aprender en escenarios imposibles de imaginar sin ella, de tal manera que propone cuatro niveles de integraci\u00f3n de la tecnolog\u00eda, los cuales se van complejizando tanto en la forma como en el efecto que se espera al incorporarla en los procesos de ense\u00f1anza-aprendizaje que se planifican, estos son: sustituci\u00f3n, aumento, modificaci\u00f3n y redefinici\u00f3n.<\/p>\n<p>La utilizaci\u00f3n de ambientes digitales plantean nuevas perspectivas metodol\u00f3gicas como, por ejemplo, GeoGebra, software que permite hacer representaciones din\u00e1micas en las que los estudiantes pueden desarrollar procesos del pensamiento geom\u00e9trico para particularizar, visualizar, construir patrones, conjeturas y contraejemplos, a trav\u00e9s de varias acciones como: el trazo de objetos geom\u00e9tricos, la prueba del arrastre, la medici\u00f3n, el lugar geom\u00e9trico y la utilizaci\u00f3n de diferentes registros de representaci\u00f3n.<\/p>\n<p>GeoGebra es un software que permite que el estudiante se relacione con la geometr\u00eda de forma din\u00e1mica; se caracteriza como un micromundo computacional. Esto quiere decir que la herramienta a trav\u00e9s de los objetos que tiene (arrastre, el movimiento, los lugares geom\u00e9tricos, el uso de diversas representaciones semi\u00f3ticas y la realizaci\u00f3n de macroconstrucciones) abre la posibilidad para que al realizar diversas operaciones, sea el mismo estudiante quien realice sus propias conjeturas y estas, a su vez, lo lleven a la construcci\u00f3n de propiedades, patrones, entre otras.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\"><i>Dise\u00f1o metodol\u00f3gico<\/i><\/strong><br \/>\nLos cinco momentos que se implementaron durante la realizaci\u00f3n del proyecto se basaron en las fases de estudio sugeridas por Benitez (2006).<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 4.<\/strong> Fases de estudio<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap2C_fig4.png\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: Ben\u00edtez (2006).<\/p>\n<p>Como se puede observar en la tabla anterior, el dise\u00f1o metodol\u00f3gico contine 5 momentos:<\/p>\n<ul>\n<li><b>Dise\u00f1o<\/b>. consiste en elaborar una situaci\u00f3n de aprendizaje en formato de hoja de trabajo, la cual contiene una situaci\u00f3n problema y unas sugerencias.<\/li>\n<li><b>Validaci\u00f3n<\/b>. Consiste en certificar mediante distintas t\u00e9cnicas que la hoja tiene caracter\u00edsticas de calidad y que al implementarla se obtendr\u00e1n los objetivos trazados.<\/li>\n<li><b>Uso de tecnolog\u00eda<\/b>. Se realizaron diferentes actividades para lograr la apropiaci\u00f3n instrumental de los estudiantes con GeoGebra.<\/li>\n<li><b>Toma de datos<\/b>. Es la implementaci\u00f3n de actividad en el aula.<\/li>\n<li><b>An\u00e1lisis<\/b>. Reflexi\u00f3n sobre los resultados obtenidos a la luz del marco te\u00f3rico.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<b>a.\tDise\u00f1o e implementaci\u00f3n de la hoja de trabajo #1<\/b><br \/>\nPara el dise\u00f1o de la primera hoja de trabajo se tuvieron en cuenta las condiciones que deb\u00eda tener la tarjeta de invitaci\u00f3n seg\u00fan la cartilla Todos a Aprender del MEN:<\/p>\n<ul>\n<li>La tarjeta debe ser una figura de cuatro lados.<\/li>\n<li>La tarjeta debe tener al menos un \u00e1ngulo obtuso.<\/li>\n<li>La tarjeta debe ser sim\u00e9trica.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\nPara ello, los estudiantes deb\u00edan seleccionar de los cinco pol\u00edgonos que se presentan en la ilustraci\u00f3n 1, la figura que cumpliera con las siguientes condiciones.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 5.<\/strong> Ilustraci\u00f3n 1 en la gu\u00eda de trabajo<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap2C_7.jpg\" alt=\"Figura 1. Dimensiones para el desarrollo de competencias\" width=\"425\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2020).<\/p>\n<p>Para ello, la actividad inicial de la hoja de trabajo pretend\u00eda indagar los conocimientos previos de los estudiantes; de esta manera, el diagn\u00f3stico estuvo relacionado con la definici\u00f3n de figura plana, pol\u00edgono y los elementos que la conforman. Con esta actividad los estudiantes estar\u00edan en capacidad de seleccionar del conjunto de pol\u00edgonos los cuadril\u00e1teros.<\/p>\n<p>Seguidamente, se deb\u00edan abordar la medida de los \u00e1ngulos internos de los pol\u00edgonos para encontrar la figura con al menos un \u00e1ngulo obtuso, por lo que la hoja de trabajo les propone el uso del transportador, tal como se observa en la foto.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 6.<\/strong> Medici\u00f3n y clasificaci\u00f3n de los \u00e1ngulos internos de las figuras<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap2C_fig7.png\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2020).<\/p>\n<p> A partir del uso de este instrumento, los estudiantes validaron qu\u00e9 pol\u00edgonos cumpl\u00edan la condici\u00f3n 1 y 2 del texto.<\/p>\n<p>Para la tercera condici\u00f3n, la hoja de trabajo propone que cada figura sea doblada tratando de hacer coincidir los lados opuestos de la figura en lo posible. De esta forma, los estudiantes logran hallar el eje o los ejes de simetr\u00eda de los pol\u00edgonos. Al terminar el desarrollo de la hoja de trabajo los estudiantes ya ten\u00edan seleccionada la figura que usar\u00edan como tarjeta de invitaci\u00f3n.<\/p>\n<p><b>b. Validaci\u00f3n<\/b><br \/>\nUna vez finalizado el trabajo con material manipulativo, se le presentaron a los estudiantes otras clases de objetos como: letras del alfabeto, dise\u00f1os de monstruos de sus compa\u00f1eros y elementos de la naturaleza con el prop\u00f3sito de determinar si hay o no simetr\u00eda y, de existir esta \u00faltima, cu\u00e1ntos ejes puede observar.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 7.<\/strong> Hallando ejes de simetr\u00eda en otros objetos<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap2C_fig8.png\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2020).<\/p>\n<p>Las anteriores fotos evidencian la aplicaci\u00f3n del concepto de simetr\u00eda en objetos diferentes a las figuras planas. Para el caso de una letra del alfabeto que presentar\u00e1 al menos dos ejes de simetr\u00eda recurren en su mayor\u00eda a la ilustraci\u00f3n de las letras H y O.<\/p>\n<p><b>c. Uso de tecnolog\u00eda<\/b><br \/>\nEn esta fase se realiza un ajuste en el dise\u00f1o porque en la validaci\u00f3n se observ\u00f3 un alto grado de apropiaci\u00f3n del concepto de simetr\u00eda, por lo que el nivel de complejidad se aument\u00f3 al proponer en la hoja de trabajo N\u00b02 un manual de GeoGebra que permitiera acercar a los estudiantes a las propiedades y enunciarlas como tal.<\/p>\n<p>Para la consecuci\u00f3n del anterior prop\u00f3sito los estudiantes utilizaron el monstruo de Astrid que hab\u00eda sido recreado con la herramienta simetr\u00eda axial y con la medida de distancia o longitud y la din\u00e1mica del mueve, logrando visualizar la equidistancia de los puntos de la figura al eje de simetr\u00eda, tal como se muestra en la siguiente foto.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 8.<\/strong> Comprobaci\u00f3n del a distancia de cada punto al eje de simetr\u00eda<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap2C_fig8-1.png\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2020).<\/p>\n<p>Manipular desde el software el monstruo y visualizar lo que permanece y lo que cambia facilit\u00f3 la enuncian de conjeturas y el aprendizaje por descubrimiento necesario para comprender el sentido y significado del objeto matem\u00e1tico trabajado.<\/p>\n<p><b>d. Recolecci\u00f3n<\/b><br \/>\nEn esta fase de estudio se recolectaron las hojas de trabajo, los escritos de los estudiantes en sus cuadernos, los registros fotogr\u00e1ficos y las creaciones de monstruos como archivos de GeoGebra. A pesar de que era la primera vez que los estudiantes estaban expuestos al uso del software, se evidenci\u00f3 que este les permit\u00eda el disfrute de la actividad y el desarrollo de la creatividad cuando se trata de resolver problemas.<\/p>\n<p>A cada estudiante se le entreg\u00f3 la hoja de trabajo para desarrollar de manera individual;, sin embargo, cada uno de ellos hac\u00eda parte de un grupo de trabajo conformado por cuatro compa\u00f1eros con quienes contrastaban sus producciones. La intervenci\u00f3n de la docente consist\u00eda en hacer pregunta, retomar conclusiones que ellos elaboraban y ponerlas en consenso para la formalizaci\u00f3n del concepto de simetr\u00eda y sus propiedades.<\/p>\n<p><b>e. An\u00e1lisis<\/b><br \/>\nLa integraci\u00f3n del software de GeoGebra en la construcci\u00f3n del concepto de simetr\u00eda facilit\u00f3 la apropiaci\u00f3n del lenguaje geom\u00e9trico necesario para la realizaci\u00f3n de las actividades propuestas en la hoja de trabajo. Los iconos que se describen en la parte superior de la vista y las representaciones que se usan propician una mayor comprensi\u00f3n de los elementos b\u00e1sicos al momento de construir las figuras como segmento, pol\u00edgono, punto, \u00e1ngulos, entre otros.<\/p>\n<p>En las figuras se observa la construcci\u00f3n de un \u00e1ngulo recto y el uso de la herramienta medida de los \u00e1ngulos internos de un pol\u00edgono. Durante la actividad desarrollada en este ambiente tecnol\u00f3gico se evidenci\u00f3 que los estudiantes utilizaban con m\u00e1s facilidad el transportador para medir \u00e1ngulos que la herramienta que ofrece GeoGebra. Indagando un poco m\u00e1s con ellos se concluy\u00f3 que la dificultad radicaba en que no nombraban los tres puntos necesarios para la medida del \u00e1ngulo, y que se deb\u00eda dar claridad al sentido y orden en que se seleccionaban dichos puntos. Despu\u00e9s de dar las explicaciones necesarias, los estudiantes lograron realizar con \u00e9xito las actividades.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 9.<\/strong> Midiendo \u00e1ngulos internos de un pol\u00edgono en GeoGebra<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap2C_fig9.png\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2020).<\/p>\n<p>Otro aspecto a analizar est\u00e1 relacionado con la visualizaci\u00f3n de los ejes de simetr\u00eda y la equidistancia de los puntos de la figura a este. Doblar las figuras que se presentaban en la situaci\u00f3n y hacer en lo posible que los lados o v\u00e9rtices opuestos coincidieran, es el principio de la comprensi\u00f3n del concepto de simetr\u00eda, y con \u00e9l algunas conjeturas y generalizaciones surgen desde el empleo de la herramienta distancia o longitud, observando lo que permanece y lo que cambia las siguientes figuras muestran algunos escritos de los estudiantes.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap2C_17.jpg\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: manuscrito de un estudiante (2019).<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\">\u00bfCon qu\u00e9 materiales se ejecut\u00f3 el proyecto?<\/strong><br \/>\nEn cuanto al software se trabaj\u00f3 con la versi\u00f3n 5 de GeoGebra, una hoja de trabajo dise\u00f1ada especialmente para el proyecto, estuche de geometr\u00eda como regla, transportador, colores.<\/p>\n<p>La combinaci\u00f3n del uso de material concreto y de la tecnolog\u00eda es complementaria. En cada espacio los estudiantes desarrollan habilidades distintas. Adicionalmente, los estudiantes aprenden de manera muy divertida.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\">\u00bfCu\u00e1les son las lecciones aprendidas?<\/strong><br \/>\nEn este trabajo se logr\u00f3 dise\u00f1ar e implementar un proyecto interdisciplinario, porque combina aspectos de las matem\u00e1ticas, la tecnolog\u00eda y la clase de art\u00edstica.<\/p>\n<p>Tambi\u00e9n logramos combinar el uso de la tecnolog\u00eda y el material concreto.<\/p>\n<p>Se trabaj\u00f3 en la construcci\u00f3n de propiedades geom\u00e9tricas y adem\u00e1s estuvieron desarrollando una actividad de integraci\u00f3n denominada una fiesta Monstruosa, que mejora su convivencia, y que les ayuda a integrarse y a aprender de manera diferente a la tradicional.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\">Referencias<\/strong><br \/>\nBen\u00edtez, D. (2006). Formas de razonamiento que desarrollan estudiantes universitarios de primer a\u00f1o en la resoluci\u00f3n de problemas con tecnolog\u00eda digital (tesis doctoral), Departamento de Matem\u00e1tica Educativa].<\/p>\n<p>Yanes, J. (2016). Fiesta de monstruos: Las joyas m\u00e1s raras del mundo animal. recuperado de (https:\/\/www.bbvaopenmind.com\/ciencia\/biociencias\/feria-de-monstruos-las-joyas-mas-raras-del-mundo-animal\/)<\/p>\n<p>MEN (2017). <i>Mallas de aprendizaje<\/i>. http:\/\/aprende.colombiaaprende.edu.co\/ckfinder\/userfiles\/files\/MATEM%C3%81TICAS-GRADO-3.pdf<\/p>\n<p>Rosales .J (s.f). \u00bfC\u00f3mo plantear y resolver problemas? <i>Mundo de las Matem\u00e1ticas<\/i>. . Recuperado a partir de https:\/\/tecdigital.tec.ac.cr\/revistamatematica\/MundoMatematicas\/ResolProblema\/<\/p>\n<p>Sandoval Caceres, I. T., &amp; Moreno Armella, L. E. (2012). Tecnolog\u00eda digital y cognici\u00f3n matem\u00e1tica: retos para la edicaci\u00f3n. <i>Horizontes Pedag\u00f3gicos<\/i>, 14(1). Recuperado a partir de https:\/\/horizontespedagogicos.ibero.edu.co\/article\/view\/109<\/p>\n<p>Modelo TPACK http:\/\/www.educdoscero.com\/2012\/04\/el-modelo-tpack-el-saber-docente-cuando.html, recuperado el 18 de abril\/2017<\/p>\n<p>Garcia-Utrera. L., Figueroa-Rodriguez, S. &amp; Esquivel-G\u00e1mez, I. (2014). Modelo de Sustituci\u00f3n, Aumento, Modificaci\u00f3n,y Redefinici\u00f3n (SAMR): Fundamentos y aplicaciones. En I. Esquivel-G\u00e1mez (Coord.), <i>Los Modelos Tecno-Educativos: Revolucionando el aprendizaje del siglo XXI<\/i> (pp. 205-220). M\u00e9xico: DSAE-Universidad Veracruzana.<\/p>\n<p>Valverde Berrocoso, Jes\u00fas; Garrido Arroyo, Mar\u00eda del Carmen; Fern\u00e1ndez S\u00e1nchez, Rosa (2010) Ense\u00f1ar y aprender con tecnolog\u00edas: un modelo te\u00f3rica para las buenas pr\u00e1cticas con TIC. Teor\u00eda de la Educaci\u00f3n. <i>Educaci\u00f3n y Cultura en la Sociedad de la Informaci\u00f3n<\/i>, <i>11<\/i>(1), febrero, 2010, pp. 203-229 Universidad de Salamanca Salamanca, Espa\u00f1a<br \/>\n<\/details><\/li><li class=\"tab-pane \" id=\"ert_pane1-4\"><u>Cap\u00edtulo III<\/u><\/p>\n<details>\n<summary><strong style=\"color:#B695C0;\">Experiencias significativas en educaci\u00f3n matem\u00e1tica en el nivel de Bachillerato<\/strong><br \/>\n<i>David Ben\u00edtez Mojica, Hendel Yaker Agudelo y Henry Arley Taquez<\/i><\/summary>\n<p>&nbsp;<br \/>\nEl tercer cap\u00edtulo del Libro Experiencias significativas en Educaci\u00f3n Matem\u00e1tica presenta tres trabajos del nivel de Bachillerato. Dos de estos trabajos se realizaron en una instituci\u00f3n privada y el tercero en una instituci\u00f3n p\u00fablica de la ciudad de Santiago de Cali en Colombia.<\/p>\n<p>El objetivo del trabajo titulado <i>Resortes concepto de Funci\u00f3n y modelaci\u00f3n<\/i> es indagar sobre la aproximaci\u00f3n de los conceptos de funci\u00f3n y modelaci\u00f3n se aplica a un grupo de 30 estudiantes de 9 grado del Colegio Berchmans de la ciudad de Cali. Esta actividad corresponde a la implementaci\u00f3n en el aula de las competencias trabajadas en el diplomado \u201cDise\u00f1o de ambientes de aprendizaje mediados por GeoGebra\u201d ofrecido por la universidad ICESI en colaboraci\u00f3n con el Instituto GeoGebra Cali. Durante la investigaci\u00f3n los estudiantes resolvieron problemas que se modelan con funciones lineales a partir de una situaci\u00f3n de variaci\u00f3n de cantidades. Para ello, identificaron las variables dependientes e independientes en una relaci\u00f3n entre dos cantidades e implementaron funci\u00f3n lineal para modelar situaciones de variaci\u00f3n y realizaron representaci\u00f3n gr\u00e1fica y algebraica, adem\u00e1s de tabular funciones lineales de las situaciones planteadas. Las actividades se desarrollaron en contexto real.<\/p>\n<p>El segundo trabajo tiene por t\u00edtulo <i>Una actividad de generalizaci\u00f3n para el desarrollo del pensamiento algebraico<\/i>. En \u00e9l se documenta una experiencia de aula con estudiantes de grado octavo del Colegio Berchamns de la ciudad de Cali, mediada por el uso de herramientas tecnol\u00f3gicas como GeoGebra. El an\u00e1lisis se centra en identificar los procesos de razonamiento y comunicaci\u00f3n empleados por los estudiantes para abordar actividades de generalizaci\u00f3n en contextos geom\u00e9tricos. La experiencia permite validar el uso de procesos de generalizaci\u00f3n como un medio para facilitar la transici\u00f3n al pensamiento algebraico, dejando evidencia de la capacidad de los estudiantes para identificar patrones, regularidades y expresiones generales que pueden ser comunicadas usando registros como el de la lengua natural, el tabular o el simb\u00f3lico. La actividad se desarroll\u00f3 en contexto formal.<\/p>\n<p>El tercer art\u00edculo se titula <i>El dise\u00f1o de un ambiente de aprendizaje, a partir del software GeoGebra, de los elementos de una funci\u00f3n lineal con estudiantes de grado octavo<\/i>. Este trabajo se centra en analizar el desarrollo del pensamiento algebraico en los estudiantes de octavo grado de una Instituci\u00f3n educativa del sector P\u00fablico de Cali, a partir de varias actividades en el que ellos desarrollan el concepto de funci\u00f3n mediado con el software de GeoGebra, el cual permite a los estudiantes una exploraci\u00f3n, visualizaci\u00f3n y manipulaci\u00f3n de la relaci\u00f3n de los objetos matem\u00e1ticos con un contexto social o real. En este trabajo se realiz\u00f3 un an\u00e1lisis de las estrategias utilizadas por los estudiantes para razonar matem\u00e1ticamente y as\u00ed desarrollar de las actividades propuestas. Las actividades se desarrollaron en contexto hipot\u00e9tico.<br \/>\n<\/details>\n<p>\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014<\/p>\n<details>\n<summary>\n<strong style=\"color:#F1C40F;\">Experiencia 1. Resortes concepto de funci\u00f3n y modelaci\u00f3n<\/strong><br \/>\n<i>Manuel Alberto Marinez Castillo, Juli\u00e1n Enrique C\u00f3rdoba y Hevert Marin Castillo<\/i><\/summary>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\">Resumen<\/strong><br \/>\nEl objetivo es indagar la aproximaci\u00f3n de los conceptos de funci\u00f3n y modelaci\u00f3n se aplica a un grupo de 30 estudiantes de 9\u00b0 del Colegio Berchmans, perteneciente a la Compa\u00f1\u00eda de Jes\u00fas. Esta actividad corresponde a la implementaci\u00f3n de las competencias trabajadas en el diplomado \u201cDise\u00f1o de ambientes de aprendizaje mediados por GeoGebra\u201d dictado por la universidad ICESI en colaboraci\u00f3n con el Instituto GeoGebra Cali. Durante la investigaci\u00f3n los estudiantes resolvieron problemas que se modelan con funciones lineales a partir de una situaci\u00f3n de variaci\u00f3n de cantidades. Para ello, identificaron las variables dependientes e independientes en una relaci\u00f3n entre dos cantidades e implementaron funci\u00f3n lineal para modelar situaciones de variaci\u00f3n y realizaron representaci\u00f3n gr\u00e1fica, algebraica y tabular funciones lineales de las situaciones planteadas.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">\u00bfEn d\u00f3nde se hizo el proyecto y las caracter\u00edsticas de la poblaci\u00f3n?<\/strong><br \/>\nEl desarrollo de las actividades para la aproximaci\u00f3n de los conceptos de funci\u00f3n y modelaci\u00f3n se llev\u00f3 a cabo en la jornada de la ma\u00f1ana en el Colegio Berchmans, el cual est\u00e1 ubicado en el barrio El Retiro en el sector de Pance, de la Comuna 22 de la ciudad de Cali. En el colegio estudian los alumnos desde prescolar hasta grado 11. La investigaci\u00f3n se realiz\u00f3 durante el primer periodo del a\u00f1o lectivo 2019.<\/p>\n<p>La comunidad escolar que particip\u00f3 en este estudio estuvo conformada por los estudiantes del grado 9 de b\u00e1sica secundaria de la instituci\u00f3n. El grupo era mixto, con edades que oscilaban entre los 13 y los 16 a\u00f1os. Estos estudiantes presentaban un nivel bajo de reprobaci\u00f3n y de deserci\u00f3n escolar. De otra parte, el grupo objetivo ten\u00eda un nivel b\u00e1sico en el uso de computadores y bases m\u00ednimas de Geometr\u00eda, adem\u00e1s, carec\u00edan de alguna fundamentaci\u00f3n sobre el uso del software GeoGebra.<\/p>\n<p>Respecto al contexto familiar, el 65 % de los alumnos conviven con familias tradicionales, el 35 % de ellos forman parte de familias disfuncionales.<\/p>\n<p>El 70 % de los estudiantes habitan en viviendas o apartamentos propios y el 30 % viven en casas o apartamentos alquilados. Los estudiantes en su mayor\u00eda est\u00e1n cerca de la instituci\u00f3n, que corresponden a los estratos socioecon\u00f3mico 5 y 6, es decir, gran parte de las familias tiene un empleo u otra fuente de ingresos permanente que les posibilitan un nivel de vida c\u00f3modo. Las viviendas est\u00e1n construidas en material y cuentan con los servicios b\u00e1sicos de agua potable, energ\u00eda, gas natural domiciliario e internet.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">\u00bfQu\u00e9 se hizo y por qu\u00e9?<\/strong><br \/>\nEn este art\u00edculo se expresan los resultados de la investigaci\u00f3n did\u00e1ctica en educaci\u00f3n media \u201cgrado noveno\u201d. Las actividades de esta indagaci\u00f3n se desarrollan en los siguientes pensamientos: pensamiento num\u00e9rico y sistemas num\u00e9ricos, pensamiento m\u00e9trico y sistemas de medida, pensamiento variacional y sistemas algebraicos y anal\u00edticos, estos pensamientos se vinculan con los procesos de razonamiento, resoluci\u00f3n y planteamiento de problemas, comunicaci\u00f3n y modelaci\u00f3n, y el planteamiento de situaciones problemas. Se manifiestan las conjeturas, procedimientos y deducciones de los estudiantes del colegio Berchmans de Cali en relaci\u00f3n con los procesos de generalizaci\u00f3n y modelaci\u00f3n del concepto de funci\u00f3n (particularmente la funci\u00f3n lineal) a trav\u00e9s de una pr\u00e1ctica de laboratorio ley de Hook, donde luego confrontaron sus planteamientos con las representaciones que suministra GeoGebra.<\/p>\n<p>En esta investigaci\u00f3n se plantearon tanto las actividades de aprendizaje como el rol del profesor, y las estrategias utilizadas por los estudiantes que los llevaron concretar el concepto de funci\u00f3n y sus caracter\u00edsticas. Al t\u00e9rmino de la actividad se puedo establecer que los estudiantes plantearon la expresi\u00f3n algebraica y modelaron el alargamiento de un resorte dependiendo de la variaci\u00f3n de las masas, as\u00ed como su verificaci\u00f3n de la representaci\u00f3n gr\u00e1fica en GeoGebra.<\/p>\n<p>El art\u00edculo tiene como prop\u00f3sito central documentar una implementaci\u00f3n did\u00e1ctica concreta en la que el profesor desarrolla un ambiente de aula e implementa una metodolog\u00eda que le permiti\u00f3 a los estudiantes participar de manera activa en la construcci\u00f3n y validaci\u00f3n de conjeturas. El concepto de funci\u00f3n tiende a ser uno de los objetos matem\u00e1ticos que mayor dificulta genera a los estudiantes al momento de explicarlo y ponerlo en contexto, es por eso que se propuso esta investigaci\u00f3n con la finalidad que ellos puedan tener la aproximaci\u00f3n a dicho conceptos desde una perspectiva pr\u00e1ctica, din\u00e1mica y constructiva. De ah\u00ed que este trabajo se enmarque en un proyecto de investigaci\u00f3n que tiene como prop\u00f3sito contribuir al desarrollo de la competencia de resoluci\u00f3n de problemas en estudiantes de Educaci\u00f3n Media.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">\u00bfC\u00f3mo se hizo el proyecto?<\/strong><br \/>\nEl proyecto se estructur\u00f3 en dos partes: supuestos te\u00f3ricos y dise\u00f1o metodol\u00f3gico.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Supuestos te\u00f3ricos<\/i><\/strong><br \/>\nLos supuestos te\u00f3ricos \u2012resoluci\u00f3n de problemas de matem\u00e1ticas, tecnolog\u00eda digital en educaci\u00f3n matem\u00e1tica y material manipulativo\u2012 que sirvieron de soporte a la investigaci\u00f3n se describen de manera concreta a continuaci\u00f3n.<\/p>\n<p><b>Resoluci\u00f3n de problemas<\/b>. Schoenfeld (1985) realiz\u00f3 varios estudios con los alumnos y matem\u00e1ticos profesionales. En todos ellos encontr\u00f3 evidencias para afirmar que existen cuatro dimensiones que influyen en el proceso de resoluci\u00f3n de problemas: (a) estrategias cognitivas, (b) dominio del conocimiento, (c) estrategias metacognitivas y (d) sistema de creencias.<\/p>\n<p><b>Estrategias cognitivas<\/b>. Son m\u00e9todos heur\u00edsticos, tales como descomponer el problema en casos especiales, invertir el problema, establecer subtemas y relajar las condiciones, entre otras. Las heur\u00edsticas son acciones que pueden ser de utilidad para resolver problemas. Son consideradas estrategias y t\u00e9cnicas para un avance en el proceso de soluci\u00f3n. Polya (1965) plantea soluci\u00f3n a las heur\u00edsticas por medio de preguntas y sugerencias que realiza un resolutor ideal. Las siguientes son algunas de ellas: \u00bfpueden pensar en un problema an\u00e1logo, un tanto m\u00e1s accesible? \u00bfPueden enunciar el problema en forma diferente? \u00bfDe qu\u00e9 manera se pueden cambiar los datos o las condiciones en las que est\u00e1 redactado el problema?<\/p>\n<p><b>Dominio del conocimiento<\/b>. Una cualidad relevante en el desempe\u00f1o de un resolutor exitoso de problemas es el desarrollo de una base amplia de conocimientos de matem\u00e1ticas. En esta dimensi\u00f3n se estudian los recursos matem\u00e1ticos con los que cuenta el estudiante para la resoluci\u00f3n de un problema. Aqu\u00ed se pueden elaborar preguntas que sirven de base para esclarecer las caracter\u00edsticas de la dimensi\u00f3n: \u00bfcu\u00e1les son las herramientas que tiene un resolutor a su disposici\u00f3n? \u00bfQu\u00e9 informaci\u00f3n relevante tiene a mano para resolver la situaci\u00f3n problem\u00e1tica? \u00bfC\u00f3mo accede a esa informaci\u00f3n y c\u00f3mo la utiliza?<\/p>\n<p><b>Estrategias metacognitivas<\/b>. En el curso de una actividad intelectual, el an\u00e1lisis de la marcha del proceso desempe\u00f1a un papel central. El monitoreo y el control del progreso de la soluci\u00f3n son componentes de la metacognici\u00f3n. Este tipo de estrategias se refieren a las decisiones globales respecto al entendimiento del problema, y a la selecci\u00f3n e implementaci\u00f3n de recursos y estrategias; tambi\u00e9n incluye acciones como planear, evaluar y decidir.<\/p>\n<p><b>Sistema de creencias<\/b>. Generalmente, los estudiantes tienen un conjunto de creencias acerca de lo que significa hacer matem\u00e1ticas y sus objetos espec\u00edficos. Es conveniente hacer la siguiente reflexi\u00f3n: \u00bfc\u00f3mo afectan tales creencias el desempe\u00f1o de los alumnos en la resoluci\u00f3n de problemas? En esta dimensi\u00f3n se ubican las creencias que el individuo tiene de las matem\u00e1ticas y de s\u00ed mismo. Las creencias determinan la manera como aborda una persona el problema, por ejemplo, las t\u00e9cnicas que emplea o evita, y el tiempo que le dedica al estudio. De lo anterior se puede afirmar que \u201clas creencias establecen el marco bajo el cual se utilizan los recursos, las heur\u00edsticas y el control\u201d (Schoenfeld, 1985, p. 45).<\/p>\n<p><b>Funci\u00f3n matem\u00e1tica y modelaci\u00f3n matem\u00e1tica<\/b>, dos conceptos determinantes para el trabajo, desarrollo, interpretaci\u00f3n y explicaci\u00f3n de algunos conceptos de la matem\u00e1tica, en la cual se presentan muchas situaciones de la cotidianidad. A trav\u00e9s de la historia se han dado m\u00faltiples definiciones que han evolucionado conforme la especificidad de algunos temas tratados y sus posibles mediaciones tecnol\u00f3gicas. Estos conceptos son de amplia aplicaci\u00f3n en diferentes campos del conocimiento. A continuaci\u00f3n, se cita uno de los conceptos de funci\u00f3n. Larson y Hostetler (2001) dicen que:<\/p>\n<p>Las funciones com\u00fanmente est\u00e1n representadas en cuatro formas:<\/p>\n<ul>\n<li>Verbalmente, por una oraci\u00f3n que describe la variable de entrada est\u00e1 relacionada a la variable de salida<\/li>\n<li>Num\u00e9ricamente, por una tabla o lista de pares ordenados que hace corresponder un valor de entrada con un valor de salida.<\/li>\n<li>Gr\u00e1ficamente, por puntos sobre una gr\u00e1fica en un plano coordenado en el cual los valores de entradas son representados por el eje horizontal y los valores de salida por el eje vertical.<\/li>\n<li>Algebraicamente, por una ecuaci\u00f3n de dos variables.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\nLos cuatro \u00edtems planteados en la anterior definici\u00f3n los aplican los estudiantes en el desarrollo de este trabajo. Para la implementaci\u00f3n consciente del concepto de modelaci\u00f3n es recomendable que el estudiante tenga una muy buena aproximaci\u00f3n a la comprensi\u00f3n del concepto de funci\u00f3n (teniendo presente que este es de los conceptos u objetos matem\u00e1ticos con alto nivel de dificultad para comprenderlo).<\/p>\n<p>Freudenthal (1980) se\u00f1al\u00f3 que la perspectiva correcta se da principalmente a partir del medio ambiente hacia las matem\u00e1ticas y no en la otra direcci\u00f3n. No se debe considerar, primero, hacer las matem\u00e1ticas y despu\u00e9s regresar al \u2018mundo real\u2019, sino el mundo real primero, y despu\u00e9s la matematizaci\u00f3n.<\/p>\n<p>Para (Larson &amp; Hostetler, Precalculus, 2001, p. 20) Citados por (Planchart M\u00e1rquez).<\/p>\n<ul>El mundo real \u00bfqu\u00e9 significa? perdonen esta expresi\u00f3n descuidada. Al ense\u00f1ar a matematizar el \u2018mundo real\u2019 est\u00e1 representado por un contexto significativo que involucra un problema matem\u00e1tico. \u2018Significativo\u2019 por supuesto que quiere decir significativo para quienes aprenden. Las matem\u00e1ticas deber\u00edan ser ense\u00f1adas dentro de contextos y a m\u00ed me gustar\u00eda que las matem\u00e1ticas m\u00e1s abstractas fueran ense\u00f1adas dentro de los contextos m\u00e1s concretos.<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\nSe pretende que al desarrollar esta actividad los estudiantes adquieran y potencien sus desempe\u00f1os en relaci\u00f3n con la lectura, interpretaci\u00f3n, planteamiento de heur\u00edsticas, resoluci\u00f3n y explicaci\u00f3n de problemas que vinculan conceptos de funci\u00f3n, y que deban modelar. Las TIC se utilizan fundamentalmente como instrumentos mediadores de la interacci\u00f3n entre los estudiantes y los contenidos con el fin de facilitar a los primeros el estudio, memorizaci\u00f3n, comprensi\u00f3n, aplicaci\u00f3n, generalizaci\u00f3n, profundizaci\u00f3n, etc., de los segundos (Coll et al., (2007).<\/p>\n<p>La mediaci\u00f3n de los recursos tecnol\u00f3gicos tales como papel, regla, l\u00e1piz y computador, son preponderante en el desarrollo de esta actividad, puesto que son los principales recursos que complementan la apropiaci\u00f3n conceptual del concepto de modelaci\u00f3n: \u201ccambios importantes en la organizaci\u00f3n tanto administrativa, como de los materiales y sistemas de comunicaci\u00f3n y mediaci\u00f3n; requiriendo modelos pedag\u00f3gicos nuevos y un fuerte apoyo de tecnolog\u00edas multimedia interactivas\u201d (Salinas Iba\u00f1ez, 2004).<\/p>\n<p>En muchas actividades humanas utilizamos instrumentos tecnol\u00f3gicos: un celular con aplicaciones que nos orientan en el tr\u00e1fico de una ciudad, una tableta para buscar informaci\u00f3n o un computador para resolver un problema. Los instrumentos que utilizamos en cada caso para lograr mediaci\u00f3n cognitiva no solo han aumentado nuestra capacidad cognitiva, sino que tambi\u00e9n la han reestructurado. En s\u00edntesis, los instrumentos amplifican el dominio de recursos y habilidades, y nos ayudan a resolver los problemas de manera diferente a la utilizada en el universo del l\u00e1piz y el papel.<\/p>\n<p>La implementaci\u00f3n de los instrumentos tecnol\u00f3gicos han potenciado las investigaciones y resultados en diferentes \u00e1reas de conocimientos y campos de investigaci\u00f3n tales como la Astronom\u00eda, donde \u201cse amplific\u00f3 la identificaci\u00f3n de galaxia y planetas\u201d; en Biolog\u00eda \u201clos resultados en an\u00e1lisis de materia, mol\u00e9culas, bacterias y microorganismos han aumentado impresionantemente\u201d; en la Educaci\u00f3n, particularmente en Educaci\u00f3n Matem\u00e1tica, ha sido de incomparable importancia el desarrollo e implementaci\u00f3n de la geometr\u00eda din\u00e1mica, gran n\u00famero de operaciones por minuto que procesan diferentes software, el desarrollo y aplicaci\u00f3n de diferentes tipos de algoritmos, entre muchas otras m\u00e1s.<\/p>\n<p>Se tienen indicios para pensar que cuando se trabaja con la ayuda de las herramientas tecnol\u00f3gicas en la soluci\u00f3n de un problema de matem\u00e1ticas algunos componentes del pensamiento matem\u00e1tico se ejecutan de manera distinta que cuando el problema se resuelve \u00fanicamente con l\u00e1piz y papel. En la experiencia de resolver problemas con la ayuda de GeoGebra, los estudiantes pueden desarrollar procesos del pensamiento geom\u00e9trico para particularizar, visualizar, construir patrones, conjeturas y contraejemplos a trav\u00e9s de varias acciones como el trazo de objetos geom\u00e9tricos, la prueba del arrastre, la medici\u00f3n, el lugar geom\u00e9trico y la utilizaci\u00f3n de diferentes registros de representaci\u00f3n, en el sentido que lo maneja (Duval, 1999).<\/p>\n<p>GeoGebra es un software de Geometr\u00eda Din\u00e1mica interactivo libre, como un micromundo computacional. Esto quiere decir que este instrumento de mediaci\u00f3n tiene un conjunto de objetos con relaciones que permite realizar operaciones y contiene una serie de fen\u00f3menos como el arrastre, el movimiento, los lugares geom\u00e9tricos, el uso de diversas representaciones semi\u00f3ticas y la realizaci\u00f3n de macroconstrucciones. Con este instrumento de mediaci\u00f3n se pueden ejecutar varias acciones cognitivas como visualizaci\u00f3n, experimentaci\u00f3n, sorpresa y retroalimentaci\u00f3n.<\/p>\n<p><b>Modelaci\u00f3n<\/b>. El software de geometr\u00eda din\u00e1mica es un magn\u00edfico aleado en los procesos de modelaci\u00f3n, puesto que permite mostrar el fundamento de estudio como una r\u00e9plica simplificada de la realidad y la teor\u00eda con el fin de ayudar a comprender leyes y teor\u00edas, donde la modelaci\u00f3n se puede considerar como un puente de tr\u00e1nsito entre el investigador y el objeto de investigaci\u00f3n.<\/p>\n<p><b>Visualizaci\u00f3n<\/b>. El ambiente de geometr\u00eda din\u00e1mica le permite a los estudiantes construir figuras con ciertas propiedades, visualizarlas y transformarlas. Dicho proceso contribuye a desarrollar el h\u00e1bito de transformar los casos particulares para buscar visualmente las variantes e invariantes de la construcci\u00f3n y la justificaci\u00f3n formal de las conjeturas.<\/p>\n<p><b>Experimentaci\u00f3n<\/b>. Adem\u00e1s de la visualizaci\u00f3n, el software din\u00e1mico ayuda a los estudiantes a experimentar por medio de la construcci\u00f3n de casos particulares para explorar casos adversos y situaciones extremas. En dichos ejemplos, los alumnos pueden medir, comparar y hacer trazos auxiliares. La informaci\u00f3n obtenida en la experimentaci\u00f3n puede ayudar a construir conjeturas, a confrontar con sus equivalentes realizados con l\u00e1piz y papel.<\/p>\n<p>Durante este proceso de experimentaci\u00f3n, los estudiantes se interrogan y anticipan posibles o futuros resultados, entre ellas se puede reconocer: (a) expresen sus predicciones con claridad, (b) tengan cuidado al construir sus propias predicciones, y (c) creen expectativas y motivaciones para la experimentaci\u00f3n real. En la experimentaci\u00f3n, los estudiantes pueden encontrar situaciones que contradigan sus predicciones, lo que los ubica en direcci\u00f3n de la reflexi\u00f3n, revisi\u00f3n y restauraci\u00f3n de los planteamientos.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Objetivo de la investigaci\u00f3n<\/strong><br \/>\nComo objetivo general de la hoja de trabajo se busca que los estudiantes puedan resolver problemas que se modelan con funciones lineales. Para lograr dicho objetivo consideran los siguientes objetivos espec\u00edficos:<\/p>\n<ul>\n<li>Identifica con claridad variables dependientes e independientes en una relaci\u00f3n entre dos cantidades.<\/li>\n<li>Emplea la funci\u00f3n lineal para modelar situaciones de variaci\u00f3n.<\/li>\n<li>Representa gr\u00e1fica, algebraica y tabular funciones lineales.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\">Dise\u00f1o metodol\u00f3gico<\/strong><br \/>\nEn esta secci\u00f3n se exponen los pasos que se siguieron durante el desarrollo de la investigaci\u00f3n en las diferentes fases: dise\u00f1o, validaci\u00f3n, uso de tecnolog\u00eda, recolecci\u00f3n y an\u00e1lisis de resultados. Las fases implementadas fueron las sugeridas en la tesis doctoral de Benitez (2006). Las actividades importantes en cada fase se presentan de forma sint\u00e9tica en la Figura 1. M\u00e1s adelante se hace una descripci\u00f3n particularizada de cada actividad.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 1.<\/strong> Fases del estudio<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_fig1.png\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: Benitez (2006).<\/p>\n<p><b>Dise\u00f1o<\/b>. En esta fase se exponen dos momentos: el primero alude a la selecci\u00f3n de actividades o problemas, los cuales ser\u00e1n estructurados a la luz de los est\u00e1ndares b\u00e1sicos de competencia en matem\u00e1tica propuestos por el Ministerio de Educaci\u00f3n Nacional (MEN, 2017), para el grado noveno de la educaci\u00f3n media. Lo anterior posibilita la implementaci\u00f3n de la hoja de trabajo, la que se consolida m\u00e1s adelante.<\/p>\n<p><b>Validaci\u00f3n<\/b>. En la hoja de trabajo se presentaron las siguientes instancias: (a) revisi\u00f3n del director y el codirector del proyecto de trabajo de grado, y (b) identificaci\u00f3n de docentes que tuvieran conocimiento sobre la elaboraci\u00f3n de propuestas en las TIC, en la resoluci\u00f3n de problemas matem\u00e1ticos y en la construcci\u00f3n de conjeturas. Los anteriores pasos se realizaron con el fin de mejorar y elaborar hojas de trabajo que dieran cuenta de la investigaci\u00f3n objeto de estudio.<\/p>\n<p><b>Uso de tecnolog\u00eda<\/b>. Consiste en exponer a los estudiantes algunas instrucciones sobre el manejo de GeoGebra (Benitez, 2006). En esta fase se implementaron las siguientes acciones: (a) una descripci\u00f3n global del software, y (b) un taller de manejo del mismo, usando la vista gr\u00e1fica y la hoja de c\u00e1lculo para la soluci\u00f3n de problemas relacionados con registro tabular y gr\u00e1ficas de sus ejes.<\/p>\n<ul>\n<li>Descripci\u00f3n global del software: se mostraron las caracter\u00edsticas m\u00e1s importantes de GeoGebra, las funciones, los comandos principales y la forma de operarlos en relaci\u00f3n con la vista gr\u00e1fica y la hoja de c\u00e1lculo.<\/li>\n<li>Taller de manejo del software: se implement\u00f3 con los estudiantes un taller de una hora con el objetivo de que resolvieran una serie de actividades sobre el manejo b\u00e1sico de cada herramienta de GeoGebra. El profesor estuvo pendiente de las inquietudes que los estudiantes pudieron tener en el proceso.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<b>Recolecci\u00f3n<\/b>. Se utilizaron las hojas de trabajo como instrumento de recolecci\u00f3n, el cual abarcaba diferentes preguntas con un espacio suficiente para que los estudiantes comunicaran sus ideas por escrito. En este taller se evidenci\u00f3 la capacidad que ellos tienen para conjeturar. Algunos de los cuestionamientos estuvieron basados en un contexto realista o hipot\u00e9tico. Cabe mencionar que la propuesta de trabajo se abord\u00f3 tanto de manera individual como en equipo.<\/p>\n<p>Durante la puesta en escena de las hojas de trabajo sobresalieron tres etapas: (a) trabajo individual, (b) acompa\u00f1amiento del docente investigador y (c) reformulaci\u00f3n de contextos.<\/p>\n<ul>\n<li>Trabajo individual: en esta etapa el estudiante se confronta al problema de manera individual con apoyo del docente o de otro par.<\/li>\n<li>Acompa\u00f1amiento del docente investigador: en esta etapa la intervenci\u00f3n del maestro es para formular cuestionamientos y brindar sugerencias que permitan al estudiante aproximarse a la soluci\u00f3n del problema.<\/li>\n<li>Reformulaci\u00f3n de contextos: este espacio le brinda la oportunidad al estudiante a enfrentarse a problemas parecidos, pero en diferentes contextos, es decir, que sea capaz de sostener un v\u00ednculo con el problema original, pero aumentando algunas caracter\u00edsticas que le posibiliten explorar nuevos dominios.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<b>Fase de procesamiento<\/b>. Despu\u00e9s de recoger la informaci\u00f3n se procedi\u00f3 a archivarla de forma f\u00edsica y electr\u00f3nica. Se realizaron archivos con las hojas de trabajo. Las actividades fueron clasificadas en carpetas, las cuales se marcaron con el t\u00edtulo de la hoja de trabajo y la fecha de aplicaci\u00f3n. De igual manera, se conservaron, nombraron y guardaron los archivos electr\u00f3nicos elaborados por los estudiantes en los port\u00e1tiles, con ayuda del software de GeoGebra, adem\u00e1s de fotograf\u00edas y videos. Una vez guardados los archivos, se procedi\u00f3 a elaborar las tablas y las gr\u00e1ficas, seg\u00fan las categor\u00edas de an\u00e1lisis. En lo cuantitativo se emplearon las siguientes categor\u00edas: correcto, incorrecto y no contest\u00f3 (ver Anexo B). Esta \u00faltima no se caracteriz\u00f3 debido a que todos los estudiantes contestaron cada una de las preguntas. En cuanto a lo cualitativo, se utilizaron las categor\u00edas de acuerdo con el tipo de recursos y estrategias utilizadas por los estudiantes participantes.<\/p>\n<p><b>An\u00e1lisis de resultados<\/b>. Una vez recogida la informaci\u00f3n, se procedi\u00f3 a analizarla con base en los desarrollos cualitativos y cuantitativos. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos fue posible entregar la respuesta a las preguntas planteadas en la investigaci\u00f3n, las cuales marcaron el derrotero para la realizaci\u00f3n del trabajo. Por otro lado, se pudo evaluar el impacto de las actividades propuestas a los participantes en el sal\u00f3n de clase.<\/p>\n<p>Esta fase del estudio se efectu\u00f3 con base en los referentes planteados de investigaci\u00f3n, con lo que se esperaba constatar que, en el marco de la resoluci\u00f3n de problemas, el uso de material manipulativo y de tecnolog\u00eda digital juegan un papel preponderante al interior del aula de clase, puesto que posibilitan el progreso de la capacidad del estudiante para construir conjeturas.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Fases y materiales del desarrollo de la investigaci\u00f3n<\/strong><br \/>\nLos materiales que se utilizaron para la investigaci\u00f3n se constituyeron en tres fases: a) material orientado al diagn\u00f3stico y aproximaci\u00f3n de los procesos de generalizaci\u00f3n; b) pr\u00e1ctica en laboratorio de f\u00edsica; y c) confrontaci\u00f3n virtual softwares (GeoGebra y Universidad de Colorado).<\/p>\n<p><b>a. Material orientado al diagn\u00f3stico y aproximaci\u00f3n de los procesos de generalizaci\u00f3n<\/b><br \/>\n<i>El borde de la piscina<\/i><br \/>\nUn estudiante de arquitectura quiere determinar cu\u00e1nto espacio podr\u00eda tener a su disposici\u00f3n para ubicar sillas para tomar el sol en el borde de una piscina de forma rectangular. Para esto, necesita saber cu\u00e1ntos metros cuadrados hay al borde de esta. La siguiente es la representaci\u00f3n de la piscina, cada cuadro es de 1 m<sup>2<\/sup>.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Imagen 1.<\/strong> Ilustraci\u00f3n inicial del planteamiento del borde de la piscina<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_1.jpg\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2021).<\/p>\n<p>Cada grupo de trabajo propone un tama\u00f1o de piscina diferente, y determina cu\u00e1ntos metros cuadrados hay en el borde. Todos estos valores son registrados en una tabla como esta.<\/p>\n<div>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td><b>Largo<\/b><\/td>\n<td><b>Ancho<\/b><\/td>\n<td><b>Tama\u00f1o del borde<\/b><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Imagen 2.<\/strong> Planteamiento a la soluci\u00f3n del problema \u201cborde de la piscina\u201d<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_2.png\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2021).<\/p>\n<p>Se les invita a los estudiantes a que vean si pueden encontrar una regla para determinar la medida del borde para cualquier tama\u00f1o de piscina sin necesidad de hacer un dibujo para esto. La actividad permiti\u00f3 que los estudiantes pudieran establecer patrones y generalizaciones.<\/p>\n<p>Aqu\u00ed fue muy interesante el resultado obtenido, pues de los estudiantes que trabajaron esta actividad tan solo el 13 % (4 estudiantes) de un grupo de 30 estudiantes del grado noveno no pudo encontrar la expresi\u00f3n que determinaba la cantidad de cuadrados que se pod\u00edan poner en el borde de la piscina.<\/p>\n<p>Fue muy importante para los estudiantes darse cuenta de que pudieron encontrar el modelo de la cantidad de metros cuadrados necesarios, para ello la representaci\u00f3n simb\u00f3lica fue fundamental. Al ver la imagen de los dibujos que representaron, los estudiantes pudieron encontrar el modelo de forma inmediata. A continuaci\u00f3n, se muestran cuatro formas diferentes de encontrar el \u00e1rea del borde a partir del tama\u00f1o de la piscina.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Imagen 3.<\/strong> Ilustraci\u00f3n de las formas que se puede dar respuesta al interrogante<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_Img3.png\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2021).<\/p>\n<p>Esto fortalece la idea de que es necesario utilizar diferentes sistemas de representaci\u00f3n. Aqu\u00ed la mayor\u00eda de los estudiantes opt\u00f3 por utilizar la \u00faltima representaci\u00f3n, donde la pudieron expresar como B=2l+2a+4, que posteriormente ser\u00e1: B=2(l+a)+4. \u201cdonde l es el numero de cuadrados de la base y a el numero de cuadrados de la altura y 4 son los el n\u00famero de cuadrados constante\u201d. Fue muy importante este hallazgo, por lo que, este tipo de expresiones no la vieron como algo extra\u00f1o, si no como el resultado de proceso racional-deductivo, lo cual cobra valor y tiene un sentido para ellos, y les dice algo; situaci\u00f3n que no pasaba antes.<\/p>\n<p><b>b. Pr\u00e1ctica en laboratorio de f\u00edsica<\/b><br \/>\nDespu\u00e9s del diagn\u00f3stico, aproximaci\u00f3n a los modelos de generalizaci\u00f3n, los estudiantes pudieron consolidar una expresi\u00f3n algebraica que lograba modelar el problema planteado. En esta segunda fase los estudiantes se organizaron en 10 grupos de 3 estudiantes, cada uno, para realizar la actividad de forma pr\u00e1ctica siguiendo la gu\u00eda de laboratorio de la ley de Hooke<a href=\"#Cap3-1\" style=\"color:#F1C40F;\"><sup>[1]<\/sup><\/a>, de la cual se enfocaron, como objetivo, el indagar la elongaci\u00f3n que presenta un resorte a medida se van cambiando las masas que se les ubica en el extremo inferior. Estos valores los fueron registrando con la finalidad de determinar una expresi\u00f3n que pretenda modelar dicho comportamiento y, con esto, concluir la raz\u00f3n de cambio o constante de elasticidad que muestran dos resortes de diferentes materiales.<\/p>\n<p><b>c. Confrontaci\u00f3n virtual softwares (Universidad de Colorado y GeoGebra)<\/b><br \/>\nSe propone una hoja de trabajo donde el objeto importante aqu\u00ed sigue siendo la modelaci\u00f3n. Se pens\u00f3 en un laboratorio virtual de masas y resortes (que se pueda contrastar con lo trabajado en el laboratorio); para ello utilizamos el que se encuentra en la Universidad de Colorado, el cual consiste en poner unas masas en unos resortes e ir midiendo la elongaci\u00f3n de este. No decidimos profundizar en ley de Hooke, ya que no lo consideramos pertinentes por el trabajo diferencial que se ten\u00eda que hacer; es as\u00ed que solo abordamos la relaci\u00f3n que existe entre la elongaci\u00f3n de un resorte cuando se le pone una masa en su extremo. Aqu\u00ed los estudiantes tuvieron la oportunidad de trabajar de forma manual y ayudados con el aplicativo de GeoGebra (los estudiantes exploraron y trabajaron con la hoja de c\u00e1lculo de Excel, donde registraron los valores de la masas y elongaci\u00f3n de la hoja de trabajo para posteriormente realizar la regresi\u00f3n lineal, y con ella ubicar la recta de regresi\u00f3n en el plano cartesiano y la expresi\u00f3n general). Fue muy importante el trabajo que se hizo simult\u00e1neo con el software, ya que permiti\u00f3 que los estudiantes pudieran explorar otras formas de obtener los resultados, quedando muy conformes con la \u201cregresi\u00f3n lineal\u201d, que hasta este momento era desconocido para ellos y m\u00e1s a\u00fan cuando ellos confrontaron esta gr\u00e1fica con la que realizaron en el laboratorio de f\u00edsica e identificaron que la variaci\u00f3n entre ellas, gr\u00e1fica de laboratorio vs gr\u00e1fica modelada en GeoGebra, fue poca.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Imagen 4.<\/strong> Ilustraci\u00f3n del software de la Universidad de Colorado<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_4.jpg\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: Universidad de Colorado (2021).<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Imagen 5.<\/strong> Ilustraci\u00f3n hoja de c\u00e1lculo, masa, longitudes y modelaci\u00f3n funci\u00f3n lineal<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_5.jpg\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: Elaboraci\u00f3n propia (2021).<\/p>\n<p><b>d. Asesor\u00eda, acompa\u00f1amiento del docente<\/b><br \/>\nDurante todo este proceso, la intervenci\u00f3n del maestro fue fundamental. Si bien es cierto que los estudiantes llegaron a las conclusiones por su propia intervenci\u00f3n, tambi\u00e9n entendieron en qu\u00e9 consiste la \u201cmodelaci\u00f3n en matem\u00e1ticas\u201d, encontraron dichos modelos y mediante actividades de control determinaron la veracidad de los resultados obtenidos. Los estudiantes se apoyaban de las orientaciones iniciales suministradas por el maestro, donde ellos pod\u00edan replicar lo realizado. Se les explicit\u00f3 que esto puede generar dificultades en los resultados, ya que en los procesos de modelaci\u00f3n no siempre se llega al modelo de la misma manera. Fue este elemento el que los impuls\u00f3 a realizar un trabajo m\u00e1s aut\u00f3nomo y consciente.<\/p>\n<p>La implementaci\u00f3n de GeoGebra le permiti\u00f3 al docente identificar en los estudiantes el logro de los objetivos propuesto a trav\u00e9s de las actividades. De otro lado, le brind\u00f3 al alumno herramientas de tipo geom\u00e9trico, algebraico y propias del c\u00e1lculo para explorar y comprender propiedades fundamentales la modelaci\u00f3n, resoluci\u00f3n de problemas y representaci\u00f3n gr\u00e1fica, y poder pasar de una representaci\u00f3n a otra de un mismo concepto, lo que lleva, seg\u00fan Duval (1999), a comprender realmente la estructura de los elementos matem\u00e1ticos involucrados.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Resultados de la hoja de trabajo (funci\u00f3n lineal \u201cmasas y resortes\u201d)<\/strong><br \/>\nLa actividad de la hoja de trabajo se aplic\u00f3 durante el desarrollo del primer periodo acad\u00e9mico del colegio Berchmans (agosto 26 a noviembre 26 2019); esta permiti\u00f3 que los alumnos pudieran establecer la relaci\u00f3n entre el cambio de masas de un resorte y la elongaci\u00f3n que estas generaban al resorte, as\u00ed como la inferencias, deducciones y conclusiones que ellos pod\u00edan establecer.<\/p>\n<p>A continuaci\u00f3n, se listan las Instrucciones y requerimiento para el desarrollo de la hoja de trabaja (Anexo A).<\/p>\n<ul>\n<li>Colocar masas en el extremo del resorte y registrar la masa con la respectiva elongaci\u00f3n que produce sobre el resorte.<\/li>\n<li>Determinar la raz\u00f3n de cambio o constante de elongaci\u00f3n entre (k=\u2206y\/\u2206x): variaci\u00f3n o cambio en la elongaci\u00f3n del resorte \u201c\u2206y\u201d y la variaci\u00f3n o diferencia entre masas \u201c\u2206x\u201d.<\/li>\n<li>Inferir y explicar por qu\u00e9 se da el concepto de constante, basado en lo realizado en los puntos 1 y 2.<br \/>\nAnalizar por qu\u00e9 a la raz\u00f3n de cambio se le puede identificar como constante.<\/li>\n<li>Utilizar los valores de masas y elongaciones para realizar una representaci\u00f3n gr\u00e1fica en el plano cartesiano.<\/li>\n<li>Establecer la ecuaci\u00f3n que modela la elongaci\u00f3n de un resorte en funci\u00f3n de la masa que se le pueda ubicar en el extremo.<\/li>\n<li>Consultar el material que se relaciona con el valor de la constante de elasticidad del resorte.<\/li>\n<li>Realizar la actividad en GeoGebra, ubicar los datos registrados en la hoja de c\u00e1lculo de Excel para realizar recta de regresi\u00f3n de los puntos registrados. Pegar en la hoja la gr\u00e1fica resultante.<\/li>\n<li>Comparar los resultados obtenidos en la modelaci\u00f3n de realizada con l\u00e1piz y papel vs el resultado de GeoGebra.<\/li>\n<li>Verificar el valor de la masa correspondiente a una elongaci\u00f3n especifica a trav\u00e9s de la ecuaci\u00f3n general deducida.<\/li>\n<li>Conclusiones y generalidades del trabajo.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\">Condiciones de desarrollo de la hoja de trabajo<\/strong><br \/>\nEsta hoja de trabajo la respondieron 30 estudiantes (15 hombres [50 %] entre los 13 y los 16 a\u00f1os, y 15 mujeres [50 %] entre los 13 y los 15 a\u00f1os de edad). Se realiz\u00f3 por escrito y de forma individual. El docente reiter\u00f3 y aclar\u00f3 las dudas que surgieron de las instrucciones que estaban escritas en que cada una de las fases que se iban a desarrollar durante la investigaci\u00f3n.<\/p>\n<p>La hoja de trabajo fue aplicada a cada estudiante del 21 de octubre al 15 de noviembre de 2019. La primera parte en el laboratorio de F\u00edsica del colegio (se utiliz\u00f3: gu\u00eda de laboratorio, soporte de resortes, masas, reglas, hoja, papel, calculadora), la segunda, en los computadores con el aplicativo de la Universidad de Colorado (se utiliz\u00f3: hoja de trabajo, l\u00e1piz, papel, calculadora y software Universidad de Colorado (2020)); la tercera parte fue desarrollada en el software GeoGebra (se utiliz\u00f3: hoja de trabajo, l\u00e1piz, papel, calculadora y cada estudiante en su computador con GeoGebra instalado),\u201d y en la fase final se realizaron conclusiones y retroalimentaci\u00f3n entre estudiantes y docente. Los alumnos cuentan con dominio del software GeoGebra para el desarrollo de la actividad que se propuso.<\/p>\n<p>De la hoja de trabajo se seleccionaron los siguientes puntos para analizar. A estos se les asignaron los nombres consecutivos, desde la pregunta 1 hasta la pregunta 7. Se decide seleccionar estos puntos debido a que muestran una secuencia adecuada en t\u00e9rminos de la aproximaci\u00f3n a los conceptos de funci\u00f3n y modelaci\u00f3n matem\u00e1tica.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Table 1.<\/strong> Ilustraci\u00f3n inicial del planteamiento del borde de la piscina<\/p>\n<div>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"300\"><b>Hoja de trabajo<\/b><\/td>\n<td><b>Preguntas para analizar<\/b><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Punto 2<br \/>\n<img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_6.jpg\" width=\"280\"><\/td>\n<td>Pregunta 1.<br \/>\nDe 30, 29 estudiantes calculan eficientemente la raz\u00f3n de cambio de la constante de elongaci\u00f3n entre el cambio en la elongaci\u00f3n respecto al cambio de masas. Un estudiante hizo el registro invertido, es decir, realiz\u00f3 el cambio en la masa respecto al cambio de la elongaci\u00f3n del resorte en ejes contrarios. Al realizar la retroalimentaci\u00f3n con los estudiantes se concluye que en el momento de determinar k, el estudiante present\u00f3 una equivocaci\u00f3n en la interpretaci\u00f3n en las variables.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Punto 4<br \/>\n<img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_7.jpg\" width=\"280\"><\/td>\n<td>Pregunta 2.<br \/>\nDe 30, 24 estudiantes grafican adecuadamente los datos registrados en la tabla masa vs elongaci\u00f3n.<br \/>\nAl realizar la retroalimentaci\u00f3n con los estudiantes se concluye que dos estudiantes, en el momento de realizar los registros de la escala num\u00e9rica, cambiaron por error los ejes de abscisas y el eje de la ordena. Cuatro estudiantes no hicieron una adecuada representaci\u00f3n en el plano cartesiano de los valores registrados en la tabla.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Punto 5<br \/>\n<img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_8.jpg\" width=\"280\"><\/td>\n<td>Pregunta 3.<br \/>\nDe 30, 24 estudiantes plantean la expresi\u00f3n o ecuaci\u00f3n que generaliza la elongaci\u00f3n de un resorte dependiente de una masa. Al realizar la retroalimentaci\u00f3n con los estudiantes, se concluye que tres estudiantes establecieron mal la constante de elongaci\u00f3n del resorte, a dos estudiantes no les coincid\u00eda el termino independiente (el que corta el eje de la ordenada) y un estudiante no logr\u00f3 establecer la expresi\u00f3n generalizada o algebraica.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Punto 7<br \/>\n<img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_Punto7.png\" width=\"280\"><\/td>\n<td>Pregunta 4.<br \/>\nDe 30, 29 estudiantes encuentran, a trav\u00e9s de GeoGebra, el mejor gr\u00e1fico que se ajusta a los puntos de la tabla previamente registrados en la hoja de c\u00e1lculo. Un estudiante hizo el registro invertido, es decir, realiz\u00f3 el cambio en la masa respecto al cambio de la elongaci\u00f3n del resorte en ejes contrarios. Al realizar el registro de estos valores en la hoja de c\u00e1lculo de GeoGebra la recta de regresi\u00f3n que suministra GeoGebra es errada.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Punto 8<br \/>\n<img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_Punto8.png\" width=\"280\"><\/td>\n<td>Pregunta 5.<br \/>\nDe 30, 23 estudiantes concluyen adecuadamente que la ecuaci\u00f3n que ellos determinaron en la pregunta 2 es similar a la ecuaci\u00f3n de ajuste que arroja GeoGebra. Siete estudiantes tuvieron dificultades para concluir la similitud entre la expresi\u00f3n general que calcularon y la que GeoGebra suministr\u00f3; las dificultades se relacionaron con: 1) identificar variables, 2) establecer escalas num\u00e9ricas, 3) dificultades de plano cartesiano y 4) no establecer la expresi\u00f3n generalizada.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Punto 9<br \/>\n<img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_13.jpg\" width=\"280\"><\/td>\n<td>Pregunta 6.<br \/>\nDe los 30, 24 estudiantes realizan adecuadamente la comprobaci\u00f3n del resultado de la elongaci\u00f3n \u201cque suministra la aplicaci\u00f3n virtual\u201d al ubicar una masa espec\u00edfica con el resultado que obtienen al efectuar el c\u00e1lculo con la expresi\u00f3n que ellos propusieron.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Punto 10<br \/>\n<img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_14.jpg\" width=\"280\"><\/td>\n<td>Pregunta 7.<br \/>\nDe 30, 14 estudiantes concluyen adecuadamente la masa interrogante que se debe determinar al aplicar el aplicativo de la Universidad de Colorado. Diecis\u00e9is de los estudiantes no concluyeron adecuadamente la masa correspondiente o solicitada, algunos por dificultades en el momento de despejar la variable independiente y otros al aplicar la expresi\u00f3n generalizada \u201cpues, esta estaba errada\u201d.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2021).<\/p>\n<p>A continuaci\u00f3n, se ilustra un gr\u00e1fico de barras que muestra las respuestas marcadas por parte de los estudiantes en la hoja de trabajo, la tabla de los resultados se muestra en el Anexo B.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Gr\u00e1fico 1.<\/strong> Gr\u00e1fico de barras de respuestas correctas por parte de los estudiantes<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_Modelacion.jpg\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2021).<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Conclusiones<\/strong><br \/>\nLos estudiantes establecieron la expresi\u00f3n algebraica y modelaron el alargamiento de un resorte dependiendo de la variaci\u00f3n de las masas.<\/p>\n<ul>\n<li>Calcularon e identificaron la elongaci\u00f3n del resorte \u201cvariable dependiente\u201d al ubicar en el extremo del resorte una masa espec\u00edfica \u201cvariable independiente\u201d.<\/li>\n<li>Establecieron la raz\u00f3n de cambio (constante de elongaci\u00f3n) del t\u00e9rmino independiente (longitud inicial del resorte) y la funci\u00f3n lineal \u201cy(x)=mx+b\u201d, la cual emplearon para modelar la situaci\u00f3n planteada.<\/li>\n<li>Implementaron los siguientes sistemas de representaci\u00f3n: gr\u00e1fico, algebraico y tabular para desarrollar la situaci\u00f3n planteada \u201celongaci\u00f3n del resorte dependiendo de una masa\u201d.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Discusi\u00f3n de resultados<\/i><\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>El trabajo permiti\u00f3 que los estudiantes pudieran acceder al conocimiento de una forma diferencial gracias a la incorporaci\u00f3n de GeoGebra y el software de la Universidad de Colorado. Ser\u00e1 importante que se generen en los estudiantes espacios de familiarizaci\u00f3n con estos softwares en futuras actividades.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Imagen 6.<\/strong> Respuesta por parte de estudiantes<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_15.jpg\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: manuscrito de un estudiante (2019).<\/p>\n<ul>\n<li>Es importante fortalecer con los estudiantes las propiedades y pr\u00e1ctica del despeje de variables en ecuaciones o funciones de primer y segundo grado.<\/li>\n<li>Se recibieron unos estudiantes muy inquietos por descubrir la importancia de las matem\u00e1ticas y otros inconformes con el proceso del \u00e1rea. Al finalizar esta ruta de aprendizaje y despu\u00e9s de la intervenci\u00f3n, se escuchan voces de satisfacci\u00f3n frente al objetivo del conocimiento de las matem\u00e1ticas.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Imagen 7.<\/strong> Respuesta por parte de estudiantes<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_16.jpg\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: manuscrito de un estudiante (2019).<\/p>\n<ul>\n<li>Los estudiantes lograron identificar los elementos b\u00e1sicos de la funci\u00f3n lineal y son capaces de identificar con claridad, en su mayor\u00eda, las variables dependientes e independientes del comportamiento.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Imagen 8.<\/strong> Respuesta por parte de estudiantes<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_17.jpg\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: manuscrito de un estudiante (2019).<\/p>\n<ul>\n<li>Comprenden de manera efectiva la intenci\u00f3n de la modelaci\u00f3n y la ponen a servicio de la situaci\u00f3n que est\u00e1n resolviendo.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Imagen 9.<\/strong> Respuesta por parte de estudiantes<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_18.jpg\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: manuscrito de un estudiante (2019).<\/p>\n<ul>\n<li>Qued\u00f3 pendiente transversalizar este trabajo con el \u00e1rea de f\u00edsica, de tal manera que se pueda llegar a concretar este trabajo en relaci\u00f3n completa con el laboratorio de la ley de Hooke.<\/li>\n<li>Los estudiantes participaron de forma din\u00e1mica durante todo el proceso e investigaci\u00f3n, mejoraron su actitud frente al \u00e1rea, se ven m\u00e1s comprometidos frente a los trabajos propuestos y con actividades interactivas que vinculen elementos te\u00f3ricos y pr\u00e1cticos en concreto, donde ellos tengan que hacer, construir y verificar.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Aprendizajes por parte del profesor<\/i><\/strong><br \/>\nLa hoja de trabajo fue un elemento de mucha ayuda para la finalidad de la investigaci\u00f3n, pues permiti\u00f3 orientar y organizar la actividad en sus diferentes momentos. El papel del profesor articul\u00f3 oportunamente el trabajo con la hoja de trabajo, los softwares GeoGebra y Universidad de Colorado, y la pr\u00e1ctica de laboratorio, donde llev\u00f3 a que la participaci\u00f3n de los estudiantes fuera activa y motivadora.<\/p>\n<p>Los registros de representaciones semi\u00f3ticas tales como visuales, tabulares y gr\u00e1ficos, permitieron una aproximaci\u00f3n espont\u00e1nea al concepto de modelaci\u00f3n de la funci\u00f3n lineal.<\/p>\n<p>La implementaci\u00f3n de las actividades pr\u00e1cticas que se confrontan con elementos te\u00f3ricos suministra a los estudiantes seguridad al ir reconociendo resultados casi id\u00e9nticos en otros registros y momentos de la actividad, aportando a la construcci\u00f3n de conocimientos matem\u00e1tico.<\/p>\n<p>Es indispensable la organizaci\u00f3n, planificaci\u00f3n, preparaci\u00f3n, revisi\u00f3n y ajustes de las actividades y tiempos de desarrollo por parte del profesor con anticipaci\u00f3n; esta gesti\u00f3n previa ayuda a disminuir las dificultades que siempre suelen resultar durante el proceso did\u00e1ctico, pedag\u00f3gico, conceptual y pr\u00e1ctico del conocimiento matem\u00e1tico.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Referencias<\/strong><br \/>\nBenitez, D. (2006). Formas de razonamiento que desarrollan estudiantes universitarios de primer a\u00f1o en la resoluci\u00f3n de problemas con tecnolog\u00eda digital [tesis doctoral, CINVESTAV- M\u00e9xico.<\/p>\n<p>Coll, C., Onrubia, J. y Mauri, T. (2007). <i>Tecnolog\u00eda y pr\u00e1cticas pedag\u00f3gicas: las TIC como instrumento de mediaci\u00f3n de la actividad conjunta de profesores y estudiantes<\/i>.<\/p>\n<p>Duval, R. (1999). Representation, vision and visualization: cognitive functions in mathematical thinking. <i>Basic issues for learnign<\/i>.<\/p>\n<p>Larson y Hostetler. (2001). <i>Precalculus<\/i>. Houghton Miflin.<\/p>\n<p>Ministerio de Educaci\u00f3n Nacinal &#8211; MEN (2017). <i>Plan Nacional Decenal de Educaci\u00f3n 2016-2026. El camino hacia la calidad y equidad<\/i>. Colombia: MEN.<\/p>\n<p>Polya, G. (1965). \u00bfC\u00f3mo plantear y resolver problemas de matem\u00e1ticas? <i>Trillas<\/i>.<\/p>\n<p>Salinas Iba\u00f1ez, J. (2004). Cambios metodol\u00f3gicos con las TIC. Estrategias did\u00e1cticas y entornos virtuales de ense\u00f1anza-aprendizaje. <i>Revista de Pedagog\u00eda<\/i>, 56(3-4).<\/p>\n<p>Schoenfeld, A. (1985). <i>Mathematical Problem Solving<\/i>. Academic Press.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#F1C40F;\">Notas (cap\u00edtulo III)<\/strong><br \/>\n<a name=\"Cap3-1\">[1]<\/a> La ley de Hooke explica la relaci\u00f3n entre la fuerza ejercida sobre un resorte, el estiramiento del resorte y la constante del resorte.<br \/>\n<\/details>\n<p>\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014<\/p>\n<details>\n<summary>\n<strong style=\"color:#F1C40F;\">Experiencia 2. Una actividad de generalizaci\u00f3n para el desarrollo del pensamiento algebraico<\/strong><br \/>\n<i>Yeni Marcela Betancur Aristiz\u00e1bal y Urbano Rengifo Hern\u00e1ndez<\/i><\/summary>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\">Resumen<\/strong><br \/>\nSe documenta una experiencia de aula con estudiantes del grado octavo, mediada por el uso de herramientas tecnol\u00f3gicas como GeoGebra. El an\u00e1lisis est\u00e1 centrado en identificar procesos de razonamiento y comunicaci\u00f3n empleados por los estudiantes para abordar actividades de generalizaci\u00f3n en contextos geom\u00e9tricos. La experiencia permite validar el uso de procesos de generalizaci\u00f3n como un medio para facilitar la transici\u00f3n al pensamiento algebraico, dejando evidencia de la capacidad de los estudiantes para identificar patrones, regularidades y expresiones generales que pueden ser comunicadas usando registros como el de la lengua natural, el tabular o el simb\u00f3lico.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">\u00bfD\u00f3nde se hizo el proyecto?<\/strong><br \/>\nEl colegio Berchmans es una instituci\u00f3n de la Compa\u00f1\u00eda de Jes\u00fas fundada en la ciudad de Cali el 2 de octubre de 1933. Con casi 88 a\u00f1os de trayectoria, ha centrado su propuesta educativa en la persona como ser humano integral, acompa\u00f1\u00e1ndola en su proceso de formaci\u00f3n desde las diferentes dimensiones: \u00e9tica, espiritual, cognitiva, afectiva, comunicativa, est\u00e9tica, corporaly socio-pol\u00edtica.<\/p>\n<p>Atendiendo a las necesidades y retos educativos de la sociedad actual, hace seis a\u00f1os el colegio Berchmans inici\u00f3 un proceso de renovaci\u00f3n educativa denominado <i>Innovando con Sentido<\/i>, con tres frentes de acci\u00f3n definidos: la educaci\u00f3n inicial, la implementaci\u00f3n de metodolog\u00edas activas en la educaci\u00f3n b\u00e1sica (Aprendizaje Basado en Proyectos, ABP) y el programa Diploma del Bachillerato Internacional (I.B.) en la educaci\u00f3n media.<\/p>\n<p>Para lograr este m\u00faltiple prop\u00f3sito se reconoci\u00f3 la importancia de invertir en programas que permitan la capacitaci\u00f3n y cualificaci\u00f3n del equipo de profesores a trav\u00e9s de convenios interinstitucionales. Es as\u00ed como en el a\u00f1o 2018 se inscribi\u00f3 a todos los docentes del \u00e1rea de Matem\u00e1ticas y algunos de Ciencias Naturales al diplomado <i>Dise\u00f1o de ambientes de aprendizaje centrado en la resoluci\u00f3n de problemas de matem\u00e1ticas, con la mediaci\u00f3n de GeoGebra<\/i>, desarrollado por la Universidad Icesi.<\/p>\n<p>Con este programa se buscaba la actualizaci\u00f3n de los maestros en la Did\u00e1ctica de las Matem\u00e1ticas centrada en el reconocimiento de las competencias propias de esta \u00e1rea y en el dise\u00f1o de materiales de la ense\u00f1anza apoyados en recursos tecnol\u00f3gicos como GeoGebra, Excel, calculadoras y algunas otras aplicaciones que permitieran dinamizar la comunicaci\u00f3n de saberes en el aula de clase y generar espacios de mayor actividad y productividad para el estudiante. De este diplomado surge, entonces, la propuesta que se describe y analiza en el presente art\u00edculo.<\/p>\n<p>El grupo con el que se hizo la intervenci\u00f3n estaba conformado por 32 estudiantes con edades que oscilaban entre los 13 y los 15 a\u00f1os. Quince mujeres y una de ellas nueva en el colegio; diecisiete hombres y uno de ellos reiniciaba proceso en octavo grado. La mayor\u00eda inici\u00f3 su proceso formativo en el colegio desde la primera infancia. Era un grupo entusiasta, alegre, din\u00e1mico, comunicativo, receptivo, respetuoso, amable, cercano, cuestionador y razonablemente cr\u00edtico. Hab\u00eda varios estudiantes con un razonamiento l\u00f3gico y un nivel de argumentaci\u00f3n notablemente altos en relaci\u00f3n con el promedio del grupo, y a otros grupos de estudiantes que se encontraban en el mismo nivel de escolaridad y en la misma etapa de su ciclo vital. Muchos se mostraron muy organizados con el registro y la toma de apuntes en su carpeta, aunque hay un grupo significativo de estudiantes que mostr\u00f3 algunas dificultades respecto a escribir explicaciones, justificaciones y procedimientos completos. Como en otros grupos de esta promoci\u00f3n, a casi todos sus integrantes les costaba mucho comprometerse con el trabajo fuera del aula, pero durante las clases, sus niveles de atenci\u00f3n, participaci\u00f3n y producci\u00f3n eran relativamente altos.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">\u00bfQu\u00e9 se hizo y por qu\u00e9?<\/strong><br \/>\nEntre los procesos de reflexi\u00f3n que se vienen adelantando en el \u00e1rea de matem\u00e1ticas en el Colegio Berchmans, ha sido recurrente la pregunta sobre c\u00f3mo hacer la transici\u00f3n entre los procesos aritm\u00e9ticos y los algebraicos, de tal manera que adquieran mayor sentido para los estudiantes. Es en este marco en donde surge la idea de plantear actividades de generalizaci\u00f3n, en contextos geom\u00e9tricos, como un posible camino para introducir las ideas b\u00e1sicas del \u00e1lgebra, posibilitando la interpretaci\u00f3n de la letra como representaci\u00f3n de variables.<br \/>\nEn este contexto se realiza el dise\u00f1o de una gu\u00eda de trabajo, mediada por el uso de la herramienta GeoGebra, para identificar los procesos de razonamiento y comunicaci\u00f3n empelados por los estudiantes a la hora de enfrentarse a procesos de generalizaci\u00f3n.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Referentes te\u00f3ricos<\/strong><br \/>\nUno de los asuntos did\u00e1cticos a los que mayor atenci\u00f3n y trabajo han dedicado algunos investigadores en educaci\u00f3n matem\u00e1tica en d\u00e9cadas recientes es el paso de la aritm\u00e9tica y la geometr\u00eda al \u00e1lgebra escolar. Hay quienes lo caracterizan como una <i>ruptura epistemol\u00f3gica<\/i>, lo conciben como una <i>transici\u00f3n<\/i> de un tipo de pensamiento a otro, lo ubican como un problema de <i>lenguaje y comunicaci\u00f3n<\/i> o, incluso, postulan la necesidad de proponer actividades a los estudiantes desde los primeros a\u00f1os de la educaci\u00f3n b\u00e1sica, partiendo del hecho de que se puede <i>ense\u00f1ar a pensar algebraicamente<\/i> sin que necesariamente medie el uso de signos, letras o f\u00f3rmulas.<\/p>\n<p>El <i>pensamiento algebraico<\/i> es concebido como un tipo particular de pensamiento matem\u00e1tico gen\u00e9ticamente ligado a una nueva forma de uso de signos cuyos significados son elaborados por los estudiantes y el profesor durante su participaci\u00f3n en actividades matem\u00e1ticas. No debe ser visto necesariamente como un proceso mental interno, sino, sobre todo, como un <i>proceso discursivo<\/i> amarrado a los signos (escritos y verbales) a trav\u00e9s de los cuales ocurre. En este sentido, el lenguaje algebraico resulta ser (como todo lenguaje) una forma (y no un medio) de pensar, actuar y comunicar (Radford, 1999).<\/p>\n<p>La introducci\u00f3n al lenguaje algebraico puede tomar muchas direcciones diferentes dependiendo del tipo de actividades que se les proponga a los estudiantes, y de los \u00e9nfasis que se hagan en los momentos de socializaci\u00f3n y formalizaci\u00f3n del conocimiento (puesta en com\u00fan). Todas esas diversas maneras de aproximar a los estudiantes al \u00e1lgebra escolar han sido centro de inter\u00e9s y objeto de estudio de la Investigaci\u00f3n en Educaci\u00f3n Matem\u00e1tica, alcanzando desarrollos significativos y aportando muchos elementos de un impacto creciente en la concepci\u00f3n que tenemos los docentes en relaci\u00f3n con el tipo de actividades, consignas, situaciones y preguntas que deben formularse. Nombramos algunas de esas aproximaciones (Bednarz et al., 1998):<\/p>\n<ul>\n<li>Las reglas para transformar y resolver ecuaciones.<\/li>\n<li>La resoluci\u00f3n de problemas.<\/li>\n<li>La generalizaci\u00f3n de leyes que rigen los n\u00fameros.<\/li>\n<li>La introducci\u00f3n de los conceptos de variable y funci\u00f3n.<\/li>\n<li>El estudio de las estructuras algebraicas.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Entre las otras, vale mencionar una cierta perspectiva geom\u00e9trica, que es encontrada por Charbonneau y Radford en aquellas aproximaciones al \u00e1lgebra que se enfocan en la generalizaci\u00f3n de patrones geom\u00e9tricos y en la construcci\u00f3n de f\u00f3rmulas geom\u00e9tricas que podr\u00edan preceder a la aparici\u00f3n del pensamiento anal\u00edtico en el aprendizaje del \u00e1lgebra; tal es el caso de la actividad que propusimos a nuestros estudiantes, la cual describiremos y analizaremos a continuaci\u00f3n.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Dise\u00f1o metodol\u00f3gico<\/strong><br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Descripci\u00f3n de la hoja de trabajo<\/i><\/strong><br \/>\nLa hoja de trabajo consta de tres actividades. La primera es la actividad diagn\u00f3stica que busca identificar, por medio de tres preguntas, los conceptos previos que tienen los estudiantes sobre los pol\u00edgonos regulares, y la relaci\u00f3n entre el n\u00famero de v\u00e9rtices y diagonales. La segunda actividad implica el uso de la herramienta tecnol\u00f3gica GeoGebra para facilitar la visualizaci\u00f3n de la relaci\u00f3n que existe entre el n\u00famero de v\u00e9rtices de un pol\u00edgono regular y el n\u00famero de diagonales que sale de un solo v\u00e9rtice. Finalmente, la tercera actividad busca que los estudiantes encuentren una relaci\u00f3n entre el n\u00famero de v\u00e9rtices de un pol\u00edgono regular y el n\u00famero total de diagonales, nuevamente empleando como herramienta GeoGebra.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Objetivo<\/i><\/strong><br \/>\nIdentificar algunos procesos de razonamiento y comunicaci\u00f3n empleados por los estudiantes para realizar procesos de generalizaci\u00f3n.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Condiciones de aplicaci\u00f3n<\/i><\/strong><br \/>\nHicimos varios intentos con otro grupo y encontramos algunas dificultades log\u00edsticas relacionadas con la disponibilidad de las salas o de los equipos, tiempo insuficiente para el desarrollo de la actividad, dificultades de conexi\u00f3n, disposici\u00f3n de algunos estudiantes, inasistencia, situaciones de orden p\u00fablico, etc. Con el grupo Octavo B, en el que finalmente se pudo hacer la actividad, se hab\u00eda hecho un intento previo, pero inconcluso. Varias semanas despu\u00e9s se retom\u00f3 la actividad desde el inicio, esto permiti\u00f3 disponer del tiempo necesario para hacer todas las consideraciones requeridas para que, as\u00ed, algunos estudiantes individual o grupalmente llegaran al final esperado expresando de distintas maneras la generalidad encontrada.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">\u00bfQu\u00e9 materiales se utilizaron en el proyecto?<\/strong><br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Instrumentos de mediaci\u00f3n<\/i><\/strong><br \/>\nPara el desarrollo de esta hoja de trabajo se emple\u00f3 como instrumento de mediaci\u00f3n la herramienta tecnol\u00f3gica GeoGebra. En este sentido, es importante aclarar que, aunque los estudiantes en a\u00f1os anteriores hab\u00edan tenido un acercamiento a esta herramienta, fue necesario orientar el proceso de construcci\u00f3n de los pol\u00edgonos regulares y de sus respectivas diagonales.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Instrumentos de recolecci\u00f3n<\/i><\/strong><br \/>\nLos instrumentos empleados para la recolecci\u00f3n de la informaci\u00f3n que posteriormente ser\u00edan objeto de an\u00e1lisis y reflexi\u00f3n fueron b\u00e1sicamente la hoja de trabajo resuelta por los estudiantes y algunas entrevistas con unos pocos de ellos, con las cuales se buscaba tener m\u00e1s claridad sobre los procesos de visualizaci\u00f3n y razonamiento realizados por ellos y que no pod\u00edan inferirse claramente a partir de la sola lectura de sus descripciones.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">An\u00e1lisis cualitativo<\/strong><br \/>\nAl realizar el an\u00e1lisis de la primera pregunta referente a encontrar una relaci\u00f3n matem\u00e1tica entre el n\u00famero de v\u00e9rtices o lados de un pol\u00edgono regular y el n\u00famero de diagonales trazadas desde un v\u00e9rtice, se encuentra en el grupo de estudiantes tres tipos de respuesta acordes con sus procesos de visualizaci\u00f3n, razonamiento y construcci\u00f3n.<\/p>\n<p>En primer lugar, se destacan aquellos estudiantes que solo logran describir esta variaci\u00f3n en t\u00e9rminos cualitativos, estableciendo una relaci\u00f3n horizontal, pero sin llegar a una representaci\u00f3n matem\u00e1tica que indique la correlaci\u00f3n entre las dos variables, es decir, una relaci\u00f3n vertical.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Imagen 1.<\/strong> Tabla de manejo de las dos variables del problema<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_23.jpg\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2021).<\/p>\n<p>Como se puede observar en esta respuesta, el estudiante 1 logra identificar que a mayor n\u00famero de lados se generar\u00e1 tambi\u00e9n un aumento en el n\u00famero de diagonales, adem\u00e1s, observa que el n\u00famero de diagonales va aumentando en una unidad, pero no logra enunciar una expresi\u00f3n que permita encontrar el n\u00famero de diagonales dado el n\u00famero de v\u00e9rtices.<\/p>\n<p>Hay un segundo grupo de estudiantes que logra identificar la relaci\u00f3n entre el n\u00famero de diagonales desde un v\u00e9rtice y el n\u00famero de v\u00e9rtices de un pol\u00edgono regular, logrando expresarla en lenguaje natural e incluso en una expresi\u00f3n algebraica. Sin embargo, este grupo de estudiantes recurre en sus justificaciones al empleo err\u00f3neo de un concepto estudiado en a\u00f1os anteriores, identificando que entre estas dos variables se establece una relaci\u00f3n directamente proporcional.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Imagen 2.<\/strong> Respuesta de un estudiante<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_24.jpg\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2021).<\/p>\n<p>Como se puede observar en estos dos casos, los estudiantes 2 y 3 enuncian claramente la relaci\u00f3n observada entre el n\u00famero de lados y el n\u00famero de diagonales, y logran expresarla por medio de la representaci\u00f3n algebraica n &#8211; 3, sin embargo, son recurrentes en afirmar que dicha relaci\u00f3n es directamente proporcional, demostrando con esto que dicho concepto no es muy claro para ellos.<\/p>\n<p>Finalmente, hay un tercer grupo de estudiantes que enuncia la relaci\u00f3n establecida en lenguaje natural, pero no llega a la representaci\u00f3n algebraica.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Imagen 3.<\/strong> Respuesta de un estudiante<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_25.jpg\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2021).<\/p>\n<p>Cuando se indaga a los estudiantes por una relaci\u00f3n matem\u00e1tica entre el n\u00famero de lados o v\u00e9rtices de un pol\u00edgono y el n\u00famero total de diagonales, surgen diferentes respuestas fruto de sus visualizaciones y an\u00e1lisis.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Imagen 4.<\/strong> Tabla con los resultados del conteo<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_25b.png\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2021).<\/p>\n<p>Por ejemplo, un estudiante encuentra que la diferencia entre el n\u00famero de diagonales de dos pol\u00edgonos consecutivos es equivalente al n\u00famero de lados menos 2. Adem\u00e1s, encuentra que el n\u00famero de diagonales se comporta de manera diferente si el n\u00famero de v\u00e9rtices es par o impar, y enuncia dos expresiones algebraicas sin darse cuenta de que ambas son equivalentes, ya que funcionan tanto para valores pares como impares.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Imagen 5.<\/strong> Respuesta de un estudiante<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_26.jpg\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2021).<\/p>\n<p>Hay otros estudiantes que emplearon la relaci\u00f3n obtenida entre el n\u00famero de v\u00e9rtices y n\u00famero de diagonales desde un v\u00e9rtice para encontrar el n\u00famero total de diagonales, sin embargo, a la hora de expresarlo simb\u00f3licamente omiten el par\u00e9ntesis, sin percatarse que con esto cambian el sentido de lo que quiere indicar.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Imagen 6.<\/strong> Indicar nombre<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_27.jpg\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2021).<\/p>\n<p>Hay un estudiante que propone un razonamiento muy diferente al de sus compa\u00f1eros, estableciendo, asimismo, una conexi\u00f3n con la suma de Gauss (suma de los primeros n n\u00fameros naturales) que hab\u00eda sido objeto de trabajo semanas anteriores.<\/p>\n<p>Lo que \u00e9l hace es descomponer el n\u00famero total de diagonales en una secuencia de n\u00fameros que coincide con lo que visualiza en las figuras, por ejemplo:<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Imagen 7.<\/strong> Gr\u00e1ficos del conteo que hizo un estudiante<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_28.jpg\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2021).<\/p>\n<p>Para el pent\u00e1gono observa que del v\u00e9rtice K salen dos diagonales, del v\u00e9rtice L salen otras dos diagonales, del v\u00e9rtice J sale una diagonal y que las diagonales que salen de los otros dos v\u00e9rtices no se cuentan porque ya fueron trazadas. De all\u00ed sale la secuencia de n\u00fameros 2 + 2 + 1 = 5. Siguiendo el mismo razonamiento, encuentra que la secuencia para el hex\u00e1gono es 3 + 3 + 2 + 1 = 9, y para el pent\u00e1gono 4 + 4 + 3 + 2 +1 = 14, etc. Y es aqu\u00ed en donde logra observar que para el caso del pent\u00e1gono el n\u00famero total de diagonales es la suma de los tres primeros n\u00fameros naturales menos 1, para el hex\u00e1gono ser\u00eda la suma de los cuatro primeros n\u00fameros naturales menos 1, y as\u00ed sucesivamente, logrando enunciar de la siguiente manera la relaci\u00f3n observada:<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Imagen 8.<\/strong> Un ejemplo de generalizaci\u00f3n realizado por un estudiante<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_29.jpg\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2021).<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Conclusiones<\/strong><br \/>\nLos estudiantes desempe\u00f1aron un papel muy activo en la construcci\u00f3n de su propio aprendizaje, primero entendieron el problema, despu\u00e9s exploraron con ayuda de GeoGebra, comunicaron sus ideas por la v\u00eda oral y escrita, y en la parte final participaron en el debate con todo el grupo, y en la formalizaci\u00f3n que hicieron con el apoyo y orientaci\u00f3n de los profesores.<\/p>\n<p>Las actividades de generalizaci\u00f3n de patrones num\u00e9ricos se constituyen en un medio eficiente para el desarrollo del pensamiento algebraico, ya que, adem\u00e1s de constituirse en un estimulante desaf\u00edo para los estudiantes, potencian su pensamiento anal\u00edtico y variacional, entre otros.<\/p>\n<p>El uso de recursos tecnol\u00f3gicos y aplicaciones como GeoGebra facilitan los procesos de visualizaci\u00f3n, razonamiento y construcci\u00f3n, ya que permiten centrar la atenci\u00f3n en asuntos matem\u00e1ticos m\u00e1s relevantes que la sola representaci\u00f3n.<\/p>\n<p>Como educadores matem\u00e1ticos debemos estar alerta a los patrones, razonamiento y simbolizaciones que los estudiantes proponen para reconocer su pertinencia y validez. Tampoco podemos desestimar el hecho de que nuestra propia atenci\u00f3n pueda estar fija en un patr\u00f3n que eclipse a los otros, la actividad matem\u00e1tica no puede reducirse a que el estudiante adivine cu\u00e1l es el patr\u00f3n o qu\u00e9 es lo que tiene en mente el profesor.<\/p>\n<p>En la expresi\u00f3n de la generalidad se debe admitir el uso de registros no simb\u00f3licos, sin dejar de reconocer el momento oportuno para introducir los signos y analizar las equivalencias entre las distintas expresiones encontradas.<\/p>\n<p>Las actividades de generalizaci\u00f3n no pueden constituirse en el \u00fanico camino para aproximarnos al pensamiento algebraico, necesitan ser complementadas con otras como las que se aportan en las diferentes perspectivas de aproximaci\u00f3n al \u00e1lgebra.<\/p>\n<p>En la actividad presentada en el presente art\u00edculo, los estudiantes tuvieron la oportunidad de trabajar en varios procesos centrales del pensamiento matem\u00e1tico como generalizar, encontrar patrones, modelar, comunicar ideas matem\u00e1ticas, y construir conjeturas y contraejemplos. Este tipo de actividades puede ser propuesto a los estudiantes desde los \u00faltimos a\u00f1os de ense\u00f1anza b\u00e1sica primaria.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Referencias<\/strong><br \/>\nRadford, L. (1999). El aprendizaje del uso de signos en \u00e1lgebra. Una perspectiva post vigotskiana. <i>Revista Educaci\u00f3n Matem\u00e1tica<\/i>. GEI. Diciembre de 1999.<\/p>\n<p>Bednarz N., Kieran C., Lee L. y Otros. <i>Aproximaciones al \u00c1lgebra: Perspectivas para la Investigaci\u00f3n y la Ense\u00f1anza<\/i>.<br \/>\n<\/details>\n<p>\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014<\/p>\n<details>\n<summary>\n<strong style=\"color:#F1C40F;\">Experiencia 3. El dise\u00f1o de un ambiente de aprendizaje, a partir del software GeoGebra, de los elementos de una funci\u00f3n lineal con estudiantes de grado octavo<\/strong><br \/>\n<i>Natalia Amu Mancilla, Jenny Carolina Choc\u00f3 Polo y Diana Marcela Escobar Mu\u00f1oz<\/i><\/summary>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\">Resumen<\/strong><br \/>\nEl proyecto que se presenta a continuaci\u00f3n se centrar\u00e1 en analizar el desarrollo del pensamiento algebraico en los estudiantes de octavo grado a partir de una serie de actividades en la que desarrollan el concepto de funci\u00f3n mediado con el software de GeoGebra, el cual permite a los estudiantes una exploraci\u00f3n, visualizaci\u00f3n y manipulaci\u00f3n de la relaci\u00f3n de los objetos matem\u00e1ticos con un contexto social o real. En este trabajo se realiz\u00f3 un an\u00e1lisis de las estrategias utilizadas por los estudiantes para razonar matem\u00e1ticamente y as\u00ed desarrollar de las actividades propuestas.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">\u00bfD\u00f3nde se hizo el proyecto?<\/strong><br \/>\nEl proyecto se desarroll\u00f3 en el Colegio Lawrence Kohlberg, del sur de Cali, donde funciona una \u00fanica jornada en la ma\u00f1ana con una \u00fanica sede. Es un colegio privado que fundamenta su modelo pedag\u00f3gico en el constructivismo.<\/p>\n<p>El colegio est\u00e1 ubicado en el barrio Caney, de la Comuna 17 de la ciudad de Cali. Aqu\u00ed estudian los alumnos de los grados preescolar a noveno de b\u00e1sica secundaria. La aplicaci\u00f3n del proyecto se realiz\u00f3 en el tercer periodo del a\u00f1o lectivo 2021.<\/p>\n<p>El grupo que particip\u00f3 en este proyecto estuvo conformado por los estudiantes de octavo grado de dicha instituci\u00f3n. El grupo era mixto, un 46 % ni\u00f1os y 54 % ni\u00f1as, con edades que oscilaban entre los 13 y 15 a\u00f1os. Los estudiantes de este grado ten\u00edan un nivel b\u00e1sico en el uso de computadores y bases m\u00ednimas de \u00e1lgebra; adem\u00e1s, la experiencia con el uso del software GeoGebra se quedaba en una exploraci\u00f3n m\u00ednima de construcci\u00f3n de pol\u00edgonos.<\/p>\n<p>Respecto al contexto familiar, el 60 % de los alumnos convive con familias disfuncionales, el 38 % de ellos forma parte de familias tradicionales, mientras que el 20 % corresponde a familias desplazadas.<\/p>\n<p>El 30 % de los estudiantes habita en viviendas o apartamentos propios y el 70 % vive en casas o apartamentos alquilados. En su mayor\u00eda, los estudiantes est\u00e1n cerca de la instituci\u00f3n, en las comunas 17 y 22 de Cali, que corresponden a los estratos socioecon\u00f3mico 4 y 5, es decir, gran parte de las familias tiene un empleo u otra fuente de ingresos permanente que les posibilitan un nivel de vida c\u00f3modo. Las viviendas est\u00e1n construidas en material y cuentan con los servicios b\u00e1sicos de agua potable, energ\u00eda, gas natural domiciliario e internet.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">\u00bfQu\u00e9 se hizo y por qu\u00e9?<\/strong><br \/>\nEn este art\u00edculo se condensan los resultados del proyecto, el cual consiste en el an\u00e1lisis de las estrategias utilizadas por los estudiantes para razonar matem\u00e1ticamente. Este trabajo se enmarca en el \u00e1rea del desarrollo del pensamiento algebraico. Detalladamente, se reportan las construcciones y conjeturas hechas por los estudiantes de octavo grado de la IE Lawrence Kohlberg, del sur de Cali, en un ambiente de soluci\u00f3n de problemas totalmente mediado por tecnolog\u00edas que promueve el uso de GeoGebra a trav\u00e9s de la plataforma Google Sites con el apoyo de herramientas de audio y video como YouTube, y herramientas como formulario Google que nos permite la recolecci\u00f3n de informaci\u00f3n por medio de preguntas abiertas o de selecci\u00f3n m\u00faltiple.<\/p>\n<p>En el trabajo se analizaron las actividades de aprendizaje, pero tambi\u00e9n el rol del docente en el desarrollo de estas y las estrategias usadas por los estudiantes, las cuales llevaron a los estudiantes al desarrollo de los conceptos relacionados con la funci\u00f3n lineal y sus diversas representaciones. Por ejemplo, la actividad n\u00famero dos pone en juego las tres representaciones que usamos para esta aplicaci\u00f3n, llevando al estudiante a realizar pasos entre los diferentes registros de representaci\u00f3n.<\/p>\n<p>El objetivo principal de este documento es condensar una implementaci\u00f3n did\u00e1ctica concreta en la que el docente pueda desarrollar un ambiente de aprendizaje totalmente mediado por tecnolog\u00eda que le permita a los estudiantes una participaci\u00f3n activa en la construcci\u00f3n del conocimiento, m\u00e1s precisamente en la construcci\u00f3n del objeto matem\u00e1tico funci\u00f3n lineal.<\/p>\n<p>Por lo general, cuando se introduce en el tema de funci\u00f3n lineal en el grado octavo, no se hace tan expl\u00edcita la relaci\u00f3n entre sus representaciones algebraicas, gr\u00e1fica y tabular, por lo que al estudiante le resulta complicado moverse entre registros, y termina por asimilar la f\u00f3rmula y las gr\u00e1ficas de manera mec\u00e1nica. Por esta raz\u00f3n es importante establecer una relaci\u00f3n directa entre las diversas representaciones de la funci\u00f3n lineal que le permitan al estudiante moverse entre registros, reconociendo en todos las variables que conforman el objeto matem\u00e1tico.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">\u00bfC\u00f3mo se hizo el proyecto?<\/strong><br \/>\nEl proyecto se estructur\u00f3 en dos partes: supuestos te\u00f3ricos y el dise\u00f1o metodol\u00f3gico.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Supuestos te\u00f3ricos<\/i><\/strong><br \/>\nLos supuestos te\u00f3ricos \u2012resoluci\u00f3n de problemas de matem\u00e1ticas y tecnolog\u00eda digital en educaci\u00f3n matem\u00e1tica\u2012 que sirvieron de soporte al proyecto se describen de manera concreta a continuaci\u00f3n.<\/p>\n<p><b>Resoluci\u00f3n de problemas<\/b>. P\u00f3lya (1945), en su modelo descriptivo, establece las necesidades para aprender a resolver problemas. Para este autor, el principal fin es el de ayudar a que el alumno adquiera la mayor experiencia en la tarea de resoluci\u00f3n de problemas, por lo que estableci\u00f3 cuatro fases en la resoluci\u00f3n de problemas: (a) entender el problema, (b) configurar el plan, (c) ejecutar el plan y (d) visi\u00f3n retrospectiva.<\/p>\n<p><b>Entender el problema<\/b>. Se refiere a que el estudiante pueda responderse una serie de preguntas como, por ejemplo, \u00bfentiendo todo lo que dice el problema?, \u00bfpuedo replantear el problema con mis propias palabras?, \u00bfcu\u00e1les son los datos que hacen parte del problema?, \u00bfs\u00e9 a d\u00f3nde quiere llegar?, \u00bfhay suficiente informaci\u00f3n?, \u00bfhay informaci\u00f3n que no es clara?, \u00bfes este problema similar a alg\u00fan otro que ya haya resuelto antes?<\/p>\n<p><b>Configurar el plan<\/b>. Se refiere al c\u00f3mo o qu\u00e9 estrategia va a usar el estudiante para resolver el problema. Las estrategias pueden partir desde aplicar pruebas de ensayo y error hasta plantear toda una t\u00e1ctica que le permita intentar llegar a la soluci\u00f3n del mismo.<\/p>\n<p><b>Ejecutar el plan<\/b>. Se refiere a la puesta en pr\u00e1ctica de lo que el estudiante estableci\u00f3 en la configuraci\u00f3n. Es llevar a cabo una a una las etapas planteadas. En este punto puede suceder que en un momento determinado lo que se plante\u00f3 no sea pertinente para la soluci\u00f3n del problema, por lo que habr\u00eda que replantear la estrategia y volver a comenzar. Generalmente, en la ejecuci\u00f3n se usan procesos matem\u00e1ticos que permiten darle la exactitud que requiere la soluci\u00f3n del problema.<\/p>\n<p><b>Visi\u00f3n retrospectiva<\/b>. Se refiere al poderse cuestionar sobre lo que se hizo, ver si el proceso desarrollado permiti\u00f3 en realidad resolver el problema. En este paso el estudiante debe acudir a sus procesos meta cognitivos para revisar si lo que hizo est\u00e1 bien o est\u00e1 mal y, si es necesario, replantear el proceso de resoluci\u00f3n. Las fases anteriores caracterizan, seg\u00fan P\u00f3lya (1945), al resolutor ideal. Cada fase se acompa\u00f1a de una serie de preguntas cuya intenci\u00f3n clara es actuar como gu\u00eda para la acci\u00f3n.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 1.<\/strong> Fases en la resoluci\u00f3n de problemas de P\u00f3lya<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3c_Fig1.png\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2021).<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Tecnolog\u00edas digitales en educaci\u00f3n matem\u00e1tica<\/i><\/strong><br \/>\nAnteriormente, la educaci\u00f3n estaba centrada en la alfabetizaci\u00f3n de las personas, y pretend\u00eda que los individuos memorizaran informaci\u00f3n, habilidades y pautas de comportamiento en su entorno cultural, los cuales utilizar\u00edan para toda su vida, pero estos cambios se produc\u00edan muy lentamente. Hace bastante tiempo que las matem\u00e1ticas suelen ser muy aburridas, es por esto que los estudiantes no se motivan a aprender y no saben lo maravilloso que es este mundo de las matem\u00e1ticas. Es por esto que debemos darle la oportunidad a los estudiantes de interesarse a querer aprender; para eso podemos utilizar las Tecnolog\u00edas de la Informaci\u00f3n y la Comunicaci\u00f3n, las cuales nos brindan muchos beneficios a la hora de hacer una clase y una gran ayuda fuera de ella. El prop\u00f3sito de la educaci\u00f3n con las TIC es que alcancen las competencias matem\u00e1ticas necesarias para comprender, utilizar, aplicar, comunicar conceptos y procedimientos matem\u00e1ticos. Adem\u00e1s, que a trav\u00e9s de la exploraci\u00f3n, abstracci\u00f3n, medici\u00f3n, clasificaci\u00f3n, estimaci\u00f3n y obtener resultados, que les permitan comunicarse para hacer interpretaciones y representaciones, descubren que las matem\u00e1ticas est\u00e1n relacionadas con la vida cotidiana y que esta asignatura va m\u00e1s all\u00e1 que las paredes de la sala de clase.<\/p>\n<p>El uso en particular del software GeoGebra va encaminado a su versatilidad a la hora de mezclar lo algebraico con lo geom\u00e9trico de manera simult\u00e1nea, y a lograr ver c\u00f3mo esos dos tipos de representaci\u00f3n se entrelazan para dar paso a representaciones ejecutables que consiguen desembocar en la elaboraci\u00f3n de conjeturas y la producci\u00f3n de argumentos situados. Es por esta raz\u00f3n que dicho software fue usado en la creaci\u00f3n de applet pertenecientes a las actividades.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Dise\u00f1o metodol\u00f3gico<\/i><\/strong><br \/>\nEn esta secci\u00f3n se presentan los elementos del dise\u00f1o metodol\u00f3gico que se tuvieron en cuenta durante el desarrollo de la investigaci\u00f3n en las diferentes fases: dise\u00f1o, validaci\u00f3n, uso de tecnolog\u00eda, recolecci\u00f3n y an\u00e1lisis de resultados. Las fases implementadas fueron las sugeridas en la tesis doctoral de Ben\u00edtez (2006).<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 2.<\/strong> Fases de estudio desarrolladas en el trabajo<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3c_Fig2.png\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2021).<\/p>\n<p><b>Dise\u00f1o<\/b>. En esta fase se exponen dos momentos: el primero alude a la selecci\u00f3n de actividades o problemas, los cuales ser\u00e1n estructurados a la luz de los est\u00e1ndares b\u00e1sicos de competencia en matem\u00e1tica propuestos por el Ministerio de Educaci\u00f3n Nacional (MEN, 2006) para el grado octavo de secundaria. Lo anterior posibilita realizar una prueba diagn\u00f3stica que nos permitir\u00e1 comprender qu\u00e9 conocimientos tienen los estudiantes acerca del concepto de funci\u00f3n lineal, para as\u00ed realizar el dise\u00f1o de las hojas de trabajo, lo que se consolida en un segundo momento.<\/p>\n<p><b>Validaci\u00f3n<\/b>. Una vez dise\u00f1ada la prueba diagn\u00f3stica y las hojas de trabajo, se presentaron para una revisi\u00f3n por parte del director del proyecto y de docentes que tuvieran conocimiento sobre la elaboraci\u00f3n de propuestas en las TIC y en la resoluci\u00f3n de problemas matem\u00e1ticos. Los anteriores pasos se realizaron con el fin de mejorar y elaborar hojas de trabajo que dieran cuenta de la investigaci\u00f3n objeto de estudio.<\/p>\n<p><b>Uso de tecnolog\u00eda<\/b>. Se les dio a los estudiantes unas instrucciones sobre el manejo de GeoGebra, siguiendo a Ben\u00edtez (2006). En esta fase se dio una descripci\u00f3n global del software, mostr\u00e1ndoles a los estudiantes las caracter\u00edsticas m\u00e1s importantes de GeoGebra, las funciones, los comandos principales, y la forma de operarlos en relaci\u00f3n con la vista gr\u00e1fica y la hoja de c\u00e1lculo.<\/p>\n<p><b>Recolecci\u00f3n<\/b>. Se utilizaron las hojas de trabajo y formularios Google como instrumento de recolecci\u00f3n. Algunos de los cuestionamientos estuvieron basados en un contexto realista o hipot\u00e9tico. Cabe mencionar que la propuesta de trabajo se abord\u00f3 de manera individual.<\/p>\n<p><b>Fase de procesamiento<\/b>. Luego de haber recogido la informaci\u00f3n, se procedi\u00f3 a archivarla de forma electr\u00f3nica. Se conservan los archivos electr\u00f3nicos (fotograf\u00edas y videos) tomados por los estudiantes. Una vez guardados los archivos, se desarrollaron unos formularios para realizar un an\u00e1lisis tanto cualitativo como cuantitativo. En lo cuantitativo, se emplearon las siguientes categor\u00edas: correcto e incorrecto. Referente a lo cualitativo, se utilizaron categor\u00edas de acuerdo con el tipo de recursos y estrategias utilizadas por los estudiantes participantes.<\/p>\n<p><b>An\u00e1lisis de resultados<\/b>. Una vez recogida la informaci\u00f3n, se procedi\u00f3 a analizarla con base en los desarrollos cualitativos y cuantitativos. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos, fue posible entregar la respuesta a las preguntas planteadas en la investigaci\u00f3n, las cuales marcaron el derrotero para la realizaci\u00f3n del trabajo. Por otro lado, se pudo evaluar el impacto de las actividades propuestas a los participantes en el sal\u00f3n de clase.<\/p>\n<p>En esta fase del estudio el uso de tecnolog\u00eda digital desempe\u00f1a un papel importante al interior del aula de clase, puesto que posibilita el progreso de la capacidad del estudiante para construir conjeturas.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">\u00bfCon qu\u00e9 materiales se ejecut\u00f3 el proyecto?<\/strong><br \/>\nEl material con el que se ejecut\u00f3 el proyecto fue el software de Geometr\u00eda Din\u00e1mica GeoGebra y las herramientas de Google (formularios, presentaciones, v\u00eddeos, entre otros) y el registro en video de las sesiones de clase.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">\u00bfQu\u00e9 resultados obtuvieron?<\/strong><br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Resultados de la hoja de trabajo 1 (elementos de las funciones lineales)<\/i><\/strong><br \/>\nEn este espacio se llevar\u00e1 a cabo el an\u00e1lisis a partir de los resultados obtenidos por parte de los estudiantes en el momento de desarrollar la actividad propuesta. Se har\u00e1 un an\u00e1lisis de tal forma que expondr\u00e1n apartados de la consigna presentada a los estudiantes; adem\u00e1s, se har\u00e1n comentarios en los que se identifica la aproximaci\u00f3n por parte de los estudiantes al objeto matem\u00e1tico, como tambi\u00e9n aquellas dificultades que se presentan en el momento de resolver los distintos problemas propuestos. Por otro lado, tambi\u00e9n se analizaron las diferentes gr\u00e1ficas estad\u00edsticas que se obtuvieron por parte de los resultados de los estudiantes.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Condiciones de trabajo<\/i><\/strong><br \/>\nLa hoja de trabajo se aplic\u00f3 el 27 de mayo de 2021 a 13 estudiantes (7 ni\u00f1as [53,85 %] y 6 ni\u00f1os [46,1 5%] entre 13 y 15 a\u00f1os de edad. Toda la aplicaci\u00f3n se realiz\u00f3 a trav\u00e9s de Zoom, una plataforma para hacer reuniones virtuales, as\u00ed que en un comienzo ellos deb\u00edan ir resolviendo los ejercicios en GeoGebra e ir respondiendo simult\u00e1neamente en un formulario que se encontraba ah\u00ed mismo. En las socializaciones, que se daban al final de cada actividad, los estudiantes deb\u00edan compartir por Zoom para argumentar c\u00f3mo estaban resolviendo las preguntas. Para la aplicaci\u00f3n se contaba con la participaci\u00f3n de 13 estudiantes, sin embargo, es las diferentes actividades la participaci\u00f3n tuvo variaciones. Esto sucedi\u00f3 debido a algunos problemas de internet y fallas en sus equipos. En la actividad 1 la participaci\u00f3n fue de nueve estudiantes (6 ni\u00f1as [66,7 %] y 3 ni\u00f1os [33,3 %]), en la actividad 2 fue de siete estudiantes (3 ni\u00f1os [42.8 %] y 4 ni\u00f1as [57.1 %]), en la actividad 3 fue de trece estudiantes (7 ni\u00f1as [53,85 %] y 6 ni\u00f1os [46,15 %]) y en la evaluaci\u00f3n final fue de diez estudiantes (6 ni\u00f1as [60 %] y 4 ni\u00f1os [40 %]).<\/p>\n<p>Las fases en las que se desarrollaron las actividades para la hoja de trabajo 1, en el grado octavo, se describen en la Tabla 1.<\/p>\n<div>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td><b>Fase<\/b><\/td>\n<td><b>Descripci\u00f3n<\/b><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Prueba diagn\u00f3stica<\/td>\n<td>Antes de iniciar cualquier actividad, se le present\u00f3 a los estudiantes una prueba diagn\u00f3stica con el objetivo de reconocer cu\u00e1les eran los conocimientos previos que ten\u00edan respecto al objeto matem\u00e1tico.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Videos<\/td>\n<td>Cada actividad contaba con dos v\u00eddeos introductorios para darle un acercamiento a los estudiantes sobre los conceptos en los que iban a trabajar.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Actividad 1<br \/>\nActividad 2<br \/>\nActividad 3<\/td>\n<td>Cada docente estuvo a cargo de la presentaci\u00f3n y gu\u00eda de cada actividad. Se hizo un recuento de cada actividad anterior para tomar los elementos necesarios y enfrentar cada situaci\u00f3n nueva. Solo las actividades 1 y 2 contaban con un formulario en el que los estudiantes iban registrando las respuestas a las consignas que se presentaban en cada actividad..<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Evaluaci\u00f3n final<\/td>\n<td>La evaluaci\u00f3n final se presenta en un formulario de Google con el objetivo de recoger todos los elementos aprendidos de las actividades 1, 2 y 3.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Uso de GeoGebra<\/td>\n<td>Cada actividad fue realizada en GeoGebra con diversos ejercicios propuestos en los que se hace uso de las herramientas, vistas y construcciones. En la actividad 1 los estudiantes utilizaron los deslizadores para ver los cambios que se generaban en la funci\u00f3n al cambiar su pendiente o constante. En la actividad 2 los estudiantes usaron de diversas vistas como la gr\u00e1fica y la de c\u00e1lculo. Adem\u00e1s, hicieron construcciones con herramientas como \u201cpunto\u201d, \u201crecta\u201d, \u201cpendiente\u201d, entre otras. Por \u00faltimo, en la actividad 3 los estudiantes deb\u00edan diligenciar sus respuestas dentro de la misma actividad con n\u00fameros, letras y s\u00edmbolos.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Socializaci\u00f3n<\/td>\n<td>Este proceso est\u00e1 inmerso en la actividad del uso de GeoGebra, debido a que la din\u00e1mica usada para la aplicaci\u00f3n const\u00f3 de la presentaci\u00f3n de las actividades por parte de los estudiantes, al mismo tiempo que estos iban haciendo la construcci\u00f3n con la colaboraci\u00f3n de sus compa\u00f1eros.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Institucionalizaci\u00f3n<\/td>\n<td>Esta fase tambi\u00e9n inmersa en el proceso de uso de GeoGebra, se ve reflejada cuando en medio del proceso de construcci\u00f3n los estudiantes reconocen los elementos que conforman la funci\u00f3n lineal no solo por su concepto, sino tambi\u00e9n por sus representaciones, reconoci\u00e9ndose en los tres tipos de registro.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 3.<\/strong> Inicio a la aplicaci\u00f3n de la hoja de trabajo 1<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_30.jpg\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2021).<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Prueba diagn\u00f3stica<\/strong><br \/>\nPara dar inicio a la aplicaci\u00f3n se presenta la prueba diagn\u00f3stica, dise\u00f1ada en un formulario de Google, con respuestas cortas para que los estudiantes puedan argumentar, cuyo prop\u00f3sito es comprender los conocimientos que tiene el estudiante acerca de los elementos que componen la funci\u00f3n lineal. En este primer momento se lleva a cabo la presentaci\u00f3n de la prueba diagn\u00f3stica por parte del docente utilizando la aplicaci\u00f3n Zoom para explicarle el prop\u00f3sito que ten\u00eda la prueba diagn\u00f3stica en el trabajo a realizar. Luego se les envi\u00f3 el formulario de Google a los estudiantes para que pudieran dar inicio a contestar cada una de las preguntas. La prueba diagn\u00f3stica cuenta con 12 preguntas (Anexo 1). Las seis primeras preguntas (1-6) tienen el prop\u00f3sito de saber qu\u00e9 entienden los estudiantes por los conceptos de funci\u00f3n, pendiente, recta, variable dependiente, variable independiente y punto de origen, con el fin de comprender cada uno de los conocimientos que tienen estudiantes sobre estos. Las seis \u00faltimas preguntas (7-12) tienen como finalidad que los estudiantes logren definir con sus propias palabras las caracter\u00edsticas de la funci\u00f3n lineal, sus representaciones y el paso de un lenguaje a otro. Despu\u00e9s, terminado un lapso de 10 minutos para responder el formulario, se da comienzo a realizar las actividades propuestas de la hoja de trabajo.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\"><i>An\u00e1lisis de la prueba diagn\u00f3stica<\/i><\/strong><br \/>\nPara presentar el an\u00e1lisis se tendr\u00e1 en cuenta el consolidado de respuestas correctas, incorrectas y \u201cno s\u00e9 o no me acuerdo\u201d que dieron los estudiantes. Es importante resaltar que parte de los estudiantes recurrieron a las definiciones dadas en internet y otra parte fue sincera al decir que no sab\u00eda, lo cual deja entre ver que este concepto no hace parte del andamiaje conceptual de los estudiantes.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 4.<\/strong> Consolidado de respuestas de la Prueba Diagn\u00f3stica, parte 1<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3c_Fig4.png\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2021).<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 5.<\/strong> Consolidado de respuestas de la Prueba Diagn\u00f3stica, parte 2<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3c_Fig5.png\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2021).<\/p>\n<p>Al observar los gr\u00e1ficos anteriores, notamos que el 75 % de los estudiantes (promedio de todas las preguntas) obtiene respuestas incorrectas y que no saben o no recuerdan las definiciones pedidas, sin embargo, cuando vamos a lo escrito por ellos notamos que la argumentaci\u00f3n es un proceso d\u00e9bil a pesar de que intentan explicar lo que quieren dar a entender. Por su parte, el 25 % de los estudiantes (promedio de todas las preguntas) obtiene respuestas correctas, procura tener un proceso argumentativo m\u00e1s elaborado, aunque se puede determinar que siguen teniendo falencias en la concepci\u00f3n que tienen de la funci\u00f3n lineal.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Actividad 1<\/strong><br \/>\nLa actividad 1 de la hoja de trabajo se aplic\u00f3 el 27 de mayo de 2021; esta actividad permiti\u00f3 que los estudiantes pudieran explorar sobre los elementos principales de la funci\u00f3n y qu\u00e9 cambios se generaban en la funci\u00f3n, si estos elementos var\u00edan, adem\u00e1s de la comparaci\u00f3n de varias funciones para establecer relaciones de paralelismo y perpendicularidad entre rectas. Esta actividad 1 constaba de tres ejercicios dise\u00f1ados en GeoGebra y nueve preguntas que se deb\u00edan diligenciar en un formulario (Anexo 2), las cuales estaban planteadas en el siguiente orden:<\/p>\n<ul>\n<li>Con el apoyo del Software din\u00e1mico de GeoGebra, explora con los deslizadores para ver en qu\u00e9 afecta a la funci\u00f3n las variaciones que ocurren.<\/li>\n<li>Argumenta qu\u00e9 pasa cuando la pendiente es positiva, negativa y cero.<\/li>\n<li>Argumenta qu\u00e9 pasa cuando la constante var\u00eda y qu\u00e9 relaci\u00f3n tiene con el punto de origen.<\/li>\n<li>Con el apoyo del software din\u00e1mico de GeoGebra, utiliza los deslizadores para cambiar las pendientes de dos funciones.<\/li>\n<li>Argumenta c\u00f3mo deben ser un par de funciones para que al representarlas gr\u00e1ficamente sus rectas sean paralelas.<\/li>\n<li>Argumenta c\u00f3mo deben ser un par de funciones para que al representarlas gr\u00e1ficamente sus rectas sean perpendiculares.<\/li>\n<li>Todas las preguntas deben contestarse en el formulario.<\/li>\n<li>Socializaci\u00f3n de los resultados con el docente y los pares.<\/li>\n<li>Institucionalizaci\u00f3n de resultados.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Objetivo de la actividad 1<\/i><\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Analizar c\u00f3mo comprenden y argumentan los elementos de las funciones lineales los estudiantes de octavo grado.<\/li>\n<li>Analizar c\u00f3mo determinan una relaci\u00f3n entre la pendiente y las rectas paralelas y perpendiculares.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\"><i>An\u00e1lisis actividad 1<\/i><\/strong><br \/>\nA partir de los resultados mostrados a continuaci\u00f3n y las respuestas dadas por los estudiantes en la socializaci\u00f3n se har\u00e1 el an\u00e1lisis de dos formas: an\u00e1lisis de resultados y an\u00e1lisis de socializaci\u00f3n.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\"><i>An\u00e1lisis de resultados (Actividad 1)<\/i><\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 6.<\/strong> Consolidado de respuestas de la actividad 1<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3c_Fig6.png\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2021).<\/p>\n<p>Se puede determinar que alrededor del 73 % de los estudiantes (promedio de las preguntas 1-5) tiene claridad sobre el concepto de pendiente y c\u00f3mo la variaci\u00f3n de este afecta a la funci\u00f3n, teniendo en cuenta que la variaci\u00f3n puede ser positiva, negativa o cero. Adem\u00e1s, el 56 % de los estudiantes (pregunta 8) entiende qu\u00e9 elementos debe tener un par de funciones para que sus rectas sean paralelas. Tambi\u00e9n se puede determinar que alrededor del 33 % de estudiantes (promedio preguntas 6 y 7) reconoce la relaci\u00f3n que hay entre los puntos de intersecci\u00f3n en los ejes con la constante y pendiente, y que, adem\u00e1s, solo el 22 % de los estudiantes (pregunta 9) entiende los elementos para que las rectas de dos funciones sean perpendiculares.<\/p>\n<p>Es as\u00ed como se puede ver que la mayor\u00eda de estudiantes entiende el concepto de pendiente y c\u00f3mo var\u00eda la funci\u00f3n si la pendiente es positiva, negativa o cero, pero se les dificulta a\u00fan entender qu\u00e9 papel desempe\u00f1a la constante en la funci\u00f3n y qu\u00e9 relaci\u00f3n tiene con el eje Y. Adem\u00e1s, se puede ver que entienden la relaci\u00f3n que tienen las pendientes de dos funciones para que estas sean paralelas, pero a\u00fan no tienen claridad sobre la relaci\u00f3n de las pendientes de dos funciones para que estas sean perpendiculares.<\/p>\n<p><b>An\u00e1lisis de socializaci\u00f3n (Actividad 1)<\/b>. A pesar de que en la socializaci\u00f3n la mayor\u00eda de estudiantes mostraba haber entendido tanto las preguntas como los elementos de las funciones lineales, se ve una gran dificultad para argumentar sus ideas en la parte escrita. Ellos deb\u00edan compartir sus pantallas como condici\u00f3n para iniciar las socializaciones entre pares y docentes, en las que argumentaban c\u00f3mo iban resolviendo las consignas que ah\u00ed se presentaban. Se les ped\u00eda explicaciones de por qu\u00e9 escogen una respuesta y no otra, y muchos compa\u00f1eros interven\u00edan complementando las respuestas de sus compa\u00f1eros. Todo esto fue de forma oral, d\u00e1ndoles el espacio para que pudieran escribir sus respuestas en el formulario. Mientras se hac\u00eda la socializaci\u00f3n todos parec\u00edan estar claros con las preguntas que se propon\u00edan en la actividad 1, pero no fue evidenciado en sus respuestas en el formulario.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Actividad 2<\/strong><br \/>\nLas actividades concernientes a la hoja de trabajo 2 fueron aplicadas el 27 de mayo del 2021. Esta permiti\u00f3 que los estudiantes establecieran la relaci\u00f3n entre las diferentes representaciones (tabular, gr\u00e1fica y algebraica) de la funci\u00f3n lineal. Se les presenta en un comienzo un video introductorio, despu\u00e9s una actividad compuesta de tres partes en GeoGebra y se finaliza con un formulario Google (Anexo 3), planteados en el siguiente orden:<\/p>\n<ul>\n<li>Se da apertura a la actividad 2 con un video introductorio, el cual le da al estudiante un primer acercamiento a las representaciones de la funci\u00f3n lineal, en este se explica c\u00f3mo tabular datos que est\u00e1n directamente relacionado con la gr\u00e1fica y la representaci\u00f3n algebraica de esta.<\/li>\n<li>Paso seguido, el estudiante debe desarrollar una serie de actividades de aplicaci\u00f3n con el software de GeoGebra; en la primera actividad el estudiante debe construir la gr\u00e1fica de una funci\u00f3n lineal mediante las instrucciones que se encuentran en el applet. En la segunda actividad el estudiante, por medio de la gr\u00e1fica, debe llegar a la representaci\u00f3n algebraica. Por \u00faltimo, el estudiante, a trav\u00e9s de la gr\u00e1fica y la representaci\u00f3n algebraica, debe hacer la construcci\u00f3n de la tabla de datos. Estas actividades se hicieron con la gu\u00eda de las tres docentes presentes en el momento de la aplicaci\u00f3n. Debido a que la aplicaci\u00f3n se realiz\u00f3 de manera virtual, al azar, se le pidi\u00f3 a los estudiantes presentar sus pantallas para la realizaci\u00f3n de esta actividad e ir supervisando el desarrollo de la mismas.<\/li>\n<li>Por \u00faltimo, se encuentra un formulario Google donde el estudiante debe contestar preguntas relacionadas a las construcciones anteriores, y en el cual debe identificar conceptos argumentando sus respuestas.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Objetivos de la actividad 2<\/i><\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Analizar el manejo de los recursos empleados por los estudiantes de grado octavo en los procesos de construcci\u00f3n y cambio de registro en un contexto algebraico.<\/li>\n<li>Analizar el impacto que tiene el empleo de hojas de trabajo totalmente virtuales mediadas con herramientas como YouTube, GeoGebra y Google docs.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\"><i>An\u00e1lisis de la actividad 2<\/i><\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 7.<\/strong> Consolidado de respuestas de la actividad 2<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3c_Fig7.png\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2021).<\/p>\n<p><b>Pregunta 1<\/b>. Como se observa en la gr\u00e1fica, contamos con un 42.8 % de respuestas acertadas y un 57.10 % de preguntas incorrectas. Esta pregunta pretend\u00eda mostrar si los estudiantes eran conscientes de los datos y\/o variables que hacen parte de la funci\u00f3n lineal; para evidenciarlo se les pregunt\u00f3: \u00bfQu\u00e9 elementos se necesita para graficar una funci\u00f3n en el plano cartesiano?, en principio, vemos que se obtiene por una diferencia de uno un porcentaje m\u00e1s alto en preguntas incorrectas que correctas, lo cual nos puede llevar a deducir que la intenci\u00f3n de la pregunta no fue del todo clara, a pesar de que siempre se brind\u00f3 el apoyo docente en el proceso. Cuando preguntamos al estudiante por los elementos de la funci\u00f3n gr\u00e1fica nos referimos a la pendiente, el corte con el eje \u201cy\u201d y el valor de \u201cx\u201d. Sin embargo, para los estudiantes los conceptos parecen no estar del todo claros.<\/p>\n<p><b>Pregunta 2<\/b>. Como se observa en la gr\u00e1fica, contamos con un 57.10 % de respuestas acertadas y un 42.8 % de preguntas incorrectas. Esta pregunta, al igual que la anterior, es de naturaleza abierta, aun as\u00ed no nos impide hacer una selecci\u00f3n de las preguntas correctas e incorrectas. Esta pregunta pretende visibilizar el paso entre un registro y otro, para ello, se plantea la siguiente pregunta: \u00bfQu\u00e9 elementos se necesita para graficar una funci\u00f3n en una tabla de valores? Con una notable diferencia entre la pregunta anterior y esta vemos que los estudiantes identifican con facilidad los elementos claves que permiten el cambio de registro.<\/p>\n<p><b>Pregunta 3<\/b>. Como se observa en la gr\u00e1fica, contamos con un 28.5 % de respuestas acertadas y un 71.4 % de preguntas incorrectas. Esta pregunta, de la misma naturaleza que la pregunta 1 y 2, pretend\u00eda que el estudiante identificara los elementos necesarios para la representaci\u00f3n algebraica de una funci\u00f3n, sin embargo, y a pesar de la respuesta de la pregunta anterior, esta obtuvo m\u00e1s n\u00famero de desaciertos que aciertos, la pregunta planteada fue la siguiente: \u00bfQu\u00e9 elementos se necesita para escribir una funci\u00f3n en lenguaje algebraico? De acuerdo con esto, podemos analizar que la naturaleza de la formulaci\u00f3n de la pregunta desempe\u00f1a un papel importante en el discernimiento que pueda tener el estudiante a la hora de responder, mas no es la \u00fanica hip\u00f3tesis que planteamos, ya que tambi\u00e9n aludimos esto a la poca claridad respecto a los conceptos.<\/p>\n<p><b>Pregunta 4<\/b>. Como se observa en la gr\u00e1fica, contamos con un 28.5 % de respuestas acertadas y un 71.4 % de preguntas incorrectas. En esta pregunta se le consultaba a los estudiantes si por medio de la gr\u00e1fica la tabulaci\u00f3n o la representaci\u00f3n algebraica se pod\u00eda rastrear el valor de y cuando x=4. Vemos que existe un empate entre los estudiantes que no acertaron en la respuesta y los que s\u00ed lo hicieron. En el an\u00e1lisis se toma como respuesta correcta tres de las dos opciones propuestas. Los resultados a esta pregunta se encuentran registrados en el formulario de Google que fue aplicado, y se elabora una suma de ellos, reflejada en la siguiente gr\u00e1fica.<\/p>\n<p><b>Pregunta 5<\/b>. Como se observa en la gr\u00e1fica, contamos con un 28.5 % de respuestas acertadas, un 28.5 % de respuestas sin responder y un 42.8 % de preguntas incorrectas En esta pregunta se busca hacer consciente al estudiante de los cambios de registros, la relaci\u00f3n entre estos y qu\u00e9 factores le permiten ir de un registro a otro, relacionando esta pregunta con la tercera, en la cual se obtuvo un porcentaje favorable en las respuestas. Vemos que, por el contrario, a la hora de contestar esta pregunta que los estudiantes no hacen evidente los procesos relacionados con el paso entre registros, a pesar de que en la pregunta tres parec\u00edan evidenciarlos; sin embargo, esto podr\u00eda deberse a que los estudiantes presenten dificultades para hacer expl\u00edcitos los aspectos que permiten ir de un registro a otro, como es evidente en la gr\u00e1fica, la cual muestra que el porcentaje de preguntas incorrectas y sin responder supera a las preguntas correctas.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Actividad 3<\/strong><br \/>\nLa actividad 3 de la hoja de trabajo se aplic\u00f3 el 27 de mayo de 2021. Esta actividad permiti\u00f3 que los estudiantes pudieran explorar sobre los elementos principales de la funci\u00f3n lineal, siendo uno de estos la variable dependiente, variable independiente, ecuaci\u00f3n lineal, lenguaje algebraico y el lenguaje natural o com\u00fan.<\/p>\n<p>Esta actividad 3 constaba de siete ejercicios dise\u00f1ados en GeoGebra. Antes de que los estudiantes la desarrollaran, se les pidi\u00f3 observar dos videos que les permitir\u00edan comprender mejor los temas que se abordan en la actividad propuesta. Cabe considerar que esta actividad 3 no tiene formulario, porque se quer\u00eda llegar a que los estudiantes interactuaron con el applet, con el fin de que respondiera o argumentaran directamente en la actividad. Las preguntas se respondieron entre pares de estudiantes y entre docente-estudiante.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Objetivo de la actividad 3<\/i><\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Analizar c\u00f3mo comprenden y argumentan el significado de la variable dependiente e independiente.<\/li>\n<li>Analizar c\u00f3mo comprenden los estudiantes de grado octavo el concepto de ecuaci\u00f3n lineal.<\/li>\n<li>Analizar c\u00f3mo comprenden los estudiantes de grado octavo la diferencia entre el lenguaje algebraico y el lenguaje natural o com\u00fan.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\"><i>An\u00e1lisis actividad 3<\/i><\/strong><br \/>\nEsta actividad se centra en la argumentaci\u00f3n, lo cual le permite al estudiante conjeturar. Aqu\u00ed, el estudiante va a encontrar en el applet un personaje que lo llevar\u00e1 por un recorrido para explorar en diferentes fotograf\u00edas de diferentes contextos los conceptos de variable dependiente y variable independiente, con el fin de que los estudiantes asimilen la diferencia y la relaci\u00f3n que estos dos conceptos tienen. Despu\u00e9s, se les dar\u00e1 una serie de ecuaciones lineales para que las desarrollen y coloquen los resultados. Por \u00faltimo, se quiere que los estudiantes transformen el lenguaje com\u00fan en un lenguaje algebraico.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 8.<\/strong> Consolidad de respuestas de la actividad 3<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3c_Fig8.png\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2021).<\/p>\n<p><b>Pregunta 1<\/b>. Al momento de desarrollar la actividad 3 con los estudiantes se observ\u00f3 que el 75 % de los estudiantes no ten\u00eda claridad sobre el significado del concepto variable dependiente x variable independiente, porque no ten\u00edan claridad en la argumentaci\u00f3n que establecen, mientras que el 25 % estudiantes ten\u00eda la idea, pero faltaba m\u00e1s claridad.<\/p>\n<p><b>Pregunta 2.1<\/b>. En la segunda pregunta, los estudiantes, a partir de la observaci\u00f3n, van a establecer qu\u00e9 oraci\u00f3n tiene m\u00e1s sentido, es decir, que variable depende de otra y van a se\u00f1alar la respuesta correcta. En la primera oraci\u00f3n todos los estudiantes se\u00f1alaron correctamente la respuesta, argumentando que no era posible que el peso de una persona dependiera de la estatura, porque la persona podr\u00eda pesar mucho y ser de una estatura muy bajita, por esta raz\u00f3n descartaron la primera opci\u00f3n porque no ten\u00eda sentido, mientras que en la segunda opci\u00f3n los estudiantes argumentaron que la estatura de una persona s\u00ed depende del peso, porque a partir de lo que la persona mida el peso depender\u00e1 de esta. Es por esto que se determin\u00f3 que el 100 % de estudiantes contest\u00f3 acertadamente.<\/p>\n<p><b>Pregunta 2.2<\/b>. En la segunda oraci\u00f3n los estudiantes utilizaron la misma l\u00f3gica para responder y argumentar, donde establecieron como respuesta correcta que la cantidad de leche que se obtenga depende de la cantidad de vacas que tenga. Es por esto que se determin\u00f3 que el 100 % de estudiantes contest\u00f3 acertadamente.<\/p>\n<p><b>Pregunta 2.3<\/b>. En esta oraci\u00f3n, el 92 % de los estudiantes argument\u00f3 que ambas oraciones eran correctas, porque la probabilidad de padecer c\u00e1ncer de pulm\u00f3n depende de la cantidad de cigarrillo que consuma diariamente, y tambi\u00e9n es igual que el n\u00famero de cigarrillos que consume la persona diariamente depender\u00e1 del c\u00e1ncer de pulm\u00f3n. Al observar lo anterior, los estudiantes presentan falencias en la comprensi\u00f3n lectora, ya que la pregunta hac\u00eda referencia a cu\u00e1l de las dos oraciones ten\u00eda m\u00e1s sentido, pero un 8 % de estudiante argument\u00f3 lo contrario, donde dec\u00eda que la oraci\u00f3n que ten\u00eda m\u00e1s sentido era la siguiente: la probabilidad de padecer c\u00e1ncer de pulm\u00f3n depende de la cantidad de cigarrillo que consuma diariamente la persona, donde argument\u00f3 que si una persona va al m\u00e9dico y le env\u00eda un examen (tomograf\u00eda) para ver qu\u00e9 tiene y el examen manifiesta que tiene c\u00e1ncer de pulm\u00f3n es evidente que es causado por la cantidad de cigarrillo que consuma diariamente la persona. Esta respuesta es v\u00e1lida porque, de cierta manera, comprendi\u00f3 los conceptos inmersos en el contexto y las oraciones dadas.<\/p>\n<p><b>Pregunta 3<\/b>. Cuando los estudiantes observaron las ecuaciones lineales en la imagen anterior, se not\u00f3 una gran dificultad, porque solo una estudiante pudo realizar las ecuaciones lineales presentadas dando su respectivo resultado. Se evidenci\u00f3 que el 8 % de los estudiantes pudo realizar de manera correcta las ecuaciones lineales y que el 92 % no sab\u00eda o no se acordaba c\u00f3mo se realizaban estas ecuaciones. Esto nos permiti\u00f3 comprender que gran parte de los estudiantes presenta unas falencias en la resoluci\u00f3n de un ejercicio.<\/p>\n<p><b>Pregunta 4<\/b>. Los estudiantes manifiestan algunas dificultades de comprensi\u00f3n lectora, porque en el momento de transformar el lenguaje com\u00fan al lenguaje algebraico tienen muchas dudas y errores en la comprensi\u00f3n. Dado lo anterior, con ayuda del docente, se orient\u00f3 a los estudiantes a una mejor interpretaci\u00f3n de las oraciones dados, con el fin de que los estudiantes construyeran su propio proceso de aprendizaje.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 9.<\/strong> Respuestas actividad 3, pregunta 4<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_31.jpg\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2021).<\/p>\n<p>En la imagen anterior podemos notar dos ejemplos de los errores que establecieron los estudiantes. El primero es la consigna que dice <i>\u201cel doble de un n\u00famero\u201d<\/i>. Los estudiantes dec\u00edan que se pod\u00eda representar en el lenguaje algebraico de la siguiente manera:24,2\ud835\udc65 \ud835\udc5c <sup>\ud835\udc65<\/sup>. De estas tres formas los estudiantes transformaron la oraci\u00f3n que estaba en un lenguaje com\u00fan a un lenguaje algebraico. Se puede observar que los estudiantes que dijeron que esa oraci\u00f3n queda de la forma 24 \ud835\udc5c <sup>\ud835\udc65<\/sup> tienen ciertas falencias cognitivas. Por otro lado, los estudiantes que dijeron que esa oraci\u00f3n queda de la forma 2x tienen claridad en la transformaci\u00f3n establecida.<\/p>\n<p>El segundo ejemplo es el de la consigna que dice \u201cel n\u00famero m\u00e1s su mitad\u201d. Los estudiantes dec\u00edan que se pod\u00eda representar en el lenguaje algebraico de la siguiente manera: 1\/2 \ud835\udc65 + <sup>\ud835\udc65<\/sup> &#8211; \ud835\udc5c \ud835\udc65 + . De estas dos formas los estudiantes transformaron la oraci\u00f3n que estaba en un lenguaje com\u00fan a un lenguaje algebraico. Se observa que los estudiantes que dijeron que esa oraci\u00f3n queda de la forma \ud835\udc65 + 1\/2 tienen ciertas falencias de comprensi\u00f3n lectora. Por otro lado, los estudiantes que dijeron que esa oraci\u00f3n queda de la forma \ud835\udc65 + <sup>\ud835\udc65<\/sup> tienen claridad en la transformaci\u00f3n establecida.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Evaluaci\u00f3n final<\/strong><br \/>\nPara la evaluaci\u00f3n final se hizo una prueba en un formulario de Google recopilando las preguntas que se hab\u00edan hecho en las actividades anteriores junto con la prueba diagn\u00f3stica que hab\u00edan presentado al inicio.<\/p>\n<p>La idea es poder hacer un an\u00e1lisis comparativo de \u201cc\u00f3mo llegaron\u201d los estudiantes antes de iniciar las actividades y \u201cc\u00f3mo quedaron\u201d al finalizarlas, y para ello se realiz\u00f3 la siguiente tabla que permite visualizar si los objetivos de aprendizaje inmersos en las actividades tuvieron \u00e9xito.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Tabla 2.<\/strong> Cuadro comparativo entre la Prueba Diagn\u00f3stica y la Evaluaci\u00f3n Final<\/p>\n<div>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td><b>Actividades<\/b><\/td>\n<td><b>Prueba Diagn\u00f3stica<\/b><\/td>\n<td><b>Evaluaci\u00f3n final<\/b><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><b>Actividad 1<\/b>: en esta actividad se consolida todo lo relacionado con la pendiente, constante y variable de una funci\u00f3n lineal.<\/td>\n<td>En el primer grupo de preguntas encontramos que son de naturaleza puramente conceptual, en las cuales se le pregunta al estudiante sobre qu\u00e9 es una funci\u00f3n lineal y por la naturaleza de cada uno de sus componentes. En el an\u00e1lisis de estas preguntas encontramos un total desconocimiento de estos conceptos por parte de los estudiantes.<\/td>\n<td>En la prueba final evaluamos de manera similar a la prueba diagn\u00f3stica, por tanto, en este primer \u00edtem hablamos de las preguntas de \u00edndole conceptual, en las que, a pesar de que no todos los estudiantes lograron la construcci\u00f3n del objeto matem\u00e1tico, encontramos un cambio sustancial en una buena parte de los estudiantes respecto a las concepciones correspondientes a la funci\u00f3n lineal y la naturaleza de sus componentes.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><b>Actividad 2<\/b>: en esta actividad se consolida todo lo relacionado con los diversos tipos de representaci\u00f3n de una funci\u00f3n lineal.<\/td>\n<td>El segundo grupo de preguntas tiene que ver con las representaciones de la funci\u00f3n lineal y el papel que desempe\u00f1a cada uno de los componentes de esta en las diversas representaciones. Al igual que en el grupo de preguntas anterior, encontramos que para los estudiantes no hay una relaci\u00f3n entre las representaciones o simplemente no es claro para ellos qu\u00e9 se quiere decir cuando se habla de representaciones.<\/td>\n<td>En este segundo aspecto, que est\u00e1 relacionado con las diferentes representaciones de la funci\u00f3n lineal, vemos que los estudiantes reconocen los factores fundamentales de la funci\u00f3n lineal y el papel que estos desempe\u00f1an en las representaciones y c\u00f3mo se puede pasar a diversos registros de representaci\u00f3n.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><b>Actividad 3<\/b>: en esta actividad se consolida todo lo relacionado con las variables dependientes e independientes, el paso de registros de representaci\u00f3n alrededor del lenguaje y la soluci\u00f3n de ecuaciones lineales.<\/td>\n<td>En este \u00faltimo grupo de preguntas se hace referencia al paso del lenguaje natural al algebraico, la relaci\u00f3n entre variable dependiente e independiente y la soluci\u00f3n de ecuaciones lineales. En las respuestas dadas por los estudiantes observamos que no es clara la diferencia entre lenguaje algebraico y natural, por lo que no saben c\u00f3mo saltar de un registro al otro. Tambi\u00e9n se pudo analizar que no ten\u00edan claridad sobre la relaci\u00f3n de las variables de una funci\u00f3n ni c\u00f3mo transformarlas de un lenguaje a otro.<\/td>\n<td>Este \u00faltimo grupo de preguntas, fundamental en la resoluci\u00f3n de problemas, observamos que a pesar de que en un principio los estudiantes no establec\u00edan una relaci\u00f3n entre el lenguaje natural y algebraico, vemos de una manera favorable los resultados obtenidos en este aspecto, debido a que llegaron al punto de poder argumentar por qu\u00e9 era una respuesta y no la otra. Tambi\u00e9n, la mayor\u00eda de estudiantes logr\u00f3 establecer la relaci\u00f3n entre las variables dependiente e independiente.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2021).<\/p>\n<p>Se puede notar un cambio considerable en la argumentaci\u00f3n de sus respuestas y en c\u00f3mo las abordan respecto a los formularios que hab\u00edan llenado anteriormente. A pesar de que no todos los estudiantes llegaron a establecer la relaci\u00f3n de la pendiente, constante y variables, se puede determinar que la mayor\u00eda de estudiantes s\u00ed lo logr\u00f3. Que las actividades y las herramientas de apoyo sirvieron para que el estudiante pudiera llegar a la mayor\u00eda de objetivos de la hoja de trabajo.<\/p>\n<p>Incluso, a\u00fan con sus respuestas incorrectas, hac\u00edan alusi\u00f3n a elementos de la funci\u00f3n lineal y mejor argumentadas que en los formularios pasados.<\/p>\n<p>Tambi\u00e9n podemos ver que los diversos tipos de representaci\u00f3n que tiene una funci\u00f3n fueron los conceptos m\u00e1s claros que obtuvieron y que encontraron con m\u00e1s familiaridad al representar la funci\u00f3n que al entender c\u00f3mo se compon\u00eda. Sin embargo, al momento de resolver una funci\u00f3n algebraicamente se encontraron, hasta el final, muchas falencias para despejar una ecuaci\u00f3n. Necesitaron de mucha gu\u00eda para llegar a los resultados. Adicionalmente, se evidenci\u00f3 que para las respuestas de la prueba final no tomaron informaci\u00f3n de internet, sino que fueron totalmente transparentes con lo que sab\u00edan o no.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">\u00bfCu\u00e1les son las lecciones aprendidas?<\/strong><br \/>\nUna de las lecciones aprendidas es que debido a las diversas dificultades de conectividad y de comunicaci\u00f3n existente entre los estudiantes y nosotras, quienes \u00e9ramos las encargadas de guiar la actividad, detectamos varias falencias e inconsistencias en las respuestas de los estudiantes, ya que en varias ocasiones recurrieron al internet para dar las definiciones, rest\u00e1ndole importancia al proceso llevado a cabo en la applet, lo cual nos sugiere dos cosas: la primera es que el dise\u00f1o de las tareas en la applet no fue suficiente para generar en los estudiantes un proceso cognitivo inductivo; la segunda fue que el uso del internet para dar las respuestas a significados opac\u00f3 los razonamientos a los que hubiesen podido llegar los estudiantes, ya que conceptualizaciones tan elaboradas pueden dejar m\u00e1s vac\u00edos de los esperados en el estudiante.<\/p>\n<p>Adem\u00e1s, partiendo de la recolecci\u00f3n de datos hecha en la actividad 2, observamos que en esta no todos los estudiantes alcanzaron los objetivos de aprendizaje propuestos por la misma; No obstante, cuando se hace el rastreo de estos mismos objetivos en la prueba final, la cual tiene como objetivo principal evidenciar el conglomerado de aprendizajes desarrollados a lo largo de la hoja de trabajo, fraccionada en tres actividades, encontramos que en esta las respuestas que los estudiantes constru\u00edan en relaci\u00f3n con las representaciones de la funci\u00f3n lineal eran m\u00e1s elaboradas y mejor sustentadas, reconociendo en gran parte los factores fundamentales en los diferentes registros y el rol que juega cada uno al transitar entre un registro y otro; por tanto, podr\u00edamos afirmar que los objetivos propuestos se alcanzaron de una manera parcial por parte de los estudiantes, y que es necesario repensarse la hoja de trabajo de tal manera que se puedan llenar los vac\u00edos conceptuales suscitados alrededor del objeto matem\u00e1tico, asimismo, es prudente tener en cuenta las falencias que a\u00fan, y a pesar de un a\u00f1os en la din\u00e1mica de la educaci\u00f3n virtual, persisten.<\/p>\n<p>Para finalizar, es importante tener claro varias desventajas que hay sobre las aplicaciones que se hacen totalmente en la virtualidad, debido a que debemos confiar en la disposici\u00f3n, responsabilidad y compromiso de los estudiantes para responder de manera oral o escrita, y lamentablemente no siempre se obtiene eso, ya sea porque no tienen esas actitudes o porque realmente tengan fallas en el internet o en sus equipos de trabajo, y uno debe ser flexible frente a eso, situaci\u00f3n que no se presentar\u00eda al ser presencial y tener un acompa\u00f1amiento m\u00e1s directo.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 12.<\/strong> Collage de estudiantes presentado la aplicaci\u00f3n<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_32.jpg\" hspace=\"7\" align=\"center\"><\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: elaboraci\u00f3n propia (2021).<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Referencias<\/strong><br \/>\nPolya, G. (1965). \u00bfC\u00f3mo plantear y resolver problemas de matem\u00e1ticas? <i>Trillas<\/i>.<\/p>\n<p>Ben\u00edtez, D. (2006). Formas de razonamiento que desarrollan estudiantes universitarios de primer a\u00f1o en la resoluci\u00f3n de problemas con tecnolog\u00eda digital [tesis doctoral).Departamento de Matem\u00e1tica Educativa. Cinvestav. M\u00e9xico.<br \/>\n<\/details><\/li><li class=\"tab-pane \" id=\"ert_pane1-5\"><u>Cap\u00edtulo IV<\/u><\/p>\n<details>\n<summary>\n<strong style=\"color:#B695C0;\">Experiencias significativas en educaci\u00f3n matem\u00e1tica en el nivel Universitario<\/strong><br \/>\n<i>David Ben\u00edtez Mojica, Hendel Yaker Agudelo y Henry Arley Taquez<\/i><\/summary>\n<p>&nbsp;<br \/>\nEl presente es el cuarto y \u00faltimo cap\u00edtulo de este libro. Tiene como prop\u00f3sito central presentar resultados de investigaciones en educaci\u00f3n matem\u00e1tica en el nivel superior.<\/p>\n<p>El cap\u00edtulo est\u00e1 compuesto por cuatro trabajos y en esta secci\u00f3n se hace una breve descripci\u00f3n de cada uno de ellos. Las ocho autoras de los cap\u00edtulos son profesoras de matem\u00e1ticas que trabajan en instituciones Educaci\u00f3n Superior en Colombia, Per\u00fa y Uruguay. Este hecho nos dio la oportunidad de abrir una colaboraci\u00f3n acad\u00e9mica de internacionalizaci\u00f3n en la comunidad latinoamericana.<\/p>\n<p>El primer art\u00edculo tiene por t\u00edtulo <i>Una experiencia de aprendizaje con GeoGebra classroom en formaci\u00f3n de profesores de matem\u00e1tica<\/i>. El trabajo es el resultado de una investigaci\u00f3n con futuros profesores de matem\u00e1ticas al utilizar del GeoGebra classroom para explorar y construir paralelogramos. El objetivo del art\u00edculo fue documentar un ambiente de aprendizaje donde los futuros profesores interact\u00faan con actividades de aprendizaje en las cuales pueden utilizar GeoGebra y adem\u00e1s identificar cu\u00e1les son las posibles dificultades y ventajas de su incorporaci\u00f3n.<\/p>\n<p>El segundo art\u00edculo se denomina <i>Estimaci\u00f3n del \u00e1rea del lago en forma de coraz\u00f3n una experiencia mediada por GeoGebra<\/i> tiene como objetivo analizar la implementaci\u00f3n de las hojas de trabajo dise\u00f1adas en el marco del curso C\u00e1lculo de una variable donde se promueve el desarrollo de las competencias de comunicaci\u00f3n y modelaci\u00f3n a trav\u00e9s de un problema en un contexto real.<\/p>\n<p>El objetivo  del cap\u00edtulo denominado <i>Soluci\u00f3n de un problema de optimizaci\u00f3n con ayuda de GeoGebra<\/i> fue analizar  las estrategias que utilizaron estudiantes del curso C\u00e1lculo 1 de la de una situaci\u00f3n problema dada, apoy\u00e1ndose en el software GeoGebra y sus conocimientos previos sobre geometr\u00eda, trigonometr\u00eda, f\u00edsica y c\u00e1lculo diferencial.<\/p>\n<p>El art\u00edculo denominado <i>La resoluci\u00f3n de problemas en contexto real con la mediaci\u00f3n de GeoGebra<\/i>, es el  resultado de dos proyectos de investigaci\u00f3n comparativos, uno en el nivel de la media vocacional y otro en el nivel superior. Los proyectos tienen objetivos, enfoques te\u00f3ricos, dise\u00f1os metodol\u00f3gicos y actividades de aprendizajes similares para poder establecer comparaciones. El objetivo principal de los proyectos es documentar el impacto que tiene el uso sistem\u00e1tico de la tecnolog\u00eda computacional en la resoluci\u00f3n de problemas en contexto real con la mediaci\u00f3n de GeoGebra.<br \/>\n<\/details>\n<p>\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014<\/p>\n<details>\n<summary>\n<strong style=\"color:#F1C40F;\">Experiencia 1. Una experiencia de aprendizaje con Geogebra Classroom en formaci\u00f3n de profesores de matem\u00e1tica<\/strong><br \/>\n<i>Elena Freire-Gard, Cintya Gonzales Hern\u00e1ndez y Oneida Quiroga Gonz\u00e1lez <\/i><\/summary>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\">Resumen<\/strong><br \/>\nEste art\u00edculo reporta una primera experiencia de aprendizaje de futuros profesores de matem\u00e1tica al utilizar un applet de GeoGebra para explorar y construir paralelogramos. El objetivo de su implementaci\u00f3n fue posibilitar a futuros profesores vivenciar desde dos roles simult\u00e1neamente (el del estudiante y del profesor) qu\u00e9 ocurre al utilizar un software de geometr\u00eda din\u00e1mica como GeoGebra y adem\u00e1s identificar cu\u00e1les son las posibles dificultades y ventajas de su incorporaci\u00f3n. Los futuros profesores, en primera instancia, analizaron la funcionalidad del instrumento, exploraron las herramientas e intercambiaron ideas y presentaron diferentes estrategias de construcci\u00f3n. Se concluye que la experimentaci\u00f3n permiti\u00f3 que los futuros profesores descubrieran las posibilidades que ofrece el software de geometr\u00eda din\u00e1mica y a la vez pudieran darse cuenta de los posibles inconvenientes que pueden surgir y las preguntas que podr\u00edan hacer sus estudiantes.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">\u00bfD\u00f3nde se hizo el proyecto? <\/strong><br \/>\nLa instituci\u00f3n educativa donde se realiz\u00f3 la experiencia de aula fue el Instituto de Profesores Artigas en Montevideo (Uruguay), instituci\u00f3n p\u00fablica de nivel terciario que forma a los futuros profesores de Ense\u00f1anza Media. Esta Instituci\u00f3n tiene m\u00e1s de 5000 estudiantes. En Uruguay, la Ense\u00f1anza Media o Educaci\u00f3n Secundaria consta de 6 a\u00f1os, los primeros tres a\u00f1os se le llama Educaci\u00f3n Media B\u00e1sica, y son de car\u00e1cter obligatorio, los \u00faltimos tres a\u00f1os se denominan Bachillerato. La formaci\u00f3n de profesores en Uruguay tiene una duraci\u00f3n de cuatro a\u00f1os. El requisito para que los estudiantes ingresen al plan de estudios de formaci\u00f3n de profesores es tener aprobado bachillerato. Las edades de los estudiantes son muy variadas (18-59 a\u00f1os), en algunos casos quienes se inscriben en dicha formaci\u00f3n reci\u00e9n han egresado como bachilleres, en otros casos ya han transitado por otras universidades o han culminado otras carreras universitarias.<\/p>\n<p>La formaci\u00f3n de profesores incluye en su plan de formaci\u00f3n tres dimensiones: una pedag\u00f3gica de formaci\u00f3n general, otra espec\u00edfica de la asignatura para la que se forma el futuro profesor y formaci\u00f3n did\u00e1ctica que se acompa\u00f1a con la pr\u00e1ctica docente. Presenta tres cursos anuales de did\u00e1ctica: Did\u00e1ctica I, Did\u00e1ctica II y Did\u00e1ctica III. Particularmente la experiencia que se realiz\u00f3 fue en un curso de Did\u00e1ctica II de formaci\u00f3n de profesores de matem\u00e1tica que corresponde al 3er a\u00f1o de formaci\u00f3n docente. La carga horaria es de 2 horas semanales y la pr\u00e1ctica docente tiene 5 horas de clase de 45 minutos cada una. Cuando la experiencia fue realizada correspondi\u00f3 a una primera clase de Did\u00e1ctica II en un contexto de Pandemia en que las clases se estaban dando en forma virtual. Particularmente la profesora formadora dio sus clases por videoconferencia por Zoom y a la vez trabaj\u00f3 con una plataforma virtual Schoology del Consejo de Formaci\u00f3n en Educaci\u00f3n.<\/p>\n<p>El grupo donde se describe la investigaci\u00f3n est\u00e1 conformado por cuatro estudiantes, dos de ellos con bachillerato aprobado, y otros dos estudiantes tienen carreras universitarias culminadas. Uno de los futuros profesores es arquitecto de profesi\u00f3n, con ocho a\u00f1os de experiencia dando clases de matem\u00e1ticas, otro es ingeniero en electr\u00f3nica, sin grupos a cargo de educaci\u00f3n secundaria. Los otros dos futuros profesores tampoco tienen grupo a cargo, ni lo han tenido hasta el momento. La profesora formadora del curso es la primera autora de este art\u00edculo. En su labor, realiza tambi\u00e9n al menos tres visitas de aula al futuro profesor para observar su desempe\u00f1o al realizar la pr\u00e1ctica docente. Este hecho motiv\u00f3 esta experiencia para ofrecerles una oportunidad de mejorar las pr\u00e1cticas de ense\u00f1anza de la matem\u00e1tica en la virtualidad.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">\u00bfQu\u00e9 se hizo y por qu\u00e9? <\/strong><br \/>\nEl aprendizaje de las matem\u00e1ticas se ha visto favorecido por las posibilidades que ofrecen las Tecnolog\u00edas Digitales para su ense\u00f1anza (Artigue, 2015, 2016; Drijvers et al., 2016). Entre los beneficios que han sido identificados, Shieh y Yu (2016) encontraron que estos instrumentos permiten desarrollar el pensamiento reflexivo, el trabajo interpersonal y tambi\u00e9n la cooperaci\u00f3n entre estudiantes como sugiere Artigue (2016). Asimismo, a pesar de las posibilidades que ofrecen los recursos tecnol\u00f3gicos para ense\u00f1ar, se han observado dificultades para concretar su uso en la clase de matem\u00e1ticas (Carmona y Villa Ochoa, 2019). En los hechos, ha ocurrido que algunos docentes no logran concretar su inclusi\u00f3n en el aula, pues no se sienten capacitados para utilizar software espec\u00edficos para ense\u00f1ar matem\u00e1tica (Padilla, 2020). Tal vez uno de los motivos que impide a los profesores aprovechar la potencialidad de las Tecnolog\u00edas Digitales en la ense\u00f1anza de la matem\u00e1tica, sea la dificultad que implica incluir recursos tecnol\u00f3gicos en el aula (Healy y Lagrange, 2010). Otros autores (Artigue, 2014; Farf\u00e1n, 2015; T\u00e9liz, 2015, Kafyulilo y Tilya, 2018) han dado cuenta que a pesar de que los recursos tecnol\u00f3gicos son incluidos en el aula se observan reproducciones de clases tradicionales. Sin embargo, Borba y Villarreal (2006) reconocen que es posible lograr metodolog\u00edas de ense\u00f1anza de indagaci\u00f3n que involucran la exploraci\u00f3n y deducci\u00f3n por parte de los estudiantes.<\/p>\n<p>En el contexto de la Pandemia mundial generado por el COVID-19 se hace imperioso incluir recursos tecnol\u00f3gicos para ense\u00f1ar matem\u00e1ticas. Sin embargo, es necesario que el profesor tome conciencia que la ense\u00f1anza virtual es diferente a la ense\u00f1anza presencial y que esta requiere de aprendizaje tanto para el profesor como para los estudiantes (Hodges et al., 2020). Por ello, es necesario considerar y aprovechar los beneficios que pueden brindar las tecnolog\u00edas para ense\u00f1ar matem\u00e1tica, ya que estos recursos permiten abarcar diferentes niveles de aprendizaje e incluir actividades con diferentes grados de dificultad. Adicionalmente, el software GeoGebra ofrece al usuario la posibilidad de utilizar en forma simult\u00e1nea diversos registros de representaci\u00f3n (tabular, gr\u00e1fica, verbal y simb\u00f3lica), los mismos favorecen la comprensi\u00f3n de los conceptos matem\u00e1ticos que se trabajan. Cabe tomar en cuenta que \u201cla actividad matem\u00e1tica requiere una coordinaci\u00f3n interna, que ha de ser construida entre los diversos sistemas de representaci\u00f3n que pueden ser elegidos y usados\u201d (Duval, 2006, p. 145).<\/p>\n<p>Algunos beneficios del uso del software de geometr\u00eda din\u00e1mica GeoGebra son explicitados por Carrillo (2019). Entre ellos, este autor destaca \u201cla mejora de los m\u00e9todos de exposici\u00f3n del profesor, aumenta la interacci\u00f3n del estudiante con conceptos matem\u00e1ticos, es un software libre, es multiplataforma y multidispositivo\u201d (Carrillo, 2019, p. 53). Por otra parte, Carrillo manifest\u00f3 que el rol docente necesita transformarse a partir de introducir modificaciones en la gesti\u00f3n del aula y tambi\u00e9n en el proceso de ense\u00f1anza de las matem\u00e1ticas. Posiblemente si el rol del docente es facilitador para el aprendizaje de sus estudiantes, estos puedan incorporar actitudes de indagaci\u00f3n y exploraci\u00f3n al resolver problemas matem\u00e1ticos. En este sentido es que el software GeoGebra permitir\u00e1 a los estudiantes intervenir en actividades que le generen mayor protagonismo y de esta forma les posibilitar\u00e1 hacer matem\u00e1tica.<\/p>\n<p>Asimismo, entre otras de las ventajas de usar el software de geometr\u00eda din\u00e1mica GeoGebra, Sandoval y Moreno (2012) identifican como un aporte que ofrece la \u201crepresentaci\u00f3n din\u00e1mica en la cual las propiedades geom\u00e9tricas permanecen inalterables cuando los objetos se deforman seg\u00fan el arrastre\u201d (p. 22). Estos autores coinciden en que la posibilidad din\u00e1mica posibilita la experimentaci\u00f3n de los estudiantes que les permite descubrir e internalizar lo que aprenden. A su vez, cuando el estudiante visualiza mediante el software diferentes construcciones y hace intervenir las propiedades de las figuras geom\u00e9tricas, va enriqueciendo las im\u00e1genes mentales sobre los objetos geom\u00e9tricos (Vinner, 1991). Otro de los aspectos que destacan estos autores al incluir GeoGebra es que \u201cel razonamiento geom\u00e9trico puede verse enriquecido por las formas de argumentaci\u00f3n que se hacen viables al acercar la percepci\u00f3n y el razonamiento\u201d (Sandoval y Moreno, 2012, p. 23)<\/p>\n<p>Tambi\u00e9n, es necesario considerar la importancia de involucrar a los futuros profesores en procesos activos de aprendizaje, para que ellos puedan desarrollar estas modalidades de ense\u00f1anza. En este sentido, De Guzm\u00e1n (2007) sugiri\u00f3 que el alumno vivencie \u201cun proceso semejante al seguido en la creaci\u00f3n de las ideas matem\u00e1ticas\u201d (p. 29), en forma similar a lo que lo hicieron los matem\u00e1ticos al enfrentarse a nuevos problemas.<\/p>\n<p>En consideraci\u00f3n a los aportes anteriores en este art\u00edculo nos proponemos como objetivo: analizar el proceso de g\u00e9nesis instrumental que vivencian cuatro futuros profesores de matem\u00e1ticas que cursan Did\u00e1ctica II al experimentar el uso de un applet dise\u00f1ado con GeoGebra al construir paralelogramos.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Los conocimientos previos de los Futuros profesores caso de estudio<\/i><\/strong><br \/>\nCon el fin de indagar sobre los conocimientos previos de los futuros profesores se aplic\u00f3 un cuestionario. El mismo fue realizado en Google forms y fue respondido al comienzo de la primera clase de Did\u00e1ctica II. Los datos obtenidos en el cuestionario evidenciaron que no se hab\u00edan desarrollado los conocimientos de los futuros profesores referentes a la implementaci\u00f3n de los recursos tecnol\u00f3gicos para ense\u00f1ar matem\u00e1tica. El uso real que efectivamente implementaron en su pr\u00e1ctica docente estaba restringido a temas puntuales o ejemplos concretos.<\/p>\n<p>En particular, los 4 estudiantes que comenzaron el curso en marzo de 2021 ninguno hab\u00eda tenido experiencia previa en ense\u00f1anza virtual. Ni siquiera hab\u00edan cursado Did\u00e1ctica en el a\u00f1o 2020, cuesti\u00f3n que hubiera sido un primer antecedente de experiencia sobre el uso de recursos tecnol\u00f3gicos.<\/p>\n<p>Los datos que se identificaron a partir de las respuestas de los futuros profesores fueron muy dis\u00edmiles. El estudiante 1 (FP1), arquitecto de profesi\u00f3n, con 8 a\u00f1os de experiencia dando clases, expres\u00f3 que hab\u00eda usado \u201cdeslizadores, rastro, muy \u00fatil para trabajar lugares geom\u00e9tricos\u201d y en la \u201cvariaci\u00f3n de la pendiente de la gr\u00e1fica de una funci\u00f3n lineal y variaci\u00f3n de una recta tangente al gr\u00e1fico de una funci\u00f3n\u201d. Un segundo estudiante de profesorado (FP2), ingeniero en electr\u00f3nica de profesi\u00f3n, expres\u00f3 que \u201ccomo practicante\u201d us\u00f3 recursos tecnol\u00f3gicos \u201cpara desarrollos de poliedros y tarjetas de juegos que luego produjo en cartulina\u201d y manifest\u00f3 ser \u201cun autodidacta en casi todas las herramientas de uso virtual\u201d. Un tercer estudiante (FP3) indic\u00f3 haber usado recursos digitales en \u201clugares geom\u00e9tricos y funciones\u201d. Finalmente, un cuarto estudiante de profesorado (FP4) us\u00f3 estos recursos en \u201cla pr\u00e1ctica docente en el tema ecuaciones de la recta y sistema de ecuaciones\u201d. Estas respuestas muestran visiones muy fragmentadas del uso de un recurso de geometr\u00eda din\u00e1mica como GeoGebra.<\/p>\n<p>Sin embargo, cuando se les pregunt\u00f3 \u00bfcu\u00e1les fueron los recursos que incluyeron en su pr\u00e1ctica docente? especificaron: \u201cproyector\u201d, \u201ccalculadora, GeoGebra (para graficar rectas, observar corte entre rectas\u2026)\u201d (FP4), \u201cel pizarr\u00f3n, juegos de mesa, materiales de mi propia elaboraci\u00f3n, ThatQuiz\u201d (FP2), \u201csolo en la sala de inform\u00e1tica ya que no dispon\u00eda de computadoras, utilic\u00e9 GeoGebra para trabajar lugar geom\u00e9trico\u201d (FP3). Estas respuestas nos hacen pensar sobre el poco uso de los recursos tecnol\u00f3gicos por parte de los futuros profesores en su pr\u00e1ctica docente.<\/p>\n<p>A su vez, al indagar sobre las percepciones que los futuros docentes ten\u00edan de las tecnolog\u00edas digitales para ense\u00f1ar matem\u00e1tica se encontr\u00f3 que: \u201cpuede ser un factor de motivaci\u00f3n para los alumnos, me gustar\u00eda hacer alguna capacitaci\u00f3n y de esta forma poder implementarla de formas adecuadas\u201d (FP1), \u201cme resultan atractivas y creo que est\u00e1n en buena sinton\u00eda con los intereses de los estudiantes actuales, que han crecido junto con las tecnolog\u00edas de la informaci\u00f3n\u201d, \u201cconsidero que son \u00fatiles para visualizar, [\u2026] y que tendr\u00edan que tener un papel importante en los cursos de educaci\u00f3n secundaria, [\u2026] son buenos soportes para la experimentaci\u00f3n e indagaci\u00f3n\u201d (E4); pero a la vez identifican \u201cproblemas de infraestructura de aula no siempre acordes con el uso de tecnolog\u00eda\u201d (FP2).<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Metodolog\u00eda de trabajo<\/i><\/strong><br \/>\nEsta investigaci\u00f3n es de corte cualitativo y se basa en un estudio de caso. El caso de estudio est\u00e1 integrado por cuatro futuros profesores que cursan Did\u00e1ctica II en el 3er a\u00f1o de formaci\u00f3n de Profesores de matem\u00e1ticas de una Instituci\u00f3n Educativa p\u00fablica de nivel terciario en Uruguay. El aprendizaje del rol de profesor se produce en forma conjunta con la pr\u00e1ctica docente y el curso te\u00f3rico de Did\u00e1ctica. A su vez el profesor formador va a observar la pr\u00e1ctica del futuro docente a fin de ver c\u00f3mo se va moldeando el futuro rol docente.<\/p>\n<p>El enfoque cualitativo que se ha considerado permite \u201cdescribir, comprender e interpretar los fen\u00f3menos, a trav\u00e9s de las percepciones y significados producidos por las experiencias de los participantes\u201d (Hern\u00e1ndez Sampieri et al., 2014, p. 11). Asimismo, se busca explorar los fen\u00f3menos \u201cdesde la perspectiva de los participantes en un ambiente natural y en relaci\u00f3n con su contexto\u201d (Hern\u00e1ndez Sampieri, 2014, p. 358). Se incluye un estudio de caso en que la muestra es una sola unidad de an\u00e1lisis, \u201clos estudios de caso son utilizados para investigar cuestiones de aprendizaje de estudiantes, as\u00ed como el conocimiento y las pr\u00e1cticas profesionales de profesores&#8230;\u201d (Ponte, 2006, p. 3).<\/p>\n<p>Los instrumentos utilizados para recabar datos fueron: cuestionario en Google forms, <i>applet<\/i> creado en GeoGebra, alojado en la plataforma (<www.geogebra.org>), grabaci\u00f3n de clases de did\u00e1ctica, archivos enviados por los estudiantes como registro escrito de la actividad realizada con GeoGebra.<\/www.geogebra.org><\/p>\n<p>Una de las investigadoras (primera autora de este art\u00edculo) cumple un doble rol, el de ser profesora formadora de los futuros profesores, caso de estudio, y a la vez investigadora.<\/p>\n<p>En la primera clase de Did\u00e1ctica dada por videoconferencia por Zoom, la profesora formadora propuso a los estudiantes un cuestionario para indagar sobre los conocimientos previos del uso de los recursos tecnol\u00f3gicos para ense\u00f1ar matem\u00e1tica. Algunas de las preguntas buscaron triangular las respuestas que dieron los futuros profesores respecto de la implementaci\u00f3n efectiva en la pr\u00e1ctica docente de los recursos tecnol\u00f3gicos. En segundo lugar, se envi\u00f3 por chat de Zoom el link para que los propios estudiantes pudieran acceder al applet creado con GeoGebra, alojado en la plataforma <www.geogebra.org>. Luego se mostr\u00f3 a los futuros profesores c\u00f3mo crear una clase haciendo uso de GeoGebra Classroom. El motivo fue mostrar a los futuros profesores un recurso para que puedan implementarlo en su pr\u00e1ctica docente y a la vez, experimentar desde el rol del estudiante la resoluci\u00f3n de las actividades. Los futuros profesores deb\u00edan indagar y resolver las actividades del <i>applet<\/i>. A medida que iban avanzando se les mostr\u00f3 c\u00f3mo puede observar el profesor el avance de sus alumnos. En la misma videoconferencia se busc\u00f3 generar interacci\u00f3n entre los futuros profesores y darles la oportunidad de vivenciar lo que experimentar\u00eda un estudiante de educaci\u00f3n secundaria al realizar la actividad. Cada estudiante mostr\u00f3 las dudas, inconvenientes y avances en las tareas, e intercambi\u00f3 aportes sobre el uso de las diferentes herramientas de GeoGebra. Finalmente se sugiri\u00f3 pensar mejoras para el <i>applet<\/i>. A la vez cada futuro profesor registr\u00f3 en un documento que debieron enviar a la plataforma virtual del curso para documentar la experimentaci\u00f3n realizada con GeoGebra.<\/www.geogebra.org><\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">\u00bfC\u00f3mo se hizo el proyecto?<\/strong><br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Marco Te\u00f3rico<\/i><\/strong><br \/>\nLa incorporaci\u00f3n de los diferentes recursos digitales requiere dos aprendizajes; el uso del recurso y la forma de incorporaci\u00f3n en la pr\u00e1ctica. De acuerdo con Pepin et al. (2017) los diferentes usos que puede lograr un profesor al utilizar los recursos digitales en su clase, influyen en la forma de ense\u00f1ar. Cuando un profesor hace uso de los recursos digitales hay factores claves que debe considerar entre los que se destacan: los objetivos de ense\u00f1anza, la metodolog\u00eda de uso, el rol del docente al intervenir y el rol de los estudiantes al resolver las actividades.<\/p>\n<p>Para que un profesor incorpore la tecnolog\u00eda en el aula de matem\u00e1tica con un sentido did\u00e1ctico no es suficiente el conocimiento tecnol\u00f3gico del recurso. Trouche (2004) se refiere a la \u201cg\u00e9nesis instrumental\u201d como un proceso de construcci\u00f3n progresiva en el uso de un recurso tecnol\u00f3gico. El conocimiento de un \u201cartefacto\u201d no es suficiente para concretar objetivos espec\u00edficos en la ense\u00f1anza de la matem\u00e1tica, sino que es necesario que el profesor (o futuro profesor) aprenda el uso espec\u00edfico de estos recursos para poder incorporarlos en el proceso de ense\u00f1anza. Rabardel (1995) identific\u00f3 dos procesos para lograr la \u201cg\u00e9nesis instrumental\u201d: <i>instrumentalizaci\u00f3n<\/i> e <i>instrumentaci\u00f3n<\/i>. En primer lugar, el profesor necesitar\u00e1 elegir un recurso, conocer su funcionamiento y cu\u00e1les son las actividades que puede realizar con el mismo, este primer proceso es el de <i>instrumentalizaci\u00f3n<\/i>. Para ello comenzar\u00e1 a imaginar una posible implementaci\u00f3n del recurso. Luego pasar\u00e1 al proceso de <i>instrumentaci\u00f3n<\/i> que se refiere a la manera en que es utilizado el recurso al implementarlo para la ense\u00f1anza de la matem\u00e1tica. La modalidad de implementaci\u00f3n de los recursos se transforma por medio de los \u201cesquemas de uso\u201d que desarrolla el profesor al utilizarlos en su propia pr\u00e1ctica y estos le ayudan a desarrollar la potencialidad que los recursos tecnol\u00f3gicos ofrecen para el aprendizaje.<\/p>\n<p>La noci\u00f3n de <i>esquemas de uso<\/i> se origina a partir del concepto \u201cesquema\u201d propuesto por Vergnaud (1998). Frente a un conjunto de actividades con el mismo objetivo el profesor desarrolla y determina el esquema de uso que incluye: 1) el objetivo de la actividad; 2) las reglas de acci\u00f3n, de recuperaci\u00f3n de informaci\u00f3n y de control; 3) invariantes operativas y 4) posibilidades de adaptaci\u00f3n a las diferentes \u201csituaciones\u201d. Esto quiere decir que un <i>esquema de uso de un recurso<\/i> se relaciona con la manera en que el profesor lo implementa en su pr\u00e1ctica docente.<\/p>\n<p>Para Parra y Guedet (2019) un recurso es \u201ctodo aquello que puede originarse de las pr\u00e1cticas de los profesores\u201d (p. 6). El concepto que retoma Trouche et al. (2020) sobre los <i>recursos curriculares<\/i> se refiere a la propuesta de Pepin et al. (2017) quienes identificaron que \u201cson todos los recursos desarrollados y usados por profesores y alumnos en su interacci\u00f3n con las matem\u00e1ticas en y para la ense\u00f1anza y el aprendizaje, dentro y fuera del aula\u201d (citado en Trouche et al., 2020, p. 4). Pepin et al. (2017) identifican que los <i>recursos digitales<\/i> tambi\u00e9n son recursos curriculares.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Hoja de trabajo<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Tabla 1.<\/strong> Contenido tem\u00e1tico de la clase, materiales y recursos utilizados<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td colspan=\"3\">Curso Did\u00e1ctica II   Nivel: 3er a\u00f1o de formaci\u00f3n docente  Fecha: marzo de 2021<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Unidad 1: Planificaci\u00f3n de aula<\/td>\n<td>Tema: Uso de recursos tecnol\u00f3gicos para ense\u00f1ar matem\u00e1tica<\/td>\n<td>Subtema: paralelogramos<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Hoja de trabajo 1<br \/>\nModalidad de ense\u00f1anza virtual, videoconferencia por Zoom. Se graba la sesi\u00f3n y se comparte con los estudiantes.<br \/>\nMetodolog\u00eda:<br \/>\nmomento 1: trabajo individual<br \/>\nmomento 2: trabajo colaborativo<\/td>\n<td>Materiales:<br \/>\n\u25cf Cuestionario diagn\u00f3stico<br \/>\n\u25cf Ficha de trabajo para el applet<br \/>\n\u25cf R\u00fabrica de evaluaci\u00f3n<br \/>\nApplet disponible en <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/bqrkyhqb\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/www.geogebra.org\/m\/bqrkyhqb<\/a><br \/>\nGeoGebra classroom con el siguiente c\u00f3digo https:\/\/www.geogebra.org\/classroom\/zxs6bpc2<\/td>\n<td>Recursos:<br \/>\n\u25cf Software de geometr\u00eda din\u00e1mica GeoGebra<br \/>\n\u25cf GeoGebra Classroom<br \/>\n\u25cf Internet<br \/>\n\u25cf Computadora port\u00e1til<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Tiempo de implementaci\u00f3n: 2 horas reloj<\/td>\n<td>Actividad domiciliaria: completar y entregar en la plataforma virtual la ficha de trabajo que acompa\u00f1a el applet.<\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Fases de la experiencia<br \/>\n<\/strong><br \/>\nLa experiencia se desarroll\u00f3 en diferentes fases mediante videoconferencia realizada por Zoom en la que los futuros profesores comparten avances y muestran lo que van realizando:<\/p>\n<p><strong>a) Inicio<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Presentaci\u00f3n del <i>applet<\/i>, comprensi\u00f3n del enunciado y an\u00e1lisis del uso de las herramientas que se incluyen.<\/li>\n<li>Creaci\u00f3n de la clase virtual utilizando GeoGebra Classroom.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>b) Desarrollo<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>Exploraci\u00f3n individual de cada estudiante.<\/li>\n<li>Muestra de logros a partir de la presentaci\u00f3n de las construcciones individuales.<\/li>\n<li>Prueba de arrastre y an\u00e1lisis de conservaci\u00f3n de las propiedades del paralelogramo o en su defecto fundamentaci\u00f3n que provoca no conservarlas.<\/li>\n<li>Socializaci\u00f3n de los procedimientos realizados.<\/li>\n<li>Intercambio de ideas, procedimientos o inconvenientes.<\/li>\n<li>Muestra de la visualizaci\u00f3n de GeoGebra Classroom desde el rol del profesor, identificaci\u00f3n de los beneficios de su uso.<\/li>\n<li>Trabajo colaborativo para superar obst\u00e1culos en la resoluci\u00f3n de las actividades.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">\u00bfCon qu\u00e9 materiales se ejecut\u00f3 el proyecto?<\/strong><br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Materiales de trabajo<\/i> <\/strong><\/p>\n<p><strong>Actividad 1. Primera parte<\/strong><\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td>\nEn el siguiente applet se ha construido un paralelogramo. Las longitudes de los lados est\u00e1n dadas a partir de dos par\u00e1metros &#8220;a&#8221; y &#8220;b&#8221;.<br \/>\ni) Elige tres valores del par\u00e1metro &#8220;a&#8221;, observa los paralelogramos obtenidos y analiza si tienen alguna similitud. Realiza captura de pantalla de los tres paralelogramos obtenidos, y pega dichas im\u00e1genes en un archivo Word con tu nombre. Escribe y muestra cu\u00e1les son las similitudes, ayud\u00e1ndote del applet.<br \/>\nii) Repite el razonamiento anterior, pero al cambiar el valor del par\u00e1metro &#8220;b&#8221;.<br \/>\niii) Plantea una conclusi\u00f3n.<br \/>\n<strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 1.<\/strong> El applet de la actividad 1, primera parte del applet<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Luego de esta primera actividad se incluy\u00f3 una pregunta que se observa en la siguiente imagen (Figura 2).<br \/>\n<strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 2.<\/strong> Pregunta asociada a la parte 1 del applet.<\/p>\n<p>A la vez se anex\u00f3 una ficha de trabajo en el propio applet para que los futuros profesores hagan el registro de lo trabajado (Anexo 1). Cabe considerar que GeoGebra permite generar un c\u00f3digo QR adem\u00e1s de un link de acceso a la misma (https:\/\/www.geogebra.org\/m\/bqrkyhqb) (ver Figura 3)<br \/>\n<strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 3.<\/strong> Ficha anexa en el applet y c\u00f3digo QR que se puede generar<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td>Luego de analizar 3 posiciones de cada par\u00e1metro. Sube en la plataforma del curso, las im\u00e1genes con tu nombre y conclusi\u00f3n. \u00bfCu\u00e1l ha sido t\u00fa conclusi\u00f3n? \u00bfPor qu\u00e9?<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>En una segunda parte es el estudiante quien tiene que realizar la construcci\u00f3n de un paralelogramo al utilizar las herramientas que se incluyeron en el applet.<\/p>\n<p>Segunda Parte. Para esta segunda parte se personaliz\u00f3 la barra de herramientas, esto quiere decir que se restringi\u00f3 el acceso a determinados comandos con la intenci\u00f3n de no confundir a los estudiantes con demasiadas opciones de b\u00fasqueda. Por ejemplo, se puso la opci\u00f3n de circunferencia conocido el centro y un punto de ella y circunferencia conocido un punto y el radio. En el applet se adjunt\u00f3 un archivo con algunas instrucciones, como por ejemplo realizar captura de pantalla para tres valores del par\u00e1metro, especificar los pasos de construcci\u00f3n de la figura de la parte 2, copiar una imagen de la figura obtenida y algunas preguntas con retroalimentaci\u00f3n V o F.<\/p>\n<p>En espec\u00edfico el enunciado de la actividad incluida en el applet es el que figura en la siguiente imagen (ver Figura 4).<br \/>\n<strong>Enunciado<\/strong><\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td>Ahora te toca hacer la construcci\u00f3n de un paralelogramo ABCD<br \/>\nUtiliza las herramientas de la barra superior del applet para realizar los trazados necesarios para construir un paralelogramo ABCD.<br \/>\nMueve uno de los v\u00e9rtices. \u00bfEl cuadril\u00e1tero obtenido contin\u00faa siendo un paralelogramo? \u00bfPor qu\u00e9?<br \/>\n<strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 4.<\/strong> Enunciado de la construcci\u00f3n del paralelogramo. En la parte superior del rect\u00e1ngulo se muestra la barra de herramientas personalizada<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Para reflexionar, si la figura construida conserva el arrastre se incluy\u00f3 una pregunta de respuesta corta que cuestiona al estudiante si su figura conserva el arrastre y por qu\u00e9 lo hace o no.<\/p>\n<p><strong>Tercera parte del Applet<\/strong>. En la tercera parte del applet se le pide al estudiante transformar el paralelogramo que se ha dibujado en paralelogramos particulares (ver Figura 5). De esta forma el estudiante tendr\u00e1 en primera instancia que identificar cu\u00e1les son estos paralelogramos particulares (cuadrado, rombo, rect\u00e1ngulo) y luego tendr\u00e1 que construirlos.<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td>Parte 3) En el siguiente applet se ha dibujado un paralelogramo ABCD.<br \/>\nA partir de realizar modificaciones en los valores de los par\u00e1metros y algo m\u00e1s, transforma el paralelogramo ABCD para que se convierta en un paralelogramo particular.<br \/>\nConstruir paralelogramos particulares, realiza captura de ellos y explica por qu\u00e9 son paralelogramos particulares.<br \/>\n<strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 5.<\/strong> Applet de la parte 3<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>R\u00fabrica de Evaluaci\u00f3n<br \/>\nPara la evaluaci\u00f3n de la tarea domiciliaria, que consisti\u00f3 en registrar las soluciones de cada uno de los futuros profesores, se dise\u00f1\u00f3 una r\u00fabrica a efectos de identificar los logros alcanzados por los estudiantes y realizar retroalimentaci\u00f3n sobre las actividades resueltas (Tabla 2).<br \/>\n<strong style=\"color:#F1C40F;\">Tabla 2.<\/strong> R\u00fabrica de Evaluaci\u00f3n de la actividad<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td>Actividad 1.<br \/>\nCalificaci\u00f3n total: 12 puntos<\/td>\n<td>Nivel I: 1 punto<\/td>\n<td>Nivel II: 2 puntos<\/td>\n<td>Nivel III: 3 puntos<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Parte 1<br \/>\nRealiza captura de pantalla de las construcciones obtenidas para tres valores del par\u00e1metro \u201ca\u201d, observa los nuevos cuadril\u00e1teros obtenidos y plantea alguna conjetura.<\/td>\n<td>El estudiante no presenta todas las construcciones solicitadas y no conjetura.<\/td>\n<td>El estudiante pone tres valores del par\u00e1metro, incluye las im\u00e1genes, pero se le dificulta realizar una conjetura que vincula los paralelogramos obtenidos.<\/td>\n<td>El alumno identifica que al variar un solo par\u00e1metro se obtienen paralelogramos con las mismas amplitudes de los \u00e1ngulos.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Parte 2<br \/>\nUtiliza las herramientas de la barra superior del applet para realizar los trazados necesarios para construir un paralelogramo ABCD.<br \/>\nMueve uno de los v\u00e9rtices. \u00bfEl cuadril\u00e1tero obtenido contin\u00faa siendo un paralelogramo? \u00bfPor qu\u00e9?<\/td>\n<td>Se presentan alguna de las siguientes situaciones:<br \/>\n\u25cf El estudiante no logra realizar la construcci\u00f3n seg\u00fan las herramientas solicitadas en el enunciado.<br \/>\n\u25cf La figura obtenida no es un paralelogramo.<\/td>\n<td>El estudiante realiza la construcci\u00f3n en forma correcta solo para el caso particular que construye.<\/td>\n<td>El estudiante realiza la construcci\u00f3n en forma correcta.<br \/>\n\u00f3<br \/>\nEl estudiante realiz\u00f3 una construcci\u00f3n que no conserva el arrastre, se da cuenta de no haber utilizado las propiedades del paralelogramo en forma gen\u00e9rica. Corrige la construcci\u00f3n y contesta correctamente.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Parte 3:<br \/>\nConstruye paralelogramos particulares a partir del paralelogramo dibujado.<\/td>\n<td>Presenta una sola construcci\u00f3n que podr\u00e1 ser un paralelogramo, cuadrado o rombo.<\/td>\n<td>Se presentan dos construcciones entre parlelogramo, cuadrado y rombo.<\/td>\n<td>Se presenta la imagen de un paralelogramo, un cuadrado y un rombo.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">\u00bfQu\u00e9 resultados se obtuvieron?<\/strong><br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Registro de las respuestas de los futuros profesores<\/i><\/strong><br \/>\nSe presenta parte de la implementaci\u00f3n del recurso propuesto para experimentar con paralelogramos. La intencionalidad de la profesora formadora fue que los futuros profesores vivencien desde el lugar de estudiantes de educaci\u00f3n secundaria c\u00f3mo resuelven una actividad presentada por medio de un <i>applet<\/i> creado con GeoGebra. Luego, en una segunda etapa, los futuros profesores deber\u00e1n hacer modificaciones y elaborar ellos una tarea, generar un <i>applet<\/i> y dise\u00f1ar una planificaci\u00f3n de c\u00f3mo lo implementar\u00edan en el aula. A lo largo de la clase se solicit\u00f3 que identifiquen posibles beneficios y dificultades que podr\u00eda experimentar un estudiante de educaci\u00f3n secundaria al utilizar este recurso.<\/p>\n<p>La actividad se realiz\u00f3 durante 80 minutos. Se comparti\u00f3 el enlace de GeoGebra Classroom a trav\u00e9s del chat de la videoconferencia de Zoom para entrar a la secuencia de actividades incluidas en el <i>applet<\/i>. En la actividad cada futuro profesor trabaj\u00f3 compartiendo pantalla para mostrar su trabajo.<\/p>\n<p><strong>Actividad 1 &#8211; Parte 1<\/strong>. En esta primera parte, a partir de cambiar los valores del par\u00e1metro, los futuros profesores observaron diferentes paralelogramos con caracter\u00edsticas similares. En la descripci\u00f3n se utilizar\u00e1 para nombrar a cada uno de los futuros profesores: FP1, FP2, FP3, FP4.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Figura 6.<\/strong> Captura de pantalla de las 3 figuras obtenidas al variar el par\u00e1metro \u201ca\u201d.<\/p>\n<p>Respuesta Del FP1. (ver Figura 6): \u201cSeleccion\u00e9 los siguientes valores para el par\u00e1metro \u201ca\u201d: 8, 6 y 5. Observo que al variar \u201ca\u201d, el lado BC se traslada manteniendo su medida, en el caso particular de a=b=5, observo que se asemeja bastante a un rombo (Lo cual no es cierto y habr\u00e1 que conversarlo en la clase). Los par\u00e1metros supongo que son las medidas de los segmentos, el par\u00e1metro \u201ca\u201d corresponde a la medida del lado AB y el par\u00e1metro\u201d b\u201d corresponde a la medida del lado AD. Los \u00e1ngulos del paralelogramo se mantienen inalterados\u201d (FP1).<\/p>\n<p>La respuesta brindada por el estudiante permite identificar algunos conceptos o concepciones que ser\u00e1 necesario ajustar, por ejemplo, la noci\u00f3n de rombo. Si bien la reflexi\u00f3n indica haber visto ciertas similitudes entre los paralelogramos no especifica haber identificado la congruencia de las amplitudes de los \u00e1ngulos de todos los paralelogramos. Sin embargo, la posibilidad din\u00e1mica del software le permiti\u00f3 observar en un mismo momento la figura para diferentes valores del par\u00e1metro \u201ca\u201d. En forma similar trabaja al variar el par\u00e1metro \u201cb\u201d.<\/p>\n<p>Respuesta Del FP2. En un primer caso la variaci\u00f3n del par\u00e1metro \u201ca\u201d (medida de los AB, CD) no provoca cambios en la direcci\u00f3n de los segmentos AB, CD. El par\u00e1metro \u201cb\u201d (medida de los lados AD, BC) no var\u00eda (ver Figura 7).<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Figura 7.<\/strong> Captura de pantalla obtenida por el FP2<\/p>\n<p>La variaci\u00f3n del par\u00e1metro \u201cb\u201d (medida de los lados AD y BC) no provoca cambios en la direcci\u00f3n de los segmentos AD, BC. El par\u00e1metro \u201cb\u201d (medida de los lados AB, CD) no var\u00eda (ver Figura 8).<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Figura 8.<\/strong> Captura de pantalla obtenida al variar el deslizador \u201cb\u201d<\/p>\n<p><strong>Observaci\u00f3n<\/strong>: En la respuesta anterior el futuro profesor (FP2) utiliza las palabras \u201cdirecci\u00f3n de los segmentos\u201d para referirse al \u00e1ngulo que se forma entre ellos. En espec\u00edfico utiliza la palabra \u201cdirecci\u00f3n\u201d asociada a la noci\u00f3n de \u201cinclinaci\u00f3n\u201d.<\/p>\n<p><strong>Parte 2<\/strong>. En esta segunda parte se pide construir un paralelogramo. A continuaci\u00f3n, se muestran algunas de las respuestas que se presentaron que incluyen diferentes razonamientos para realizar la construcci\u00f3n. Cabe considerar que en la parte 2 los futuros profesores deb\u00edan hacer uso de las herramientas (comandos) que presenta el applet. En esta etapa se observ\u00f3 el proceso de instrumentalizaci\u00f3n en el que aprendieron a utilizar el recurso digital, ya que correspondi\u00f3 a una etapa de exploraci\u00f3n sobre la funcionalidad de las herramientas del applet.<\/p>\n<p><strong>Resoluci\u00f3n 1 Aportada Por El FP2<\/strong>. Este estudiante primero identific\u00f3 el uso de las herramientas circunferencia, centro y punto de ella, sin embargo, se vio impedido de seguir avanzando. Otro compa\u00f1ero FP3 le dio una sugerencia para continuar, la de usar rectas paralelas. FP2, luego de realizar la construcci\u00f3n identific\u00f3 que, aunque mueva uno de los v\u00e9rtices el paralelismo, sigue manteni\u00e9ndose y el cuadril\u00e1tero determinado siempre es un paralelogramo. A continuaci\u00f3n, se detallan los pasos seguidos en la construcci\u00f3n del paralelogramo (ver Figura 9).<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Figura 9.<\/strong> Procedimiento de construcci\u00f3n del paralelogramo<\/p>\n<p>El estudiante FP2 escribi\u00f3 los pasos que realiz\u00f3 para la construcci\u00f3n:<br \/>\nPaso 1: trazo en sentido antihorario los v\u00e9rtices A, B, C y los segmentos AB, BC.<br \/>\nPaso 2: trazo la recta r paralela a AB por C, trazo recta s paralela a BC por A.<br \/>\nPaso 3: el v\u00e9rtice D es la intersecci\u00f3n de las rectas r y s.<br \/>\nPaso 4: trazo los segmentos AD, CD.<\/p>\n<p>Esta actividad tambi\u00e9n fue resuelta por otro procedimiento, a continuaci\u00f3n, se muestra la resoluci\u00f3n realizada por la estudiante FP4.<\/p>\n<p><strong>Resoluci\u00f3n 2 Realizada Por La FP4<\/strong>.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Figura 10.<\/strong> Construcci\u00f3n del paralelogramo Paso 1 y Paso 6<\/p>\n<p>Paso 1: elijo 3 puntos A, B, C no alineados.<br \/>\nPaso 2: trazo los segmentos AC y BA.<br \/>\nPaso 3: trazo una circunferencia C  con la herramienta \u201ccircunferencia: centro y radio\u201d de centro B y radio = AC (es decir completo con \u201cAC\u201d cuando nos permite introducir la medida del radio).<br \/>\nPaso 4: idem con una circunferencia C\u2019 de centro C radio BA.<br \/>\nPaso 5: utilizo la herramienta intersecci\u00f3n para determinar el punto D en la intersecci\u00f3n de las circunferencias en el semiplano de borde AC que contiene a B.<br \/>\nPaso 6: trazo los segmentos CD y DB. Obtengo el paralelogramo ACDB.<\/p>\n<p><strong>Respuesta Del Estudiante FP3<\/strong>. El estudiante FP3 utiliz\u00f3 la opci\u00f3n circunferencia, centro y radio. Realiz\u00f3 bien la construcci\u00f3n, pero cuando tuvo que mover la posici\u00f3n de uno de los v\u00e9rtices de su cuadril\u00e1tero, que originalmente era un paralelogramo, este dej\u00f3 de serlo. De ah\u00ed la pregunta: \u00bfel cuadril\u00e1tero sigui\u00f3 siendo un paralelogramo al mover uno de los v\u00e9rtices? \u00bfPor qu\u00e9? Esta pregunta le hizo reflexionar nuevamente en su construcci\u00f3n y darse cuenta que para que el pol\u00edgono contin\u00fae siendo un paralelogramo deber\u00eda haber utilizado la opci\u00f3n de circunferencia conocido su centro y radio con base a los extremos de cada segmento y no referido a una longitud en particular.<\/p>\n<p>A continuaci\u00f3n, se muestra el proceso que se dio y los di\u00e1logos de los estudiantes (Tabla 3).<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Tabla 3.<\/strong> Procedimiento de construcci\u00f3n, an\u00e1lisis del arrastre y validaci\u00f3n usando GeoGebra<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>FP3 \u00bfpuedo compartir pantalla?<\/td>\n<td>FP3 Hago una circunferencia de centro B y radio 3,93<br \/>\nPF ahora vamos a tener un problema, vos term\u00ednalo.<\/td>\n<td>E3: tengo que volver a medir<br \/>\nPF Cuando termines te pide que muevas uno de los v\u00e9rtices<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>FP3: \u00a1mir\u00e1 que lindo lo que pasa!<\/td>\n<td>PF: esto est\u00e1 buen\u00edsimo, pensemos. \u00bfPor qu\u00e9 pasa esto?<br \/>\nFP3: claro mir\u00e1 lo que te pasa (contin\u00faa mostrando como se le deform\u00f3 la figura)<\/td>\n<td>FP3: \u00bfseg\u00fan como elijas los puntos no alineados?, \u00bfser\u00e1 que si lo hac\u00e9s con intersecci\u00f3n de circunferencias te da cualquier cosa?<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>FP1: Les muestro lo que yo hice<br \/>\nPF \u00bfdepender\u00e1 como elijas el razonamiento?<\/td>\n<td>PF \u00bfentonces al principio estaba bien? \u00bfqu\u00e9 pas\u00f3?<br \/>\nFP2 si, al principio estaba bien<\/td>\n<td>FP1: Yo lo hice usando circunferencia de centro C y radio AB y circunferencia de centro A y radio BC.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>FP1: Aunque cambie la posici\u00f3n de A, B o C sigue siendo un paralelogramo<\/td>\n<td>FP1: Aqu\u00ed cambi\u00e9 la posici\u00f3n de B<\/td>\n<td>FP1:Pero aqu\u00ed no es un paralelogramo<br \/>\nFP: \u00bfPor qu\u00e9?<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>FP4: lo hice usando rectas paralelas<\/td>\n<td>FP4: siempre que var\u00edo la posici\u00f3n de los v\u00e9rtices contin\u00faa siendo un paralelogramo.<\/td>\n<td>FP4: Se conserva el paralelismo de lados opuestos.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Durante el desarrollo de la clase se gener\u00f3 un proceso meta-reflexivo que promovi\u00f3 la argumentaci\u00f3n y provoc\u00f3 volver sobre los propios pensamientos para identificar qu\u00e9 estaba ocurriendo al no conservarse el arrastre. Evidencia de este proceso se muestra en el razonamiento del FP2 y la FP4:<\/p>\n<p>Lo vuelvo a hacerlo de 0 partiendo de la base, [\u2026] en geometr\u00eda [\u2026] No hay una sola manera de hacer las construcciones. Lo que hice fue marcar tres v\u00e9rtices, dos segmentos y luego usar la opci\u00f3n circunferencia (FP2).<\/p>\n<p>Los radios de las circunferencias <i>C<\/i> y <i>C\u2019<\/i>  trazadas para determinar al punto B dependen de las medidas de los segmentos BA y AC, por lo tanto al mover un v\u00e9rtice A, B o C, siempre y cuando no lo mueva al semiplano opuesto respecto de la recta determinada por los otros dos puntos dados, seguir\u00e1 siendo un paralelogramo. Si hubiese utilizado la herramienta longitud y hubiese trazado circunferencias con una longitud dada y no dependiendo de los segmentos BA y AC al mover un v\u00e9rtice la figura dejar\u00eda de ser un paralelogramo. (FP4).<\/p>\n<p><b>Parte 3<\/b>. En esta parte deben construir paralelogramos particulares a partir de un paralelogramo general. La siguiente fue la resoluci\u00f3n de FP1 (ver Figura 11): Igual\u00e9 los dos par\u00e1metros, y obtuve un rombo (paralelogramo con sus 4 lados iguales).<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Figura 11.<\/strong> Captura de pantalla del rombo, cuadrado y rect\u00e1ngulo obtenidos por la FP4<\/p>\n<p>En esta parte se busc\u00f3 que el estudiante vincule los paralelogramos que se generan con la clasificaci\u00f3n de cuadril\u00e1teros con lados opuestos paralelos.<\/p>\n<p>La implementaci\u00f3n del applet al usarlo en GeoGebra Classroom tambi\u00e9n sirvi\u00f3 para que los futuros profesores pudieran ver c\u00f3mo visualiza el profesor el avance de los estudiantes de su clase y c\u00f3mo el profesor puede ingresar al trabajo realizado por cada estudiante (ver Figura 12).<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Figura 12.<\/strong> Captura de pantalla, clase creada en GeoGebra Classroom por el profesor formador<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\"><i>Logros de la experimentaci\u00f3n<\/i><\/strong><br \/>\nDurante la resoluci\u00f3n del <i>applet<\/i> se identificaron tres momentos vivenciados por los futuros profesores: 1) an\u00e1lisis y prueba de las herramientas del recurso, en espec\u00edfico del <i>applet<\/i>; 2) uso de las herramientas del <i>applet<\/i> y an\u00e1lisis de posibles conflictos que podr\u00edan surgir al implementarlo en la pr\u00e1ctica docente; 3) intercambio de ideas entre los futuros profesores y con el profesor formador.<\/p>\n<p>Los futuros profesores tuvieron una experiencia pedag\u00f3gica con el uso de GeoGebra Classroom vivenciando c\u00f3mo lo har\u00eda un estudiante y a la vez c\u00f3mo lo ver\u00eda un profesor. Al experimentar el rol del estudiante pudieron darse cuenta de las posibles preguntas y dificultades a las que sus estudiantes encontrar\u00edan al utilizar un recurso tecnol\u00f3gico.<\/p>\n<p>En relaci\u00f3n al uso de las herramientas de GeoGebra se observaron dificultades que surgieron en el proceso de resoluci\u00f3n de la actividad del <i>applet<\/i>. Debido a la poca experiencia en el manejo de GeoGebra fue necesario desarrollar la cooperaci\u00f3n y colaboraci\u00f3n entre los futuros profesores, lo cual permiti\u00f3 que todos los futuros profesores pudieran completar la actividad utilizando diferentes m\u00e9todos de resoluci\u00f3n. Este proceso de aprendizaje en el uso del recurso favoreci\u00f3 la instrumentalizaci\u00f3n, en forma simult\u00e1nea se desarroll\u00f3 el proceso de instrumentaci\u00f3n de manera colectiva ya que surgieron sugerencias de implementaci\u00f3n del recurso en el aula. Por un lado, fortalecieron y aprendieron el uso t\u00e9cnico de las herramientas de GeoGebra y por otro lado, enriquecieron su mirada sobre lo que ocurrir\u00eda en un aula de educaci\u00f3n secundaria al implementar el recurso. Identificamos que la resoluci\u00f3n de la actividad no solo permiti\u00f3 reforzar conocimientos matem\u00e1ticos, sino que tambi\u00e9n fortaleci\u00f3 aspectos conceptuales, por ejemplo, referidos a la definici\u00f3n de paralelogramo o rombo, como tambi\u00e9n a sus propiedades.<\/p>\n<p>Tambi\u00e9n surgi\u00f3 la discusi\u00f3n del an\u00e1lisis de las causas que provocaron que en la construcci\u00f3n de uno de los futuros profesores no se conservara el arrastre. Esta construcci\u00f3n gener\u00f3 un debate que permiti\u00f3 identificar la necesidad de no incluir medidas particulares de segmentos al construir circunferencias, sino que deb\u00edan incorporar el radio en funci\u00f3n de las letras asignadas a los extremos de un segmento. Respecto al uso de las propiedades para la construcci\u00f3n del paralelogramo, se observa que el arrastre se convirti\u00f3 en un instrumento de validaci\u00f3n, ya que permiti\u00f3 verificar que el dise\u00f1o considera las propiedades de los paralelogramos en forma gen\u00e9rica.<\/p>\n<p>Otro motivo que es necesario destacar es que el aprendizaje de GeoGebra Classroom se comparti\u00f3 con los profesores adscriptores (titulares de los grupos en que los futuros profesores implementan su pr\u00e1ctica). Este hecho es importante ya que algunos de los profesores adscriptores no tienen conocimientos actualizados sobre el uso de recursos digitales para la ense\u00f1anza de la matem\u00e1tica.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\"><i>Propuestas de mejora del Applet<\/i><\/strong><br \/>\nLos futuros profesores propusieron recomendaciones para mejorar el dise\u00f1o del <i>applet<\/i>. Se sugiri\u00f3 agregar un link para adjuntar las respuestas de la actividad, por lo cual se cre\u00f3 un espacio virtual para que los estudiantes suban sus respuestas. La profesora formadora propuso a\u00f1adir una tarea en la plataforma virtual Schoology para subir el registro de la resoluci\u00f3n realizada por cada futuro profesor como se muestra en la Figura 13. Asimismo, se cre\u00f3 una carpeta compartida en la que los estudiantes pudieron subir el archivo y ver los procesos de resoluci\u00f3n de sus compa\u00f1eros.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Figura 13.<\/strong> Captura de pantalla de la tarea creada en la plataforma Schoology para subir las respuestas del applet<\/p>\n<p>Otra de las recomendaciones fue restringir las opciones de la barra de herramientas del <i>applet<\/i> en la parte 2 y a la vez agregar la herramienta \u201cpol\u00edgono\u201d. A continuaci\u00f3n, en la Figura 14, se muestra la barra de herramientas de la actividad 2 que incluye el \u00edcono pol\u00edgono.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Figura 14.<\/strong> Captura de pantalla de la parte 2, con el nuevo \u00edcono de \u201cpol\u00edgono\u201d<\/p>\n<p>Para la parte 3, se sugiri\u00f3 incorporar el \u00e1ngulo entre dos segmentos consecutivos ya que al no tenerlo se origin\u00f3 la dificultad de no poder realizar con precisi\u00f3n la construcci\u00f3n de un rect\u00e1ngulo y de un cuadrado, cuesti\u00f3n manifestada por una estudiante (FP4). En la Figura 15 se muestra c\u00f3mo quedar\u00eda la construcci\u00f3n de un rect\u00e1ngulo mostrando el \u00e1ngulo de 90\u00b0.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Figura 15.<\/strong> Captura de pantalla de un rect\u00e1ngulo<\/p>\n<p>Se pens\u00f3 en otra posible alternativa que fue la de confeccionar un nuevo applet que incluyera \u201ccasillas de entrada\u201d. La ventaja de incluir una casilla de entrada con las longitudes de dos segmentos consecutivos del paralelogramo y otra con la amplitud del \u00e1ngulo comprendido entre ellos (ver Figura 16) fue la de construir con precisi\u00f3n un cuadrado o un rect\u00e1ngulo. De esta forma se ofrecieron otras posibilidades para facilitar la construcci\u00f3n solicitada. El applet modificado tiene el siguiente enlace de acceso: <a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/edit\/id\/hznftbuc\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/www.geogebra.org\/material\/edit\/id\/hznftbuc<\/a><\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Figura 16.<\/strong> Parte 3 con las casillas de entrada. A la izquierda se construy\u00f3 un paralelogramo, en el centro se construy\u00f3 un cuadrado y a la derecha un rombo<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\"><i>Proyecciones a futuro<\/i><\/strong><br \/>\nEsta experiencia de aula deja abierta la posibilidad de hacer nuevas implementaciones y continuar profundizando en la investigaci\u00f3n vinculada a futuros profesores en el uso de tecnolog\u00eda para ense\u00f1ar matem\u00e1tica. De esta forma, se podr\u00e1 determinar cu\u00e1les son los procesos de instrumentalizaci\u00f3n e instrumentaci\u00f3n de manera colaborativa. A la vez, se podr\u00e1 analizar c\u00f3mo el docente formador orquesta el proceso de ense\u00f1anza al introducir un nuevo recurso como el GeoGebra Classroom. Tambi\u00e9n, se sugiere continuar con el an\u00e1lisis de una clase en la cual el futuro profesor adapta los recursos digitales a su pr\u00e1ctica docente, considerando el contexto de la instituci\u00f3n educativa en la que ense\u00f1a.<\/p>\n<p>Nos proyectamos en futuras instancias continuar con la profundizaci\u00f3n en el aprendizaje de recursos tecnol\u00f3gicos para ense\u00f1ar matem\u00e1tica. Se buscar\u00e1 promover no solo el uso del software GeoGebra, sino tambi\u00e9n la implementaci\u00f3n de diferentes dispositivos tecnol\u00f3gicos, por ejemplo, el celular, as\u00ed si los estudiantes no disponen de computadoras pueden utilizarlo en sus casas o en el aula. Por otra parte, se tiene previsto utilizar versiones on line como tambi\u00e9n versiones portables del software GeoGebra. Otro aspecto que se buscar\u00e1 desarrollar es la articulaci\u00f3n entre diferentes registros de representaci\u00f3n ya sea el gr\u00e1fico, verbal, tabular y representaciones en 3D.<\/p>\n<p>En particular, luego de esta primera experiencia se promovi\u00f3 que los futuros profesores dise\u00f1aran para su pr\u00e1ctica docente <i>applet<\/i> en diferentes temas. Entre los que se destacan: 1) introducci\u00f3n a la noci\u00f3n de l\u00edmite en un punto; 2) an\u00e1lisis de los l\u00edmites laterales en x=a cuando la funci\u00f3n est\u00e1 definida a partir de una funci\u00f3n a trozos y presenta una discontinuidad con salto finito cuando \u201cx tiende hacia a\u201d; 3) an\u00e1lisis de la variaci\u00f3n del coeficiente angular de dos rectas; 4) deducci\u00f3n de la descomposici\u00f3n factorial de un polinomio de grado 3; 5) resoluci\u00f3n de sistemas de 3 ecuaciones con 3 inc\u00f3gnitas.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#b695c0;\">Referencias<\/strong><br \/>\nArtigue, M. (2015). Tecnolog\u00edas de la informaci\u00f3n y de la comunicaci\u00f3n y aprendizaje basado en la investigaci\u00f3n: \u00bfqu\u00e9 sinergias? En Consejer\u00eda de Educaci\u00f3n de la Junta de Castilla y Le\u00f3n (Eds.). Las nuevas metodolog\u00edas en la ense\u00f1anza y el aprendizaje de las matem\u00e1ticas (pp. 17-27).<\/p>\n<p>Artigue, M. (2016). Did\u00e1ctica de las matem\u00e1ticas y las matem\u00e1ticas: relaciones tanto cruciales como problem\u00e1ticas, culturalmente situadas. En L. Theis (Ed.), Pluralidades culturales y universalidad de las matem\u00e1ticas: desaf\u00edos y perspectivas para su ense\u00f1anza y aprendizaje. Actas del Coloquio EMF 2015 (pp. 73-80).<\/p>\n<p>Borba, M. C. y Villarreal, M. E. (2006). Humans-with-media and the reorganization of mathematical thinking: Information and communication technologies, modeling, visualization and experimentation (Vol. 39). Springer Science &amp; Business Media.<\/p>\n<p>Carrillo, A. (2019). 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El fin \u00faltimo de la secuencia es desarrollar en los estudiantes capacidades de resoluci\u00f3n de problemas y comunicaci\u00f3n. Los roles del docente y estudiantes cambian en este modelo, puesto que son activos y adquieren nuevas capacidades. El aporte de la tecnolog\u00eda cobra vital importancia como mediador y optimizador del proceso, llegando a la conclusi\u00f3n que es una secuencia que tiene mucho que aportar al desarrollo mismo del curso, al eje tem\u00e1tico a los objetivos del programa y a las capacidades, habilidades y competencias ciudadanas y laborales.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">\u00bfD\u00f3nde se hizo el proyecto? <\/strong><br \/>\nLa Icesi es una prestigiosa Universidad del sector privado ubicada en Santiago de Cali con m\u00e1s 40 a\u00f1os de fundaci\u00f3n, acreditada por su Alta Calidad por el Consejo Nacional de Acreditaci\u00f3n de Colombia. Actualmente cuenta con 6.057 estudiantes de pregrado y 1.196 estudiantes de posgrados, 264 profesores de planta, de los cuales el 60% son PhD. o tienen su doctorado en curso. Cuenta con 29 programas en pregrado, 1 doctorado, 25 maestr\u00edas, 18 especializaciones m\u00e9dico-quir\u00fargicas y 18  en otras especialidades 27 centros acad\u00e9micos y 14 grupos de investigaci\u00f3n, cuya din\u00e1mica de publicaciones en revistas indexadas, le ha permitido ser incluida en el Ranking Internacional de Scimago.11.955 egresados de pregrado 10.609 egresados de posgrados.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Sujetos<\/i><\/strong><br \/>\nLa Universidad Icesi cuenta actualmente con un total de 6057 estudiantes activos, en un total de 29 programas de pregrados, de estos el 67,9% provienen del \u00e1rea metropolitana de la ciudad de Cali, el 11% de otras Ciudades del Valle del Cauca y el 21,1% de otras ciudades de Colombia o el exterior . Del total de estudiantes, el 53,6% son mujeres mientras que el 46,4% son hombres. La distribuci\u00f3n de matr\u00edcula por estratos socioecon\u00f3micos y por facultad esta as\u00ed:<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Tabla 1.<\/strong> Distribuci\u00f3n de estudiantes por estrato socioecon\u00f3mico<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th>Estrato<\/th>\n<th>% de estudiantes<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>1<\/td>\n<td>13,9<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>2<\/td>\n<td>27,6<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>3<\/td>\n<td>18,3<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>4<\/td>\n<td>12,6<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>5<\/td>\n<td>17,5<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>6<\/td>\n<td>9,7<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: Bolet\u00edn Icesi<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Tabla 2.<\/strong> Distribuci\u00f3n de estudiantes por Facultades y escuelas<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td>Facultad de ciencias administrativas y econ\u00f3micas<\/td>\n<td>972<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Facultad de ingenier\u00eda<\/td>\n<td>1566<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Facultad de derechos y ciencias sociales<\/td>\n<td>1138<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>facultad de ciencias naturales<\/td>\n<td>632<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Facultad de ciencias de la salud<\/td>\n<td>705<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Escuela de ciencias de la educaci\u00f3n<\/td>\n<td>132<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: Bolet\u00edn Icesi<\/p>\n<p>En la matr\u00edcula distribuida por Facultades y Escuelas, el 12% representan a los estudiantes de ciencias Naturales de los cuales 10 % est\u00e1n cursando el curso de C\u00e1lculo de una variable, curso donde se hizo la intervenci\u00f3n:<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 1.<\/strong> Porcentaje de la poblaci\u00f3n distribuida por g\u00e9nero<\/p>\n<p>Podemos observar que, en la facultad de ciencias naturales, el 31% son hombres y el 69% son mujeres aproximadamente.<\/p>\n<p><strong>Sujetos en el curso de c\u00e1lculo de una variable<\/strong>. El curso de C\u00e1lculo de una Variable est\u00e1 dirigido para estudiantes de Ingenier\u00eda Bioqu\u00edmica y qu\u00edmica farmac\u00e9utica, se llev\u00f3 a cabo en los grupos 01 y 03 con un promedio de 32 estudiantes por sal\u00f3n. El 42,4% son hombres y el 57,6% son mujeres. El equipo de docentes estaba conformado por dos docentes; un doctor en educaci\u00f3n y un mag\u00edster en educaci\u00f3n, adem\u00e1s se ten\u00eda un asesor en lenguaje mag\u00edster en educaci\u00f3n.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Modelo Pedag\u00f3gico: Aprendizaje Activo<\/strong><br \/>\nLa Universidad Icesi ha desarrollado un Modelo pedag\u00f3gico de aprendizaje activo, basado en el desarrollo de competencias. El aprendizaje activo es definido en el Proyecto educativo Institucional (PEI) de la siguiente manera:<\/p>\n<ul>Para que exista aprendizaje activo los estudiantes deben hacer mucho m\u00e1s que o\u00edr; deben leer, cuestionarse, escribir, discutir, aplicar conceptos, utilizar reglas y principios, resolver problemas. El aprendizaje activo implica que el estudiante debe estar expuesto continuamente, bien sea por voluntad propia o porque la estrategia utilizada por el profesor as\u00ed lo exige, a situaciones que le demanden operaciones intelectuales de orden superior; an\u00e1lisis, s\u00edntesis, interpretaci\u00f3n, inferencia y evaluaci\u00f3n\u201d Como se puede observar, el modelo pedag\u00f3gico transforma la pasividad que caracteriza el aprendizaje en los modelos tradicionales, en dinamismo. En este sentido, el estudiante debe asumir un rol activo, para lo cual la comunicaci\u00f3n de su pensamiento juega un papel preponderante en la construcci\u00f3n de conocimiento, socializaci\u00f3n y argumentaci\u00f3n de ideas. En esta misma direcci\u00f3n, el modelo impulsa el desarrollo de cuatro tipos de capacidades: la comunicativa, trabajo personal efectivo con otros, vivir en sociedad y la capacidad intelectual. Naturalmente, todas las unidades acad\u00e9micas de la Universidad deben propender al desarrollo de estas capacidades.<\/ul>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">\u00bfQu\u00e9 se hizo y c\u00f3mo se hizo? <\/strong><br \/>\nEl proyecto se llev\u00f3 a cabo con el objetivo de contribuir al desarrollo de las competencias de comunicaci\u00f3n y modelaci\u00f3n mediante la estimaci\u00f3n del \u00e1rea del lago en forma de cardioide ubicado en la Universidad Icesi, este proyecto se desarrolla en el Curso de segundo semestre C\u00e1lculo de una Variable del periodo 2021-2 grupos 01 y 03.<\/p>\n<p>El curso de C\u00e1lculo de una variable tiene como prop\u00f3sito central desarrollar en los estudiantes la capacidad de adquirir conocimientos, habilidades y destrezas relacionadas con los elementos m\u00e1s relevantes del \u00e1rea, como son el c\u00e1lculo diferencial e integral. Priorizando aquellas cuyas aplicaciones sean de la propia ciencia y de contextos propios de sus carreras. Al finalizar el curso el estudiante estar\u00e1 en la capacidad de aplicar los procesos del c\u00e1lculo diferencial e integral en una variable en el an\u00e1lisis y soluci\u00f3n de problemas en contexto de las ciencias e ingenier\u00eda. El curso est\u00e1 dise\u00f1ado en 4 unidades: Unidad 1: L\u00edmites, Unidad 2: Derivadas, Unidad 3: Aplicaci\u00f3n de las derivadas y Unidad 4: Integrales.<\/p>\n<p>El proyecto se present\u00f3 en la semana 12 en la unidad de integrales y sumas de Riemann. En este sentido, el proyecto se llev\u00f3 a cabo en dos momentos: supuestos te\u00f3ricos y estructura del dise\u00f1o metodol\u00f3gico.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Supuestos te\u00f3ricos<\/i><\/strong><br \/>\nPara el MEN una competencia se define como el Conjunto de conocimientos, actitudes, disposiciones y habilidades (cognitivas, socioafectivas y comunicativas), relacionadas entre s\u00ed para facilitar el desempe\u00f1o flexible y con sentido de una actividad en contextos relativamente nuevos y retadores. Por lo tanto, la competencia implica conocer, ser y saber hacer.<\/p>\n<p>La competencia est\u00e1 asociada con la educaci\u00f3n integral y la formaci\u00f3n de sujetos cr\u00edticos que usen los saberes en diferentes contextos socioculturales y reflexionen sobre el uso de los conocimientos en pro de cualificar las condiciones de vida.<\/p>\n<p>El aprendizaje por competencias exige crear un ambiente donde, en primer lugar, se ponga al estudiante como centro y este sea activo en su propio proceso; adem\u00e1s el ambiente debe considerar conocimientos previos, contextos oportunos y vivencias de los estudiantes, en tanto que el docente se vuelve un facilitador de aprendizaje. Esto implica que el conocimiento se desarrolla en distintas etapas y teniendo en cuenta todo lo que rodea a los estudiantes.<\/p>\n<ul>Las competencias adem\u00e1s de un ser, de un saber hacer, es un hacer sabiendo, soportado en m\u00faltiples conocimientos que vamos adquiriendo en el transcurso de la vida; es la utilizaci\u00f3n flexible e inteligente de los conocimientos que poseemos, lo que nos hace competentes frente a tareas espec\u00edficas (Casta\u00f1o &amp; Mac\u00edas, 2005).<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\nSe puede entender que para desarrollar las competencias en los estudiantes es necesario enfrentarlos a situaciones en contextos reales, relacion\u00e1ndolos con las competencias ciudadanas y laborales; siendo un todo que se conjuga para que ellos puedan usar el conocimiento adquirido en diferentes problemas. (Tobon, 2004) y (Torrado, 2000). Un individuo competente matem\u00e1ticamente debe caracterizarse no por qu\u00e9 tanto sabe de matem\u00e1ticas, sino lo que hace con ellas (Castro Monserrat &amp; Marin, 2019).<\/p>\n<p><b>Competencias Para Desarrollar<\/b>. Con el proyecto se pretende aportar al desarrollo del pensamiento Variacional, entendi\u00e9ndolo como:<\/p>\n<ul>El pensamiento variacional es concebido como una forma din\u00e1mica de pensar que intenta producir mentalmente sistemas que relacionen sus variables internas de tal manera que covar\u00eden en forma semejante a los patrones de covariaci\u00f3n de cantidades, de la misma o distintas magnitudes, en los subprocesos recortados de la realidad (Vasco, 2000).<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\nPensar variacionalmente permite desarrollar capacidades para utilizar diferentes representaciones, interpretarlas y analizar activamente lo que sucede en la otra representaci\u00f3n, si se modifica una condici\u00f3n particular. Por otro lado, las competencias que se pretenden desarrollar con la actividad son la comunicaci\u00f3n y la modelaci\u00f3n. En este sentido, entendemos c\u00f3mo comunicar en matem\u00e1ticas es:<\/p>\n<ul>El conjunto de capacidades, habilidades y cualidades que tiene la persona para comprender e interpretar contenidos matem\u00e1ticos expresados en forma oral o escrita, haciendo uso del lenguaje propio de la comunidad matem\u00e1tica en la que participa de los procesos de construcci\u00f3n y negociaci\u00f3n de significados, con base en un discurso de calidad y de normas de comportamiento, para convertirse en un miembro activo de la comunidad de aprendizaje, siendo capaz de solucionar problemas del contexto, usando la matem\u00e1tica como herramienta (Garc\u00eda, Coronado y Giraldo, 2017).<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\nEste trabajo se llev\u00f3 a cabo en grupos aproximados de 4 estudiantes, lo que permit\u00eda el complemento de ideas y el debate, aportando a potenciar la comunicaci\u00f3n matem\u00e1tica.<\/p>\n<ul>La comunicaci\u00f3n matem\u00e1tica puede ocurrir cuando los estudiantes trabajan en grupos cooperativos, cuando un estudiante explica un algoritmo para resolver ecuaciones, cuando un estudiante presenta un m\u00e9todo \u00fanico para resolver un problema, cuando un estudiante construye y explica una representaci\u00f3n gr\u00e1fica de un fen\u00f3meno del mundo real, o cuando un estudiante propone una conjetura sobre una figura geom\u00e9trica. (Ministerio de Educaci\u00f3n Nacional, 2006).<\/ul>\n<p>&nbsp;<br \/>\nPor otro lado, Ben\u00edtez (2006) describe que la modelaci\u00f3n en matem\u00e1ticas y la resoluci\u00f3n de problemas juega un rol importante en la educaci\u00f3n, por lo cual el curr\u00edculo debe permitir que el estudiante adquiera de manera progresiva reconocimientos de patrones y relaciones, para poder desarrollar la capacidad de representar modelos de las situaciones dadas. El uso de tecnolog\u00edas en la modelaci\u00f3n juega, hoy por hoy, un rol fundamental, permite construir modelos de problemas en contextos reales sin tener una formaci\u00f3n s\u00f3lida en matem\u00e1ticas, el estudiante pudiera hacer conjeturas simples de modelos m\u00e1s est\u00e1ndar, pero la tecnolog\u00eda permite hacer, en edades tempranas, modelos de estructuras m\u00e1s elaboradas que involucren \u00e1lgebra, ecuaciones diferenciales usando funciones en varias variables.<\/p>\n<p><b>Contexto<\/b>. Seg\u00fan Freudenthal contexto significa ese \u201cdominio de la realidad el cu\u00e1l, en alg\u00fan proceso de aprendizaje particular, es revelado al alumno para ser matematizado\u201d (1991). Los contextos son considerados como un aspecto \u00edntimo al problema, este permite a los estudiantes suponer una situaci\u00f3n, representarla esquem\u00e1ticamente mediante un modelo y, por medio de este modelo, llegar al resultado del problema en cuesti\u00f3n (Heuvel\u2010Panhuizen, 1996).<br \/>\nMart\u00ednez Silva, M. y Gorgori\u00f3 i Sol\u00e1, N. (2004) hacen la distinci\u00f3n de los t\u00e9rminos contexto real, contexto simulado y contexto evocado. El contexto utilizado en este proyecto fue un contexto real, el cual se refiere a la situaci\u00f3n de pr\u00e1cticas \u201creales\u201d de las matem\u00e1ticas, al entorno sociocultural donde esta pr\u00e1ctica tiene lugar, en este \u00e1mbito, el conocimiento matem\u00e1tico es usado para resolver una situaci\u00f3n de car\u00e1cter pr\u00e1ctico. Ejemplos de estas situaciones son las actividades de compraventa, el uso de un plano para orientarse en una ciudad, la interpretaci\u00f3n de los gr\u00e1ficos o el uso de conceptos y procedimientos matem\u00e1ticos en las distintas pr\u00e1cticas profesionales.<\/p>\n<p>En este sentido, el punto de partida del proyecto es el an\u00e1lisis de un problema real dado que este tipo de problemas tienen una dificultad mayor al intentar ser modelado debido al n\u00famero, por lo general, grande de variables presentes. La idea es que se pueda partir de un caso particular y llegar a lo m\u00e1s general, usando conocimientos previos, implementando aspectos hist\u00f3ricos y epistemol\u00f3gicos e implementando la tecnolog\u00eda. El siguiente esquema presentado por Ben\u00edtez (2006) resume la idea anterior.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 2.<\/strong> Modelaci\u00f3n a partir de un contexto real<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Aspectos Matem\u00e1ticos<\/strong><\/p>\n<p><b>La integral y sumas de Riemann<\/b>. El c\u00e1lculo de la integral tiene sus inicios en la antig\u00fcedad griega, donde se pretend\u00eda encontrar \u00e1reas de figuras cuadradas y triangulares usando los m\u00e9todos de c\u00e1lculo de \u00e1rea a trav\u00e9s de los m\u00e9todos de cuadratura. Sin embargo, r\u00e1pidamente se encontraron con figuras cuyo m\u00e9todo de cuadratura no era eficiente, por ejemplo el \u00e1rea de figuras no cuadradas como el c\u00edrculo y la par\u00e1bola acotada por un segmento. El primer matem\u00e1tico griego en plantear un m\u00e9todo para el c\u00e1lculo de \u00e1reas de figuras no regulares fue Arqu\u00edmedes (287-212 a.C.) que fue el m\u00e9todo Exhaustivo. Este m\u00e9todo consiste en agotar una figura plana a trav\u00e9s de pol\u00edgonos de \u00e1reas conocidas. Entre m\u00e1s pol\u00edgonos inscriba o circunscriba en la figura, mejor ser\u00e1 su aproximaci\u00f3n de \u00e1rea.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 3.<\/strong> M\u00e9todo exhaustivo<\/p>\n<p>Esto no signific\u00f3 un avance importante en la \u00e9poca, sin embargo, vemos los atisbos del concepto de l\u00edmite y el concepto de integral. Esto porque modernamente, podemos entender e interpretar lo que dijo Arqu\u00edmedes, para calcular el \u00e1rea del c\u00edrculo se deben inscribir pol\u00edgonos de infinitos lados, dicho de otra forma<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">F\u00f3rmula 1<\/strong><\/p>\n<p>Con pasos lentos transcurre alrededor de 20 siglos donde se asoma los avances m\u00e1s significativos del c\u00e1lculo diferencial integral con Newton y Leibniz. Newton intentaba desarrollar una forma a trav\u00e9s de series de potencias a partir de su m\u00e9todo de Fluxiones y la interpolaci\u00f3n, que r\u00e1pidamente desembocaron en problemas de convergencia. Estos principios se fundamentaron con J. Bernoulli, quien escribi\u00f3 el primer curso sistem\u00e1tico de c\u00e1lculo integral en 1742. Por otro lado, Leibniz fundament\u00f3 estrategias para el c\u00e1lculo de la primitiva o antiderivada, sin embargo, se centr\u00f3 en la integral definida y expres\u00f3 la integral tal y como se conoce hoy en d\u00eda<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">F\u00f3rmula 2<\/strong><\/p>\n<p>Fue finalmente Euler quien establece criterios de b\u00fasqueda de \u00e1reas y vol\u00famenes, resuelve los problemas de las cuadraturas y resuelve problemas con ecuaciones diferenciales dando as\u00ed los principios del c\u00e1lculo integral. El problema de la cuadratura se resuelve y se fundamenta en el an\u00e1lisis matem\u00e1tico como una rama fundamental de las matem\u00e1ticas.<\/p>\n<p><b>Sumas de Riemann<\/b>. Una suma de Riemann es una aproximaci\u00f3n del \u00e1rea bajo la curva, al dividirla en varias formas simples (tales como rect\u00e1ngulos o trapecios). En una suma de Riemann izquierda aproximamos el \u00e1rea con rect\u00e1ngulos (normalmente de ancho igual), donde la altura de cada rect\u00e1ngulo es igual al valor de la funci\u00f3n en el extremo izquierdo de su base.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 4.<\/strong> Sumas inferiores de Riemann<\/p>\n<p>En una suma de Riemann derecha la altura de cada rect\u00e1ngulo es igual al valor de la funci\u00f3n en el extremo derecho de su base.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 5.<\/strong> Sumas superiores de Riemann<\/p>\n<p>En una suma de Riemann de punto medio la altura de cada rect\u00e1ngulo es igual al valor de la funci\u00f3n en el punto medio de su base.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 6.<\/strong> Sumas de Riemann<\/p>\n<p>Las sumas de Riemann realmente son una aproximaci\u00f3n num\u00e9rica al valor de la integral, lo que sucede con mucha frecuencia ya que en contextos reales no se conoce la funci\u00f3n (o modelo) por lo que el c\u00e1lculo debe hacerse utilizando estrategias de aproximaci\u00f3n num\u00e9rica como suced\u00eda con el m\u00e9todo exhaustivo.<\/p>\n<p>Estos hitos hist\u00f3rico-epistemol\u00f3gicos dejan entrever que el desarrollo de la integral sufri\u00f3 avances y retrocesos a lo largo de su historia, aportes de gigantes, parafraseando a Newton, permitieron hoy por hoy el estudio del C\u00e1lculo Integral y el an\u00e1lisis matem\u00e1tico como ramas reconocidos y fundamentales de las matem\u00e1ticas (Recalde, 2018).<\/p>\n<p><b>Uso e implementaci\u00f3n de la tecnolog\u00eda<\/b>. El uso de herramientas tecnol\u00f3gica en la educaci\u00f3n ha centrado la atenci\u00f3n de expertos, debido a su versatilidad, ha desplazado de manera vertiginosa pr\u00e1cticas de aula centrada en l\u00e1piz y papel. El f\u00e1cil acceso hoy en d\u00eda a los medios tecnol\u00f3gicos posibilita  mucho m\u00e1s la tarea de implementarlos en el aula.<\/p>\n<p>El uso de herramientas tecnol\u00f3gica en el aula tiene distintos roles como el de motivador, permite capturar mucho m\u00e1s la atenci\u00f3n, permite interacci\u00f3n dentro y fuera del aula, potencia la autonom\u00eda, es flexible, permite la exploraci\u00f3n constante y aporta al pensamiento cr\u00edtico. En este sentido, docentes y expertos deben promover situaciones did\u00e1cticas mediadas por tecnolog\u00eda, evaluar su potencial y posibles riesgos de la implementaci\u00f3n, generando as\u00ed, un ambiente sano de aprendizaje, donde el recurso tecnol\u00f3gico sea el medio y no el fin.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Dise\u00f1o metodol\u00f3gico<\/i><\/strong><br \/>\n<b>Fases del proyecto<\/b>. Para el dise\u00f1o e implementaci\u00f3n del proyecto, se tuvieron en cuenta las fases propuestas por el profesor David Ben\u00edtez en su tesis doctoral (2006):<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 7.<\/strong> Fases del estudio<\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: Tesis Doctoral David Ben\u00edtez (2006)<\/p>\n<p>A continuaci\u00f3n, se explica lo realizado en cada una de las fases.<br \/>\n<b>Dise\u00f1o<\/b>. El dise\u00f1o de las hojas de trabajo se elabor\u00f3 teniendo en cuenta el programa del curso y las rutas construidos por los docentes, considerando el formato de expectativas, saberes y competencias. Luego se hizo una selecci\u00f3n del tema o concepto a utilizar y en una deliberaci\u00f3n se seleccion\u00f3 la integral por su versatilidad en la aplicaci\u00f3n en problemas de contexto real; finalmente, se realiz\u00f3 una selecci\u00f3n del problema. Esto pasa por una investigaci\u00f3n del campus universitario, la creatividad de los docentes y la localizaci\u00f3n geogr\u00e1fica de la universidad y sus fuentes h\u00eddricas. Se intent\u00f3 que todo esto estuviera mediado por una situaci\u00f3n cercana a los estudiantes, relaciones interpersonales que los hicieran sentirse identificados y los hiciera responsables de dicha soluci\u00f3n.<\/p>\n<p><b>Validaci\u00f3n<\/b>. Para la validaci\u00f3n del proyecto se utilizaron las siguientes dos t\u00e9cnicas:<\/p>\n<ul>\n<li>\n\t<b>Coevaluaci\u00f3n<\/b>: como se mencion\u00f3 anteriormente, el proyecto tuvo el aporte y revisi\u00f3n de un doctor en educaci\u00f3n y matem\u00e1tico y dos magister en educaci\u00f3n, de formaci\u00f3n matem\u00e1tico y fil\u00f3sofo respetivamente. Sus revisiones y aportes permanentes y reflexivas permitieron la construcci\u00f3n de las hojas de trabajo, el an\u00e1lisis y reflexi\u00f3n de los datos, el acompa\u00f1amiento en aula, la revisi\u00f3n y an\u00e1lisis de clases y programas de curso, como la ficha t\u00e9cnica de presentaci\u00f3n. Este proceso valida, en primera medida, el proyecto que se implement\u00f3 en el curso.<\/li>\n<li>\n\t<b>Pilotaje<\/b>: una prueba piloto en el mismo curso y con igual n\u00famero de grupos se llev\u00f3 a cabo el semestre 2021-2. Este piloto permiti\u00f3 reconocer aciertos y desaciertos de la hoja de trabajo, corrigiendo, con ayuda de los expertos, aquellas pr\u00e1cticas que no fueron relevantes o generaron inconvenientes, adem\u00e1s fortalecer aquello que tuvo \u00e9xito y fue relevante para el proyecto.<\/li>\n<\/ul>\n<p><b>Implementaci\u00f3n de tecnolog\u00eda<\/b>. La implementaci\u00f3n de la tecnolog\u00eda se llev\u00f3 a cabo en el momento en que fue necesario el uso del modelo de regresi\u00f3n para modelar el problema propuesto. En este sentido, se llev\u00f3 una explicaci\u00f3n de tipo te\u00f3rica el primer d\u00eda de la implementaci\u00f3n acerca de la importancia del modelo y en la segunda sesi\u00f3n, con apoyo audiovisual, se explic\u00f3 el modelo de regresi\u00f3n en GeoGebra. No se llev\u00f3 a cabo un taller de comandos b\u00e1sicos GeoGebra debido al conocimiento previo que ten\u00edan los estudiantes del programa. Sin embargo, en las asesor\u00edas, la docente estuvo pendiente de preguntas relacionadas con el tema.<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<b>Recolecci\u00f3n de datos<\/b>. Para la recolecci\u00f3n de datos se llevaron a cabo dos hojas de trabajo, en la primera hoja de trabajo se recolect\u00f3, en la tabla adjunta, los m\u00e9todos que propusieron los grupos de trabajo y la clasificaci\u00f3n de estos. En esta fase, el trabajo fue aut\u00f3nomo de los grupos, se trat\u00f3 de intervenir en sus discusiones, estando atenta todo el tiempo al tipo de expresiones usadas; posteriormente, se pidi\u00f3 que hicieran una exposici\u00f3n al resto del grupo para comunicar sus ideas. En la segunda hoja de trabajo se expuso el concepto formal de la Integral presentando, primero, el m\u00e9todo exhaustivo que luego evoluciona a las sumas de Riemann y luego al Teorema fundamental del C\u00e1lculo. Se resalta la importancia del modelo (funci\u00f3n) como requisito para la integraci\u00f3n y el c\u00e1lculo del \u00e1rea bajo la curva y la implementaci\u00f3n de la tecnolog\u00eda en la b\u00fasqueda del modelo de regresi\u00f3n. El producto final solicitado a los estudiantes es un art\u00edculo de investigaci\u00f3n.<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<b>An\u00e1lisis de datos<\/b>. El an\u00e1lisis de datos se lleva a cabo en dos fases propuestas bajo la metodolog\u00eda cualitativa:<\/p>\n<ul>\n<li>\n<b>Fase 1<\/b>: recolecci\u00f3n de datos de encuestas de opini\u00f3n y entrevistas, en las que se cruza la informaci\u00f3n de los aspectos m\u00e1s importantes como relevancia, coherencia, eficacia y calidad de los recursos utilizados.<\/li>\n<li>\n<b>Fase 2<\/b>: an\u00e1lisis mixto de los talleres y respuestas a ejercicios planteados a la luz de las tem\u00e1ticas sugeridas.<\/li>\n<\/ul>\n<p><b>Materiales y Recursos<\/b>. En este proyecto se utilizaron los siguientes materiales y recursos:<br \/>\nmetodolog\u00eda cualitativa:<\/p>\n<ul>\n<li><b>GeoGebra<\/b>: es un software matem\u00e1tico din\u00e1mico para todos los niveles educativos que re\u00fane geometr\u00eda, \u00e1lgebra, hojas de c\u00e1lculo, gr\u00e1ficos, estad\u00edsticas y c\u00e1lculo en un solo motor. El programa permiti\u00f3 encontrar el modelo buscado, adem\u00e1s de una excelente precisi\u00f3n del \u00e1rea solicitada.<\/li>\n<li><b>Hoja de trabajo<\/b>: es la secuencia did\u00e1ctica planteada para los estudiantes y docentes, explica el paso a paso de lo que se hace en cada fase de la implementaci\u00f3n del proyecto.<\/li>\n<li><b>Cinta m\u00e9trica<\/b>: referencia a los instrumentos para toma de medida que usaron los estudiantes, est\u00e1 en la categor\u00eda de recursos manipulables el cual permiti\u00f3 medir en campo y hacer una toma de datos..<\/li>\n<li><b>Hoja milimetrada<\/b>: el objeto de hacer una excelente precisi\u00f3n se usaron hojas de mil\u00edmetros que permit\u00edan ubicar puntos decimales en el plano con un m\u00ednimo margen de error.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\"><i>La fase de apropiaci\u00f3n instrumental<\/i><\/strong><br \/>\nEn esta fase se expuso a los estudiantes a dos sesiones te\u00f3rico pr\u00e1cticas sobre el manejo del Software GeoGebra, como se mencion\u00f3, no se tuvo taller de manejo b\u00e1sico. En la sesi\u00f3n 3 de la semana 13 de la implementaci\u00f3n del proyecto se dict\u00f3 el taller Regresi\u00f3n con GeoGebra, usando como base ejemplos presentados en clase. Se llev\u00f3 a cabo la implementaci\u00f3n de la hoja de c\u00e1lculo en GeoGebra cl\u00e1sico y el manejo de an\u00e1lisis de regresi\u00f3n de dos variables para hacer la respectiva aproximaci\u00f3n al polinomio y posteriormente a la integral, en la siguiente sesi\u00f3n se tuvo en cuenta un an\u00e1lisis polinomio y el margen de error del mismo, usando varias veces el sistema de regresi\u00f3n para aproximar con m\u00e1s exactitud el polinomio que modelara el lago.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Implementaci\u00f3n<\/i><\/strong><br \/>\nLa actividad del proyecto consist\u00eda en buscar el lago de la universidad Icesi que tiene forma de coraz\u00f3n (cardiode) y buscar formas emp\u00edricas o formales de determinar el \u00e1rea superficial del lago. A continuaci\u00f3n, se presentan las hojas de trabajo, que se implementaron en el curso de C\u00e1lculo de una variable, grupos 01 y 02 del semestre 2022-1:<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 8.<\/strong> Hoja de trabajo #1<\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: Elaboraci\u00f3n propia<\/p>\n<p>\u00c1rea del lago<\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: Elaboraci\u00f3n propia<\/p>\n<p><b>En busca del \u00e1rea del lago<\/b>. La universidad Icesi cuenta con una amplia zona verde ba\u00f1ada por distintas fuentes h\u00eddricas y el paso de la quebrada Gual\u00ed, que constituye un brazo del r\u00edo Pance y se utiliza para las operaciones de riego dentro de la universidad Dentro del campus Universitario existe un lago peque\u00f1o en tama\u00f1o, pero significativo para su comunidad, pues este lago tiene forma de coraz\u00f3n.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 9.<\/strong> Lago Universidad Icesi<\/p>\n<p>En una discusi\u00f3n fren\u00e9tica Marlon y su novia Margot, pasan a un lado del lago, donde r\u00e1pidamente Margot lo ve y le dice a Marlon que si \u00e9l en verdad la quiere deber\u00e1 encontrar el \u00e1rea del lago en forma de Coraz\u00f3n. Ustedes como 4 de los mejores amigos incondicionales de Marlon desean ayudarle a resolver el dilema, pero \u00bfc\u00f3mo es posible calcular el \u00e1rea del lago en forma de coraz\u00f3n?<\/p>\n<p><b>Tareas<\/b>.<br \/>\n<b><i>Tarea 1: M\u00e9todos propuestos para calcular el \u00e1rea del lago<\/i><\/b>. En grupos de trabajo discutir y reflexionar sobre las posibles t\u00e9cnicas y m\u00e9todos para calcular el \u00e1rea del lago. Una vez se haya llevado a cabo la reflexi\u00f3n, elegir 3 m\u00e9todos y completar la tabla<\/p>\n<p><b><i>Tarea 2: Clasificaci\u00f3n De M\u00e9todos<\/i><\/b>. En la clase exponer la tabla elaborada anteriormente, esto le permitir\u00e1 al grupo ver diferencias y similitudes con las propuestas de los otros grupos. Finalmente, con ayuda de la docente, clasificar sus m\u00e9todos.<\/p>\n<p>Una vez se ha llevado a cabo la socializaci\u00f3n de los m\u00e9todos, se hace la presentaci\u00f3n de conceptos de sumas de Riemann, Integral definida y TFC. Antes de la presentaci\u00f3n de la segunda versi\u00f3n del TFC se solicita a los estudiantes completar la siguiente informaci\u00f3n.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 10.<\/strong> Hoja de trabajo #2<\/p>\n<p><strong style=\"color:#F1C40F;\">Fuente<\/strong>: Elaboraci\u00f3n propia<br \/>\nUna vez se haya llevado a cabo la socializaci\u00f3n, durante la clase, de las ideas, se lleva a cabo la presentaci\u00f3n del trabajo final.<\/p>\n<p><b><i>Tarea 3: Art\u00edculo De Investigaci\u00f3n<\/i><\/b>. Despu\u00e9s de los an\u00e1lisis hechos en clase, en grupos de trabajo elegir dos de los m\u00e9todos (estos pueden ser los mismos presentados en la tabla o se pueden cambiar). Con los m\u00e9todos elegidos y llev\u00e1ndolos a la pr\u00e1ctica, escribir un art\u00edculo de investigaci\u00f3n con la implementaci\u00f3n, an\u00e1lisis y conclusi\u00f3n de la aplicaci\u00f3n de dichos m\u00e9todos. Para la escritura del art\u00edculo se debe tener en cuenta el formato sugerido presentado en clase.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\"><i>An\u00e1lisis de resultados<\/i><\/strong><br \/>\nEl an\u00e1lisis, que se llev\u00f3 a cabo con una metodolog\u00eda cualitativa, sugiere, de manera \u00edntima, una vivencia del investigador con los observados. Recomienda un proceso reflexivo y din\u00e1mico que se alimenta fundamentalmente de la experiencia de los investigadores con los escenarios estudiados , en este sentido, se extraen conclusiones de datos no estructurados y heterog\u00e9neos que no son expresados de forma num\u00e9rica o cuantificable.<\/p>\n<p>Se analiza a profundidad las encuestas y entrevistas recogidas, adem\u00e1s los escritos entregados por los estudiantes y las exposiciones (oral) de sus registros, se analizan las respuestas a las preguntas realizadas y se observan los estados de (\u00e1nimo &#8211; expresi\u00f3n corporal) los gestos y figuras utilizadas por su propio cuerpo para expresar un resultado, interpretando este a la luz de la teor\u00eda. Las fases de an\u00e1lisis sugeridas son las siguientes:<br \/>\nFase temprana de comunicaci\u00f3n: son las primeras expresiones orales usadas por los estudiantes, explicando, en sus propios t\u00e9rminos, los m\u00e9todos y procesos a utilizar para el c\u00e1lculo de \u00e1rea.<\/p>\n<p><b>Fase intermedia<\/b>: fase tiene un componente conceptual, pero no es totalmente formal, a los estudiantes se les hace una presentaci\u00f3n temprana del concepto sugerido (La integral) para la resoluci\u00f3n del problema propuesto. Los estudiantes responden un cuestionario con preguntas dirigidas. En esta fase no hay mediaci\u00f3n de tecnolog\u00eda.<\/p>\n<p><b>Fase formal<\/b>: grupo de estudiantes debe presentar un informe escrito, tipo art\u00edculo de publicaci\u00f3n, dando soluci\u00f3n al problema: hallar el \u00e1rea del lago. En esta fase formal hay mediaci\u00f3n tecnol\u00f3gica (GeoGebra) y acompa\u00f1amiento del docente con sesiones de asesor\u00edas grupales. Se revisar\u00e1 en el documento el nivel de formalismo usado, las estrategias o heur\u00edsticas para resolver el problema y el grado de aporte tecnol\u00f3gico para la resoluci\u00f3n del problema (m\u00e9todo de regresi\u00f3n) y las conclusiones.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Recolecci\u00f3n de datos<\/i><\/strong><br \/>\nSe utilizaron 2 hojas de trabajo para hacer la recolecci\u00f3n de datos, el trabajo se hizo de manera individual y grupal siempre en compa\u00f1\u00eda del docente. En todo el proceso la comunicaci\u00f3n, como habilidad central, estuvo presente, especialmente en la escritura y oralidad. De la primera hoja de trabajo parte 1, la cual se aplic\u00f3 a 33 estudiantes [18 mujeres y 15 hombres] se obtuvo la soluci\u00f3n del cuadro #1, se indaga por el reconocimiento y discusi\u00f3n de 3 m\u00e9todos distintos que permitieran resolver el problema de C\u00e1lculo de \u00e1rea del lago.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 11.<\/strong> Algunas respuestas de los estudiantes al cuadro de m\u00e9todos para calcular el \u00e1rea del lago<\/p>\n<p>En este primer resultado se obtiene una consolidaci\u00f3n del m\u00e9todo exhaustivo como m\u00e9todo preferido; como se puede ver en algunas de sus respuesta, la mayor poblaci\u00f3n elije m\u00e9todos de divisiones de las figuras, aunque de distintas formas, las divisiones suponen una idea preconcebida de construir dentro de la figura, figuras m\u00e1s peque\u00f1as cuyas \u00e1reas sean conocidas, por lo general cuadrados, c\u00edrculos o tri\u00e1ngulos sobrepuestos de distintas formas; un segundo grupo, m\u00e1s reducido, elije como m\u00e9todo la concepci\u00f3n de integral, suponiendo una funci\u00f3n previa y calcular la integral definida; un grupo final elije como m\u00e9todo la posibilidad de uso de tecnolog\u00eda como drones y GeoGebra.<\/p>\n<p>En esta fase del proyecto se espera que los estudiantes se sensibilicen sobre la importancia del saber hacer, es clave sus conocimientos previos, pero es necesario complementar con nuevas capacidades y habilidades, las cuales, seg\u00fan Solar, Garc\u00eda y Rojas (2014) ponen a los estudiantes en el centro, al docente facilitando, sin dar soluci\u00f3n, y abriendo el panorama de las distintas posibles soluciones y su discusi\u00f3n.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 12.<\/strong> Distribuci\u00f3n de m\u00e9todos usados para el c\u00e1lculo del \u00e1rea y su clasificaci\u00f3n<\/p>\n<p>Como mencionan Garc\u00eda, Coronado y Giraldo (2017) es necesario que el primer paso sea la comunicaci\u00f3n del problema para buscar su posible soluci\u00f3n, si los estudiantes no comprenden la complejidad del problema no buscar\u00e1n soluciones. En la parte 2 de la ruta #1 los estudiantes deben exponer a la clase los m\u00e9todos elegidos; el resto de la clase debe hacer preguntas sobre la viabilidad y calidad de la medici\u00f3n para as\u00ed, reestructurar o reformar su propuesta en una versi\u00f3n a futuro.<\/p>\n<p>En la hoja de trabajo #2 tarea 1, se lleva a cabo la conceptualizaci\u00f3n en una fase temprana, la cual es acompa\u00f1ada con una serie de preguntas dirigidas a la discusi\u00f3n. Esta fase de presentaci\u00f3n formal se alcanza a trav\u00e9s de la presentaci\u00f3n, usando videos y la discusi\u00f3n en clase sobre la definici\u00f3n, uso y formalizaci\u00f3n de la noci\u00f3n de integral, esta fase se llev\u00f3 a cabo con 31 estudiantes [16 hombres y 15 mujeres]. En esta fase se prioriz\u00f3 la escritura, consolidando datos relevantes y tendencias de las respuestas. El trabajo se hizo de manera cooperativa, buscando que, como mencionan Garc\u00eda, Coronado y Giraldo (2017), ellos participen de manera activa, haya discusi\u00f3n y negociaci\u00f3n de las ventajas y desventajas de sus m\u00e9todos; adem\u00e1s la b\u00fasqueda del modelo, que es la \u00faltima fase, se hace necesario para resolver el problema.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 13.<\/strong> Respuestas a la ruta #2 de un grupo de estudiantes<\/p>\n<p>La tendencia mostr\u00f3 que, al hablar de integral e integral definida, estos conceptos se definen casi de la misma manera, haciendo alusi\u00f3n al termino \u201c\u00e1rea\u201d mientras que otros grupos hablaron de integral como la funci\u00f3n u operaci\u00f3n opuesta a la derivada. Lo cual menciona Recalde (2018) es un pensamiento heredado de los griegos, el problema griego principal ha sido la b\u00fasqueda de la cuadratura de las curvas, en general, de aquellas que no son cuadradas. Definir integral a partir de esos par\u00e1metros es necesario pero incompleto.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 14.<\/strong> Definici\u00f3n de integral como \u00e1rea bajo la curva<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 15.<\/strong> Definici\u00f3n de integral como antiderivada<\/p>\n<p>Cabe mencionar que, si bien ambos conceptos podr\u00edan asemejarse, la profundidad epistemol\u00f3gica del concepto de Integral va m\u00e1s all\u00e1 de la noci\u00f3n de \u00e1rea y debe ser entendida como una aplicaci\u00f3n y no como la noci\u00f3n en s\u00ed misma (Recalde, 2018). Se obtuvieron tambi\u00e9n respuestas incorrectas o carentes de sentido que no lograron evidenciar la conjetura de dichas nociones.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 16.<\/strong> Respuesta incorrecta<\/p>\n<p>Estos resultados nos mostraron que, en general hubo una apropiaci\u00f3n del concepto de Integral, integral definida y \u00e1rea bajo la curva. El 87% lograron conjeturar y plasmar sus ideas de Integral y los elementos claves para resolver la tarea de calcular el \u00e1rea del lago. Finalmente, en la ruta #2 tarea 2 se hace la entrega de la recolecci\u00f3n de los art\u00edculos realizados por los grupos de trabajo sobre la forma como han resulto la tarea de calcular el \u00e1rea del lago en forma de coraz\u00f3n. Se entregaron un total de 10 art\u00edculos , los cuales mostraron de manera formal, el c\u00e1lculo del \u00e1rea. El m\u00e9todo exhaustivo sigui\u00f3 siendo uno de los preferidos, sin embargo, la evoluci\u00f3n del m\u00e9todo fue m\u00e1s precisa y con menos margen de error. 6 de los 10 art\u00edculos tomaron como base el m\u00e9todo exhaustivo para el c\u00e1lculo de \u00e1rea. 8 de los 10 art\u00edculos tomaron como m\u00e9todo secundario o base el uso de la integral definida para el c\u00e1lculo de \u00e1rea, usando distintos m\u00e9todos para encontrar la ecuaci\u00f3n correspondiente. El 80% de los art\u00edculos usaron la ecuaci\u00f3n del cardiode.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 17.<\/strong> Uso del m\u00e9todo exhaustivo<\/p>\n<p>Lo que se supone dentro del c\u00e1lculo de \u00e1rea del lago es asumir valores ideales y reemplazarlos en la ecuaci\u00f3n; usando planos y ecuaciones polares. El m\u00e9todo en general les result\u00f3 m\u00e1s confiable puesto que el modelo matem\u00e1tico presupone unos valores cercanos y reales; la dificultad de este m\u00e9todo se encuentra en que la figura es totalmente irregular y asumir que pueda ser una cardiode real y completa crea un margen de error importante. Sin embargo, el m\u00e9todo admite un manejo conceptual significativo por parte de los estudiantes. Muestra lo alcanzado a nivel cognitivo en el curso.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 18.<\/strong> M\u00e9todo de la integral y ecuaci\u00f3n del cardiode<\/p>\n<p>El tercer y \u00faltimo caso es el uso de la integral usando el modelo de regresi\u00f3n polin\u00f3mica usado por el 20% de los grupos de trabajo. En este sentido el c\u00e1lculo parece ser el m\u00e1s preciso, puesto que, si bien se usa la integral, al obtener la ecuaci\u00f3n de manera experimental presupone un margen de error m\u00ednimo y la ecuaci\u00f3n obtenida se soporta en el uso de tecnolog\u00eda, incorporando su precisi\u00f3n y versatilidad.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 19.<\/strong> Modelo de regresi\u00f3n y uso de vectores<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><strong style=\"color:#F1C40F;\">Figura 20.<\/strong> Ecuaci\u00f3n y \u00e1rea obtenidos por el modelo de regresi\u00f3n<\/p>\n<p>Estos grupos demostraron, en mayor medida, la comprensi\u00f3n del concepto Integral y el alcance para el c\u00e1lculo de \u00e1rea, adem\u00e1s herramientas de resoluci\u00f3n de problemas, teniendo en cuenta obst\u00e1culos y errores emergentes por sus mediciones. La b\u00fasqueda del modelo (modelaci\u00f3n) cerr\u00f3 su ciclo, apoyado en la tecnolog\u00eda. En este sentido se cumplen las etapas de modelaci\u00f3n mencionadas por Pollak, H. (2007):<\/p>\n<ul>\n<li>Identificar una pregunta del mundo real que se quiere entender.<\/li>\n<li>Seleccionar objetos particulares importantes para la pregunta hecha e identificar relaciones entre ellos.<\/li>\n<li>Decidir cu\u00e1les son \u00fatiles e ignorar los que no lo son.<\/li>\n<li>Trasladar esta versi\u00f3n en t\u00e9rminos matem\u00e1ticos, obtener f\u00f3rmulas matem\u00e1ticas para esta pregunta determinada y resolver el problema.<\/li>\n<\/ul>\n<p>En este sentido se hace necesario implementar nuevos modelos para mediciones m\u00e1s elaboradas, la integral como concepto central del c\u00e1lculo, define par\u00e1metros, pero carece de sentido si no involucramos a los estudiantes a la b\u00fasqueda del modelo.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">\u00bfCu\u00e1les son las lecciones aprendidas?<\/strong><br \/>\nUno de los grandes aprendizajes que dej\u00f3 esta implementaci\u00f3n fue la posibilidad de contrastar el modelo tradicional con el modelo de pedagog\u00eda activa propuesto por la universidad, el estudiante como centro del modelo, es un actor importante al que se debe asignar responsabilidades que van m\u00e1s all\u00e1 de las tareas sencillas de resolver ejercicios de algoritmos, que suelen ser repetitivos y carentes de sentido, este tipo de hojas de trabajo desarrollan en ellos el trabajo creativo, la habilidad investigativa y la capacidad comunicativa.<\/p>\n<p>Los roles de estudiantes y profesores cambian dr\u00e1sticamente en este modelo, el docente como facilitador debe dise\u00f1ar las actividades, formarse y actualizarse todo el tiempo, acompa\u00f1ar el proceso sin ser nunca el due\u00f1o de la verdad y de la forma de soluci\u00f3n, en este modelo, las soluciones son infinitas. El rol del estudiante es distinto, no es pasivo, sus nuevas tareas incluyen trabajar activamente, aprender a aprender, ense\u00f1ar, investigar y contrastar desarrollando significativamente el pensamiento cr\u00edtico y constructivo.<\/p>\n<p>El fin de la secuencia did\u00e1ctica es acompa\u00f1ar el proceso cognitivamente, gu\u00eda las actividades y cumple una funci\u00f3n de estructurar las tareas, dise\u00f1ada por el docente, permite retroalimentaci\u00f3n por parte de pares, expertos incluso por estudiantes, que, al ejecutarla pueden tomar una postura cr\u00edtica sobre su desarrollo.<\/p>\n<p>En este proyecto se hizo fundamental el apoyo de la tecnolog\u00eda, su rol de mediador permiti\u00f3 potenciar habilidades de visualizaci\u00f3n y aportar al fin \u00faltimo, que era la modelaci\u00f3n del problema. El uso de programas como GeoGebra y Excel facilitan algunos procesos, optimizando tiempo y algoritmos, c\u00e1lculos extensos, etc. Recordando que es el medio y no el fin, la implementaci\u00f3n de la tecnolog\u00eda en la secuencia did\u00e1ctica enriquece el proceso de aprendizaje.<\/p>\n<p>La soluci\u00f3n de problemas en contexto no solo acerca al estudiante al conocimiento, tambi\u00e9n dignifica la labor del saber hacer, los procesos de ense\u00f1anza y aprendizaje basados \u00fanicamente en conocimientos o temas, ha sido, por mucho tiempo, el modelo elegido para la educaci\u00f3n; sin embargo, en el nivel universitario los cursos deben aportar a esas competencias laborales, m\u00e1s all\u00e1 del conocimiento, crea necesidades, identifica dificultades y propende, con distintas soluciones, formas de aportar a la resoluci\u00f3n del problema. Competencias necesarias para la vida diaria y laboral.<\/p>\n<p>Una de las grandes preocupaciones de los maestros ha sido la motivaci\u00f3n de los estudiantes. Encontrar formas de \u201ccaptar\u201d la atenci\u00f3n en estos tiempos parece ser uno de los principales retos que tienen los educadores y las escuelas, pero con este trabajo, el cual moviliz\u00f3 a los estudiantes en todo el establecimiento educativo, los apropi\u00f3 y motiv\u00f3 a buscar formas de dar soluci\u00f3n al problema. Resaltar el compromiso de ellos para con su propuesta fue una de las mayores ganancias de la secuencia did\u00e1ctica, permitiendo establecer que, si hacemos a los estudiantes responsables de buscar el \u201ccomo\u201d, centr\u00e1ndose en el camino y no en el fin, la motivaci\u00f3n viene por a\u00f1adidura y los resultados son grandiosos.<\/p>\n<p>La comunicaci\u00f3n oral y escrita, ejes centrales de nuestra secuencia, fue la mayor de las ganancias. Guiar a los estudiantes a comprender explicar, formalizar y escribir hace parte de una competencia mayor que es la comunicaci\u00f3n, que toda opini\u00f3n o idea debe fundamentarse, cuidando la escritura, fomentando ejes de la ret\u00f3rica usada, incluso fomentando el cuidado de derechos de autor es nuestro aporte m\u00e1s grande a sus habilidades y competencias ciudadanas y laborales, incluso aportes de valores como la honestidad.<\/p>\n<p>A modo de recomendaci\u00f3n, la diversidad de m\u00e9todos de soluci\u00f3n encontrados en este proyecto, nos dejan entrever que es una metodolog\u00eda que se puede tranversalizar a otros ejemplos, otros cursos y otras ciencias. Es un modelo abierto, propenso a mejorarse, pero con todos los componentes para hacer de una tem\u00e1tica agradable y audaz, obteniendo los mejores resultados en los estudiantes, tanto cognitiva como competitivamente, identificando heur\u00edsticas nuevas, donde el docente es una aprendiz m\u00e1s en el modelo, tal como lo invita la pedagog\u00eda activa de nuestra universidad.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Referencias<\/strong><br \/>\nSolar, H., Garc\u00eda , B., &amp; Rojas , F. (2014). Propuesta de un Modelo de Competencia Matem\u00e1tica como articulador entre el curr\u00edculo, la formaci\u00f3n de profesores y el aprendizaje de los estudiantes. Educaci\u00f3n Matemtica , 33-67.<\/p>\n<p>Amezcua, M., &amp; Galvez, A. (2002). Los modos de an\u00e1lisis en investigaci\u00f3n cualitativa en salud. Revistad espa\u00f1ola de salud.<\/p>\n<p>Benitez, D. (2006). Formas de razonamiento que desarrollan estudiantes universitarios en la resoluci\u00f3n de problemas con el uso de tecnolog\u00eda. M\u00e9xico, distrito federal: CINVESTAV.<\/p>\n<p>Casta\u00f1o, G., &amp; Mac\u00edas, V. (2005). Una mirada a las competencias. Revista Escuela de Administraci\u00f3n de Negocios, 5-25.<\/p>\n<p>Castro Monserrat, M., &amp; Marin, D. (2019). Competencia digital e inclusi\u00f3n educativa. Dialnet, 1-37.<\/p>\n<p>Freudenthal, H. (1991). Revisiting Mathematics education. Dordrecht: Kluwer.<\/p>\n<p>Garcia, B., Coronado, A., &amp; Giraldo , A. (2017). Implementaci\u00f3n de un modelo te\u00f3rico a Priori de competencia matem\u00e1tica asociado al aprendizaje de un objeto matem\u00e1tico. Revista de Investigaci\u00f3n desarrollo e innovaci\u00f3n , 301-315.<\/p>\n<p>Icesi (2017). Proyecyo Educativo Institucional . Cali : Icesi.<\/p>\n<p>Ministerio de educaci\u00f3n nacional. (2006). Estandares B\u00e1sicos de competencias. 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Soluci\u00f3n de un problema de optimizaci\u00f3n con ayuda de GeoGebra<\/strong><br \/>\n<i>Paula Andrea Gonz\u00e1lez Parra y Lina Esperanza Soto Archila<\/i><\/summary>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\">Resumen<\/strong><br \/>\nEl objetivo principal de este trabajo es realizar un an\u00e1lisis sobre las estrategias que utilizaron estudiantes del curso C\u00e1lculo 1 de la Universidad Aut\u00f3noma de Occidente en el primer semestre del a\u00f1o 2022, alrededor de una situaci\u00f3n problema dada, apoy\u00e1ndose en el software GeoGebra y sus conocimientos previos sobre geometr\u00eda, trigonometr\u00eda, f\u00edsica y c\u00e1lculo diferencial. Los resultados revelaron que los estudiantes, pueden modelar una situaci\u00f3n problema mediante funciones y a partir de ellas realizar un an\u00e1lisis que les permita concluir o responder a una pregunta propuesta, evidenciando de esta manera competencias como la modelaci\u00f3n, comunicaci\u00f3n, argumentaci\u00f3n y resoluci\u00f3n de problemas. As\u00ed mismo se evidenci\u00f3 que el uso de herramientas tecnol\u00f3gicas fortalece la competencia de resoluci\u00f3n de problemas.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">\u00bfEn d\u00f3nde se hizo el proyecto y las caracter\u00edsticas de la poblaci\u00f3n?<\/strong><br \/>\nEl proyecto se realiz\u00f3 en la Universidad Aut\u00f3noma de Occidente, instituci\u00f3n de car\u00e1cter privado con acreditaci\u00f3n de alta calidad, ubicada en la comuna 22, al sur de la ciudad de Santiago de Cali. La universidad cuenta con programas de tipo tecnol\u00f3gico (10), profesional (29), especializaci\u00f3n (41), maestr\u00eda (8) y doctorado (3). La poblaci\u00f3n universitaria, en su mayor\u00eda, pertenece a los estratos socioecon\u00f3micos 2 (22,5%), 3 (34,2%) y 4 (20,4%). (Datos tomados de <a href=\"\/\/www.uao.edu.co\/informacion-institucional\/la-uao-en-cifras\u201d\" target=\"\u201d_blank\u201d\" rel=\"noopener\">https:\/\/www.uao.edu.co\/informacion-institucional\/la-uao-en-cifras<\/a>).<\/p>\n<p>El trabajo se realiz\u00f3 con un grupo de estudiantes de C\u00e1lculo 1, en el primer semestre del a\u00f1o 2022. En este semestre se retomaron las clases presenciales despu\u00e9s de un poco m\u00e1s de dos a\u00f1os en la modalidad denominada presencialidad virtual, debido a la Pandemia del COVID-19.<\/p>\n<p>El curso de c\u00e1lculo 1 es tomado por estudiantes de ingenier\u00eda de segundo semestre con edades entre 17 y 22 a\u00f1os. El grupo estaba conformado por 20 estudiantes, 4 mujeres (20%) y 16 hombres (80%), pertenecientes a los programas acad\u00e9micos de ingenier\u00eda mec\u00e1nica, mecatr\u00f3nica, industrial, biom\u00e9dica, electr\u00f3nica e inform\u00e1tica. En el curso de c\u00e1lculo 1 los ejes tem\u00e1ticos son l\u00edmites y continuidad, derivadas, integrales y series. Es el segundo curso ofrecido por el departamento de matem\u00e1ticas para los estudiantes de la facultad de ingenier\u00edas, quienes en el semestre anterior han tomado el curso de matem\u00e1ticas fundamentales, en el que los ejes principales son n\u00fameros reales, espacio y medida y funciones reales en una variable real.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">\u00bfQu\u00e9 se hizo y por qu\u00e9?<\/strong><br \/>\nSe propone a los estudiantes un espacio que posibilita no solamente una situaci\u00f3n problema en un contexto matem\u00e1tico, sino que adem\u00e1s favorece la conceptualizaci\u00f3n, simbolizaci\u00f3n y aplicaci\u00f3n de conceptos previos; en la primera parte y de forma individual, los estudiantes respondieron preguntas que dieran cuenta de los pre-saberes. En el sal\u00f3n de clase cada uno de los estudiantes respondi\u00f3 preguntas relacionadas con trigonometr\u00eda (preguntas 1-4) y f\u00edsica (pregunta 5), como tarea los estudiantes respondieron las preguntas relacionadas con optimizaci\u00f3n (preguntas 6 y 7). Luego, en el laboratorio de matem\u00e1ticas y en grupos, trabajaron la segunda parte en la que se buscaba analizar y modelar la situaci\u00f3n espec\u00edfica planteando una funci\u00f3n que mostrar\u00e1 la forma m\u00e1s efectiva de soluci\u00f3n de la situaci\u00f3n planteada.<\/p>\n<p>En la primera parte (pre-saberes), se propuso a los estudiantes preguntas que pod\u00edan responder haciendo uso de sus conocimientos previos, estas preguntas estaban dirigidas a indagar sobre teoremas y propiedades de los tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos, la relaci\u00f3n entre velocidad, tiempo y distancia; y c\u00f3mo hallar el m\u00ednimo de una funci\u00f3n tanto gr\u00e1fica como anal\u00edticamente (Anexo 1). En la segunda parte se expone la situaci\u00f3n problema espec\u00edfica (ver Anexo 2). Para esto se plantean unas preguntas iniciales en las cuales, de forma exploratoria, los estudiantes proponen diferentes soluciones propias al problema. Despu\u00e9s se les pide utilizar el recurso did\u00e1ctico <a href=\"\/\/www.geogebra.org\/m\/m9pchdbx\u201d\" target=\"\u201d_blank\u201d\" rel=\"noopener\">https:\/\/www.geogebra.org\/m\/m9pchdbx<\/a>, el cual fue creado en GeoGebra espec\u00edficamente para este trabajo, con el objetivo de explorar y analizar la relaci\u00f3n \u00e1ngulo-tiempo y de esta manera identificar el camino \u00f3ptimo para llegar a la caba\u00f1a y compararlos con sus soluciones propuestas previamente.<\/p>\n<p>Posteriormente los estudiantes responden algunas preguntas relacionadas con la situaci\u00f3n problema (pregunta 7 &#8211; Anexo 2), en la que deben utilizar sus conocimientos de f\u00edsica y razones trigonom\u00e9tricas con el fin de plantear una funci\u00f3n espec\u00edfica que modela el comportamiento de esta situaci\u00f3n, una vez encontrada esta funci\u00f3n, realizan la gr\u00e1fica en GeoGebra y obtienen el m\u00ednimo de la funci\u00f3n dada en el intervalo sugerido de acuerdo a la situaci\u00f3n particular, el cu\u00e1l es comparado y debe coincidir con el valor encontrado, analizando la tabla obtenida con el recurso GeoGebra proporcionado (pregunta 4 \u2013 Anexo 2).<\/p>\n<p>Finalmente, se les pide comparar los procesos algebraicos con la utilizaci\u00f3n de herramienta GeoGebra para resolver el problema planteado. Siendo conscientes de la dificultad que presenta para los estudiantes la resoluci\u00f3n de problemas que involucran un contexto matem\u00e1tico, debido no solamente a posibles errores a la hora de enfrentar estas situaciones, el requerimiento de ciertos procesos cognitivos y las emociones en ocasiones negativas que evocan, por ser esta una de las \u00e1reas con mayor dificultad (Mart\u00ednez 2002), el objetivo de esta actividad fue fortalecer la competencia de resoluci\u00f3n de problemas con la ayuda de la herramienta GeoGebra. En adelante se especificar\u00e1n los logros alcanzados con esta implementaci\u00f3n y las ventajas del uso del software como elemento que fortalece la participaci\u00f3n de los estudiantes en su proceso de aprendizaje.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">\u00bfC\u00f3mo se hizo el proyecto?<\/strong><br \/>\nEl proyecto fue ejecutado en dos etapas, la primera fue el dise\u00f1o de la hoja de trabajo a presentar a los estudiantes y la segunda la ejecuci\u00f3n del problema planteado. Para esto fue necesario tener en cuenta las competencias matem\u00e1ticas que el estudiante deb\u00eda desarrollar (resoluci\u00f3n de problemas, modelaci\u00f3n, comunicaci\u00f3n, argumentaci\u00f3n), el uso de la herramienta tecnol\u00f3gica (software GeoGebra), los niveles de pensamiento (num\u00e9rico, variacional, espacial), y la teor\u00eda del aprendizaje por descubrimiento seg\u00fan el pedagogo estadounidense Jerome Bruner.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Dise\u00f1o de la hoja de trabajo<\/i><\/strong><br \/>\nLa hoja de trabajo se estructur\u00f3 en dos partes: los pre-saberes, basado en preguntas propuestas, para llevar al estudiante a indagar sobre los conocimientos previos que eran necesarios para dar soluci\u00f3n a la situaci\u00f3n planteada. En la segunda parte se propone una situaci\u00f3n matem\u00e1tica realista del c\u00e1lculo diferencial, la cual, por medio de una serie de preguntas, fue encaminando al estudiante, hasta llevarlo al an\u00e1lisis de la situaci\u00f3n y soluci\u00f3n de la misma.<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<b><i>Resoluci\u00f3n de problemas<\/i><\/b> (Romo, 2015)<br \/>\nEs un proceso conductual, manifiesto o cognitivo, que hace que est\u00e9 disponible una cantidad de alternativas de respuestas potencialmente eficaces para enfrentarse a los problemas y que aumenta la probabilidad de seleccionar la respuesta m\u00e1s eficaz de entre distintas alternativas.<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<b><i>Modelaci\u00f3n<\/i><\/b> (Villa et al., s.f.)<br \/>\nEl proceso de modelaci\u00f3n matem\u00e1tica viene siendo considerado como una actividad cient\u00edfica que se involucra en la obtenci\u00f3n de modelos propios de las dem\u00e1s ciencias. Este se puede considerarse como un ciclo que se desarrolla a trav\u00e9s de una serie de etapas de acuerdo con Berryy, J. &amp; Davies, A. (1996) citado en Crouch, R. &amp; Haines, C, (2004, p. 198), se desarrolla a trav\u00e9s de unas etapas; a saber: la declaraci\u00f3n del problema en el mundo real; formulaci\u00f3n de un modelo; soluci\u00f3n matem\u00e1tica; interpretaci\u00f3n de los resultados; evaluaci\u00f3n de la soluci\u00f3n; refinamiento del modelo y [nuevamente] la declaraci\u00f3n del problema en el mundo real. Potenciando de esta manera el desarrollo de las capacidades en el estudiante para posicionarse de manera cr\u00edtica ante las diferentes demandas del contexto social, junto con la capacidad para leer, interpretar, proponer y resolver situaciones problema.<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<b><i>Comunicaci\u00f3n<\/i><\/b> (<a href=\"\/\/www.mineducacion.gov.co\/1759\/articles-116042_archivo_pdf2.pdf\u201d\" target=\"\u201d_blank\u201d\" rel=\"noopener\">Minciencias<\/a>, s.f.)<br \/>\nLas distintas formas de expresar y comunicar las preguntas, problemas, conjeturas y resultados matem\u00e1ticos no son algo extr\u00ednseco y adicionado a una actividad matem\u00e1tica puramente mental, sino que la configuran intr\u00ednseca y radicalmente, de tal manera que la dimensi\u00f3n de las formas de expresi\u00f3n y comunicaci\u00f3n es constitutiva de la comprensi\u00f3n de las matem\u00e1ticas. Podr\u00eda decirse con Raymond Duval que, si no se dispone al menos de dos formas distintas de expresar y representar un contenido matem\u00e1tico, formas que \u00e9l llama \u201cregistros de representaci\u00f3n\u201d o \u201cregistros semi\u00f3ticos\u201d, no parece posible aprender y comprender dicho contenido.<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<b><i>Argumentaci\u00f3n<\/i><\/b> (<a href=\"\/\/pagines.uab.cat\/nuria_planas\/sites\/pagines.uab.cat.nuria_planas\/files\/suma_2010.pdf\u201d\" target=\"\u201d_blank\u201d\" rel=\"noopener\">pagines.uab.cat<\/a>, 2010)<br \/>\nEn el desarrollo de una argumentaci\u00f3n que va dirigida a la justificaci\u00f3n, no basta con producir argumentos, sino que es necesario someterlos a un examen de aceptabilidad. Duval (1999) utiliza los criterios de pertinencia y fuerza para decidir sobre la aceptabilidad de un argumento. La pertinencia del argumento es la relaci\u00f3n entre los contenidos de la afirmaci\u00f3n y del argumento que la justifica, teniendo que ocurrir que los contenidos sem\u00e1nticos se sobrepongan. La fuerza del argumento depende de: a) la resistencia que presente a contra-argumentos, es decir, que no tenga r\u00e9plica; y b) el valor epist\u00e9mico positivo, es decir, que sea evidente, necesario y aut\u00e9ntico.<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<b><i>Software GeoGebra<\/i><\/b> (Espeso, 2016)<br \/>\nGeoGebra es una plataforma para crear representaciones gr\u00e1ficas relacionadas con las matem\u00e1ticas. Est\u00e1 dividida en varias secciones, que incluyen \u00e1lgebra, geometr\u00eda, gr\u00e1ficos 3D, probabilidad y una parte de preprogramaci\u00f3n que permite tratar con ecuaciones y hojas de c\u00e1lculo. Toda la ejecuci\u00f3n puede realizarse en la p\u00e1gina web sin necesidad de instalar ning\u00fan software especial, aunque tambi\u00e9n ofrece la posibilidad de descarga de un programa de escritorio (Windows, Mac OS X, Linux), dispositivos m\u00f3viles (Android) o tablets (iOS, Android o Windows) para un uso <i>off line<\/i>.<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<b><i>Niveles de Pensamiento<\/i><\/b><\/p>\n<ul>\n<li><b>Pensamiento num\u00e9rico<\/b> (https:\/\/matemaye.wordpress.com\/que-es-2\/, 2014). Se refieren a la comprensi\u00f3n general que tiene una persona sobre los n\u00fameros y las operaciones junto con la habilidad y la inclinaci\u00f3n de usar esta comprensi\u00f3n en formas flexibles para hacer juicios matem\u00e1ticos y para desarrollar estrategias \u00fatiles al manejar n\u00fameros y las operaciones. El pensamiento num\u00e9rico se adquiere gradualmente y va evolucionando en la medida en que los alumnos tienen la oportunidad de pensar en los n\u00fameros y de usarlos en contextos significativos, y se manifiestan de diversas maneras de acuerdo con el desarrollo del pensamiento matem\u00e1tico. Es fundamental la manera como los estudiantes escogen, desarrollan y usan m\u00e9todos de c\u00e1lculo, incluyendo c\u00e1lculo escrito, c\u00e1lculo mental, calculadoras y estimaci\u00f3n.<\/li>\n<li><b>Pensamiento variacional<\/b> (Vasco, s.f.). El pensamiento variacional puede describirse aproximadamente como una manera de pensar din\u00e1mica, que intenta producir mentalmente sistemas que relacionen sus variables internas de tal manera que covar\u00eden en forma semejante a los patrones de covariaci\u00f3n de cantidades de la misma o distintas magnitudes en los subprocesos recortados de la realidad.<\/li>\n<li><b>Pensamiento espacial<\/b> (Arboleda, 2011). El pensamiento espacial es esencial para el m\u00e9todo cient\u00edfico, ya que es usado para representar y manipular informaci\u00f3n en el aprendizaje y en la resoluci\u00f3n de problemas. El manejo de informaci\u00f3n espacial para resolver problemas de ubicaci\u00f3n, orientaci\u00f3n y distribuci\u00f3n de espacios es peculiar para personas que tienen desarrollada su inteligencia espacial. Se estima que la mayor\u00eda de las profesiones cient\u00edficas y t\u00e9cnicas requieren personas que tengan un alto desarrollo de inteligencia espacial. En la actualidad se reconocen dos l\u00edneas de trabajo del docente en el campo espacial. Una de estas l\u00edneas es la organizaci\u00f3n y estructuraci\u00f3n del espacio (desarrollo del pensamiento espacial), otra direcci\u00f3n es la formaci\u00f3n en las nociones geom\u00e9tricas (desarrollo del pensamiento geom\u00e9trico).<\/li>\n<\/ul>\n<p><b><i>Jerome Bruner<\/i><\/b> (Mimenza, s.f.)<br \/>\nPara Jerome Bruner y para el resto de las teor\u00edas de \u00edndole cognitivista, uno de los elementos principales a la hora de conocer es la participaci\u00f3n activa del sujeto que aprende. Es decir, no se trata de que el individuo simplemente tome informaci\u00f3n del exterior, sino que esta debe ser procesada, trabajada y dotada de sentido por el sujeto para que se transforme en conocimiento.<\/p>\n<p>Seg\u00fan la teor\u00eda cognitiva de Bruner, en el proceso de conocer y aprender el ser humano intenta categorizar los sucesos y elementos de la realidad en conjuntos de \u00edtems equivalentes. As\u00ed, experimentamos las vivencias y la realidad percibida creando conceptos a partir de la discriminaci\u00f3n de los diferentes est\u00edmulos. En este proceso, denominado categorizaci\u00f3n, la informaci\u00f3n recibida del exterior es trabajada de forma activa, siendo codificada y clasificada con una serie de etiquetas o categor\u00edas con el fin de posibilitar la comprensi\u00f3n de la realidad. Esta categorizaci\u00f3n permite la formaci\u00f3n de conceptos y la capacidad de hacer predicciones y tomar decisiones. Es un modelo explicativo muy influido por las ciencias de la computaci\u00f3n, que se basan en el funcionamiento de los ordenadores de la \u00e9poca.<\/p>\n<p>Desde la perspectiva cognitiva de Bruner, a partir de la categorizaci\u00f3n, somos capaces de generar conocimiento. Estas categorizaciones no permanecer\u00e1n siempre estables y cerradas, sino que ir\u00e1n variando a partir de la experiencia vital, modific\u00e1ndose y expandi\u00e9ndose. A la hora de enfrentarse a una realidad que categorizar, el individuo puede establecer dos tipos de procesos, el Concept Formation o el conocido como Concept Attainment.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">\u00bfCon qu\u00e9 materiales se ejecut\u00f3 el proyecto?<\/strong><br \/>\nPara la ejecuci\u00f3n de este proyecto se utilizaron dos clases de materiales: a) los materiales manipulativos matem\u00e1ticos tales como regla, l\u00e1piz, papel, calculadora, entre otros; b) el software GeoGebra y c) herramientas ofim\u00e1ticas tales como: Word, Power Point y PDF. Para la realizaci\u00f3n de la segunda parte se hizo uso del laboratorio de matem\u00e1ticas de la Universidad Aut\u00f3noma de Occidente, el cual consta de 17 computadores cada uno de ellos cuenta con conexi\u00f3n a internet y el software GeoGebra entre otros.<\/p>\n<p>GeoGebra es un software de matem\u00e1ticas para todo nivel educativo, fue creado por Markus Hohenwarter como trabajo final de su maestr\u00eda en la universidad de Salzburgo (Austria), este software re\u00fane la geometr\u00eda, \u00e1lgebra, c\u00e1lculo y estad\u00edstica. Gracias a este software el docente puede crear y producir cualquier tipo de problema en este caso aplicaciones de las funciones.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">\u00bfQu\u00e9 resultados obtuvieron?<\/strong><br \/>\nPara describir los resultados obtenidos, tenemos en cuenta que la hoja de trabajo se realiz\u00f3 en dos fases, la primera parte relacionada con los pre-saberes y la segunda parte con la soluci\u00f3n del problema propuesto. Mostramos a continuaci\u00f3n los resultados obtenidos en cada una de las fases.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Primera parte<\/i><\/strong><br \/>\nEn la primera fase de la actividad (pre-saberes) los estudiantes contestaron de manera individual 7 preguntas, (ver Anexo 1). Las 5 primeras preguntas las respondieron durante una sesi\u00f3n de clase y las dos \u00faltimas preguntas las respondieron en casa, para esta parte pod\u00edan resolverlo en equipos. En esta primera parte el objetivo principal era indagar sobre sus conocimientos previos respecto a las propiedades y teoremas utilizadas para resolver tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos, entre estos el teorema de Pit\u00e1goras y las razones trigonom\u00e9tricas; adicionalmente, se indag\u00f3 sobre la relaci\u00f3n entre velocidad, distancia y tiempo, dado que estos eran los elementos b\u00e1sicos para la modelaci\u00f3n matem\u00e1tica del problema propuesto, en el cual se quer\u00eda hallar el tiempo m\u00ednimo necesario para que un excursionista llegara a su caba\u00f1a con algunas condiciones dadas relacionadas con su ubicaci\u00f3n y velocidad. Las \u00faltimas dos preguntas estaban relacionadas con el c\u00e1lculo de m\u00e1ximos y m\u00ednimos, tanto de manera anal\u00edtica, como gr\u00e1fica utilizando el software GeoGebra.<\/p>\n<p>En la primera pregunta: <b><i>\u00bfCu\u00e1les son las caracter\u00edsticas fundamentales de los tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos?<\/i><\/b>, el 85% de los estudiantes describen de manera correcta lo que es un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo y lo describen de manera precisa. Un 15% de los estudiantes dan caracter\u00edsticas generales de los tri\u00e1ngulos o no presentan una respuesta con una redacci\u00f3n clara. A continuaci\u00f3n, el n\u00famero de estudiantes que contestaron de manera correcta, parcialmente correcta, incorrecta o no contestaron.<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th>Correcto<\/th>\n<th>Parc. Correcto<\/th>\n<th>Incorrecto<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>17<\/td>\n<td>3<\/td>\n<td>0<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Entre las respuestas correctas tenemos:<\/p>\n<ul>\n<li>E9: \u201cSe caracterizan por su \u00e1ngulo interior que es recto, que mide 90O\u201d.<\/li>\n<li>E17: \u201cEs un tri\u00e1ngulo que tiene un \u00e1ngulo de 90O, dos catetos y una hipotenusa\u201d.<\/li>\n<li>E20: \u201cEstos tienen un \u00e1ngulo interior de 90O\u201d.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Algunas respuestas parcialmente correctas o que no caracterizan a un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo son:<\/p>\n<ul>\n<li>E10: \u201cEs un tri\u00e1ngulo que tiene 3 lados, base, altura e hipotenusa\u201d.<\/li>\n<li>E19: \u201cLos lados de sus dos catetos son iguales y la hipotenusa es el lado m\u00e1s grande, tiene un \u00e1ngulo de 90O\u201d.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Con respecto a la pregunta 2: <b><i>\u00bfDado un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo, qu\u00e9 propiedades o teoremas conoces que relacionen sus lados y sus \u00e1ngulos?<\/i><\/b> Se puede evidenciar que los estudiantes tienen interiorizado el teorema de Pit\u00e1goras y, adem\u00e1s, recuerdan que las identidades trigonom\u00e9tricas se aplican a tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos, el 75% de los estudiantes responden de manera correcta. Se observa que enuncian el teorema de Pit\u00e1goras con precisi\u00f3n y lo introducen en la caracterizaci\u00f3n de los tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos, sin embargo, algunas de sus redacciones no dan cuenta del concepto matem\u00e1tico al que quieren referirse. El 10% de los estudiantes no respondi\u00f3 y el 15% de los estudiantes dieron respuestas parcialmente correctas.<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th>Correcto<\/th>\n<th>Parc. Correcto<\/th>\n<th>Incorrecto<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>15<\/td>\n<td>3<\/td>\n<td>2<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Quienes respondieron de manera correcta, escribieron que las propiedades que conocen de tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos son:<\/p>\n<ul>\n<li>E7: \u201cEl teorema de Pit\u00e1goras, Identidades trigonom\u00e9tricas\u201d.<\/li>\n<li>E10: \u201cEl teorema de Pit\u00e1goras\u201d.<\/li>\n<li>E18: \u201cEl teorema de Pit\u00e1goras, ley del seno y ley del coseno\u201d.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Otros estudiantes mencionaron propiedades que no son caracter\u00edsticas de los tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos, por ejemplo:<\/p>\n<ul>\n<li>E12: \u201cRecuerdo el teorema de Pit\u00e1goras y la regla de 3\u201d.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Por su parte uno de los estudiantes no menciona propiedades, sino que de nuevo describe caracter\u00edsticas de un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo:<\/p>\n<ul>\n<li>E19: \u201cSu \u00e1ngulo es de 90O, tiene dos catetos\u201d.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Para la pregunta 3: <b>Si en un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo conoces las medidas de un \u00e1ngulo y el lado opuesto a ese \u00e1ngulo, <i>\u00bfc\u00f3mo puedes encontrar la medida de la hipotenusa utilizando razones trigonom\u00e9tricas?<\/i><\/b> Y para la pregunta 4: <b>Si en un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo conoces las medidas de un \u00e1ngulo y el lado adyacente a ese \u00e1ngulo, <i>\u00bfc\u00f3mo puedes encontrar la medida del cateto adyacente al \u00e1ngulo utilizando razones trigonom\u00e9tricas?<\/i><\/b> respectivamente, se encontr\u00f3 que algunos de los estudiantes utilizan bien las razones trigonom\u00e9tricas, enuncian de forma acertada la ecuaci\u00f3n que se podr\u00eda utilizar para encontrar el lado solicitado y en ocasiones dan ejemplos con su respectivo despeje, sin embargo, tambi\u00e9n se encontr\u00f3 que cuando se va a dar explicaci\u00f3n o argumentaci\u00f3n escrita a estas preguntas, algunos de los estudiantes presentan errores en su redacci\u00f3n o no tiene en cuenta la pregunta espec\u00edfica que se est\u00e1 haciendo.<\/p>\n<p>Para la pregunta 3 tenemos que solamente el 15% respondieron de manera correcta, el 60% de los estudiantes dieron respuestas parcialmente correctas y el 25% no respondi\u00f3 o respondi\u00f3 de manera incorrecta.<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th>Correcto<\/th>\n<th>Parc. Correcto<\/th>\n<th>Incorrecto<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>3<\/td>\n<td>12<\/td>\n<td>25<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Algunas de las respuestas incorrectas son:<\/p>\n<ul>\n<li>E8: \u201cLa hipotenusa es = co\/ca\u201d.<\/li>\n<li>E9: \u201cSus medidas son 90O y 180O y para encontrar la hipotenusa se calcula su cateto opuesto y adyacente\u201d.<\/li>\n<li>E16: \u201cSe puede obtener a trav\u00e9s de los catetos\u201d.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Entre las respuestas correctas tenemos:<\/p>\n<ul>\n<li>E4: \u201cConociendo el \u00e1ngulo y el lado opuesto a este, podemos hallar la hipotenusa con la raz\u00f3n trigonom\u00e9trica seno ya que:<br \/>\nsin\u2061\u03b8=Op\/Hip, Hip=Op.sin\u2061\u03b8\u201d.<\/li>\n<li>E17: \u201cTengo el \u00e1ngulo y opuesto, se puede encontrar con sin\u2061\u03b1=opuesto\/hipotenusa\u201d.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Para la pregunta 4 solamente el 10% de los estudiantes dio una respuesta correcta, 30% dio una respuesta parcialmente correcta y el 60% de los estudiantes dieron respuestas incorrectas.<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th>Correcto<\/th>\n<th>Parc. Correcto<\/th>\n<th>Incorrecto<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>2<\/td>\n<td>6<\/td>\n<td>12<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Entre las respuestas incorrectas tenemos<\/p>\n<ul>\n<li>E9: \u201cEs igual a la ra\u00edz cuadrada de la hipotenusa al cuadrado menos el cateto opuesto al cuadrado\u201d.<\/li>\n<li>E15: \u201cCoseno   cos\u2061\u03b8=A\/h\u201d.<\/li>\n<li>E18: \u201cCon la ley del coseno\u201d.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Entre las respuestas parcialmente correctas, se encontr\u00f3 el caso de estudiantes que recuerdan la raz\u00f3n trigonom\u00e9trica apropiada, pero se equivocan al momento de despejar, tenemos, por ejemplo:<\/p>\n<ul>\n<li>E4: \u201cConociendo el \u00e1ngulo y el lado opuesto a este, podemos hallar el cateto adyacente con la raz\u00f3n trigonom\u00e9trica tangente ya que:tan\u2061\u03b8=Op\/Ad, entonces Ad=Op.tan\u2061\u03b8\u201d.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Teniendo en cuenta las respuestas de las preguntas 3 y 4, encontramos que pocos estudiantes manejan de manera correcta las razones trigonom\u00e9tricas, algunos recuerdan las relaciones entre \u00e1ngulos y lados, pero cometen errores al momento de despejar y obtener la cantidad solicitada.<br \/>\nPara la pregunta 5: <b>Si sabes que un objeto se mueve a velocidad constante y conoces la velocidad y la distancia recorrida, <i>\u00bfc\u00f3mo puedes encontrar el tiempo necesario para recorrer esa distancia con la velocidad dada?<\/i><\/b><\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th>Correcto<\/th>\n<th>Parc. Correcto<\/th>\n<th>Incorrecto<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>4<\/td>\n<td>7<\/td>\n<td>9<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>El 20% de los estudiantes respondieron esta pregunta de manera correcta, 35% parcialmente correcta y el 45% no respondi\u00f3 o respondi\u00f3 de manera incorrecta. Entre los que no respondieron o respondieron de manera incorrecta tenemos las siguientes respuestas:<\/p>\n<ul>\n<li>E16: \u201cSe puede calcular a trav\u00e9s de una regla de tres\u201d.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Algunos de los estudiantes saben que existe una expresi\u00f3n que relaciona la velocidad, distancia y tiempo, pero no la recuerdan. Tienen algunas respuestas como:<\/p>\n<ul>\n<li>E3: \u201cusando la f\u00f3rmula de tiempo. No me acuerdo bien la f\u00f3rmula\u201d.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Otros estudiantes recuerdan de manera correcta la relaci\u00f3n, pero se equivocan al momento de despejar el tiempo:<\/p>\n<ul>\n<li>E9: v=d\/t, t=v\/d<\/li>\n<\/ul>\n<p>Por otra parte, entre las respuestas correctas tenemos:<\/p>\n<ul>\n<li>E4: \u201cAplicando las f\u00f3rmulas de movimiento rectil\u00edneo uniforme sabemos que x=v.t, t=x\/v\u201d.<\/li>\n<li>E8: \u201cTiempo es igual a distancia sobre velocidad\u201d.<\/li>\n<li>E17: \u201cEs la raz\u00f3n entre distancia y velocidad. Ejemplo (7 m)\/(10 m\u2044s)\u201d.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Se evidencia que algunos estudiantes tienen muy claros sus conceptos de la f\u00edsica y mencionan incluso que se trata de un movimiento uniforme, algunos estudiantes presentan la respuesta e incluyen ejemplos num\u00e9ricos. Algunos estudiantes recuerdan las relaciones de la f\u00edsica, pero cometen errores al momento de despejar.<\/p>\n<p>Para las preguntas 6 y 7, los estudiantes las resolvieron por fuera de la clase y pod\u00edan trabajar en grupos. Para la pregunta 7: <b>Dada la gr\u00e1fica de una funci\u00f3n continua <i>\u00bfc\u00f3mo puedes determinar el m\u00ednimo de esa funci\u00f3n en un intervalo dado?<\/i> Presenta un ejemplo gr\u00e1fico usando GeoGebra<\/b>.<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th>Correcto<\/th>\n<th>Parc. Correcto<\/th>\n<th>Incorrecto<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>13<\/td>\n<td>6<\/td>\n<td>1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Se observa en esta pregunta que la mayor\u00eda de los estudiantes responden de manera correcta, (65%). Solamente el 5% no respondi\u00f3 y 30% responde de manera parcialmente correcta. En las soluciones se observa que, aunque se ped\u00eda resolver el problema utilizando la herramienta GeoGebra, algunos estudiantes lo hacen de manera anal\u00edtica, aunque su respuesta es correcta, lo resuelven sin usar la herramienta computacional como lo sugiere la actividad. Entre las respuestas tenemos:<\/p>\n<ul>\n<li>E20: \u201cSe puede determinar el m\u00ednimo absoluto de una funci\u00f3n en un intervalo dado, haciendo la derivaci\u00f3n de la funci\u00f3n posteriormente igualarla a (0) y obtener los puntos cr\u00edticos, para despu\u00e9s continuar reemplazando las x en la ecuaci\u00f3n y obtener el menor resultado\u201d.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Imagen 1.<\/strong><\/p>\n<p>Tambi\u00e9n se evidenci\u00f3 que la mayor\u00eda de los estudiantes utilizaron de forma correcta la herramienta, as\u00ed por ejemplo los estudiantes E4 y E16 afirman que: \u201ctomamos la funci\u00f3n y la representamos gr\u00e1ficamente en Geogebra\u201d; sin embargo, escriben su respuesta usando l\u00e1piz y papel. A pesar de que est\u00e1n buscando el m\u00ednimo en el intervalo [-3,0] afirman que hay dos m\u00ednimos locales, es decir, consideran el que se encuentra por fuera del intervalo dado, pero reconocen de manera correcta el m\u00ednimo absoluto y aunque Geogebra les ha dado la respuesta, ellos argumentan que es el m\u00ednimo absoluto \u201cporque es el que m\u00e1s se aleja del 0\u201d.<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\">Imagen 2.<\/strong><\/p>\n<p>Para la pregunta 7: <b>Dada la expresi\u00f3n matem\u00e1tica de una funci\u00f3n, es decir, si tienes la funci\u00f3n <i>\u00bfc\u00f3mo puedes encontrar el valor m\u00ednimo de la funci\u00f3n dada?<\/i> Por ejemplo, encuentra el valor m\u00ednimo de la funci\u00f3n   en el intervalo [-4,2]<\/b>. En esta pregunta no se especificaba el m\u00e9todo de soluci\u00f3n, as\u00ed que entre las respuestas encontramos estudiantes que presentaron su respuesta usando GeoGebra y otros indicaron la soluci\u00f3n anal\u00edtica al problema de hallar el m\u00ednimo absoluto en un intervalo cerrado.<\/p>\n<p>Para los estudiantes E3 y E13 afirman que lo resuelven usando GeoGebra, sin embargo, escriben su respuesta usando papel y l\u00e1piz. Aunque la respuesta es correcta, la justificaci\u00f3n no es correcta. Afirman que \u201cEn el intervalo [-4,2] se puede verificar que en el punto (-1,6) la pendiente es 0 y es un punto donde se presenta un m\u00ednimo local, al ser el \u00fanico en la gr\u00e1fica aparentemente se convierte en un m\u00ednimo absoluto.\u201d De acuerdo a su justificaci\u00f3n, utilizan la herramienta para visualizar la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n, pero no utilizan el comando para obtener el m\u00ednimo absoluto, lo obtienen a partir de la visualizaci\u00f3n de la gr\u00e1fica.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Imagen 3.<\/strong><\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\"><i>Segunda parte<\/i><\/strong><br \/>\nEn esta segunda parte encontramos que los estudiantes resolvieron el problema propuesto, pudieron modelar el problema mediante una expresi\u00f3n matem\u00e1tica utilizando las razones trigonom\u00e9tricas y el concepto de velocidad. A diferencia de la primera parte, no se trabaj\u00f3 de forma individual sino los estudiantes se organizaron en grupos de 3 o 4 estudiantes con lo que se formaron 7 grupos de trabajo.<\/p>\n<p>En la primera pregunta: <b>plantea algunos caminos posibles para llegar a la caba\u00f1a. En cada caso calcula el tiempo necesario para llegar. Compara el tiempo que tardar\u00eda en llegar a la caba\u00f1a por cada uno de los caminos propuestos<\/b>. Las siguientes fueron los planteamientos de los grupos:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th>Correcto<\/th>\n<th>Parc. Correcto<\/th>\n<th>Incorrecto<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>4<\/td>\n<td>2<\/td>\n<td>1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>El 57% de los grupos respondieron esta pregunta de manera correcta, 29% parcialmente correcta y el 14% no respondi\u00f3 o respondi\u00f3 de manera incorrecta. Entre los que respondieron de manera correcta tenemos las siguientes:<br \/>\nRespuesta correcta G1:<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\">Imagen 4.<\/strong><\/p>\n<p>El grupo hall\u00f3 el tiempo que tarda un excursionista por tres caminos diferentes, uno en l\u00ednea recta (por el bosque) utilizando la hipotenusa del tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo, otro por dos l\u00edneas rectas ambas por el bosque y un tercero de manera perpendicular a la carretera, combinado con la misma carretera. Se pudo observar que en este caso el m\u00e1s corto fue el que combin\u00f3 bosque con la carretera.<\/p>\n<p>Respuesta parcialmente correcta G7: Los estudiantes consideraron un solo camino, por lo tanto, no pudieron realizar ninguna comparaci\u00f3n.<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\">Imagen 5.<\/strong><\/p>\n<p>Para la pregunta 2: <b>Si el excursionista camina solamente por el bosque, a una velocidad de 3km\/h <i>\u00bfcu\u00e1nto tiempo tardar\u00eda en llegar a la caba\u00f1a?<\/i><\/b> Todos los grupos la contestaron de manera correcta, algunos con mejor redacci\u00f3n y explicaci\u00f3n, pero todos llegaron a la soluci\u00f3n. El 72% de los grupos respondieron esta pregunta de manera correcta y el 14% parcialmente correcto y el 14% no respondi\u00f3 o respondi\u00f3 de manera incorrecta.<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th>Correcto<\/th>\n<th>Parc. Correcto<\/th>\n<th>Incorrecto<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>5<\/td>\n<td>1<\/td>\n<td>1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Entre los que respondieron de manera correcta tenemos al grupo G1:<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\">Imagen 6.<\/strong><\/p>\n<p>En la pregunta 3 se pide comparar el tiempo necesario para llegar a la caba\u00f1a utilizando dos caminos <b><i>\u00bfC\u00f3mo crees que el excursionista llega m\u00e1s r\u00e1pido a la caba\u00f1a; caminando solamente por el bosque (3km\/h) o caminando primero hacia la carretera y despu\u00e9s por la carretera hacia la caba\u00f1a?<\/i> Justifica claramente tu respuesta<\/b>. De nuevo la soluci\u00f3n es correcta, aunque algunos grupos encuentran el tiempo necesario por cada uno de los caminos, dieron la respuesta indicando cu\u00e1nto se tardaba en cada camino, pero no respondieron de manera expl\u00edcita la pregunta dada, esto indica que el an\u00e1lisis de la funci\u00f3n es correcto, pero no est\u00e1n pendientes de aspectos espec\u00edficos de la situaci\u00f3n planteada, en otros casos se encontraron equipos que llegaban a la soluci\u00f3n, pero no mostraron los procesos para llegar a la misma.<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th>Correcto<\/th>\n<th>Parc. Correcto<\/th>\n<th>Incorrecto<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>5<\/td>\n<td>1<\/td>\n<td>1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>El 72% de los grupos respondieron esta pregunta de manera correcta, el 14% parcialmente correcto y el 14% no respondi\u00f3 o respondi\u00f3 de manera incorrecta. Algunas de las respuestas dadas son:<br \/>\nRespuesta correcta G1:<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\">Imagen 7<\/strong><\/p>\n<p>Respuesta correcta G7:<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\">Imagen 8<\/strong><\/p>\n<p>De acuerdo con los tiempos dados es m\u00e1s r\u00e1pido la ruta n\u00famero 1 (cruzar 2km de bosque y 10 km de carretera) para llegar a la caba\u00f1a.<\/p>\n<p>En la pregunta 4: <b>Organiza los datos obtenidos en una tabla utilizando Hoja de c\u00e1lculo. Relaciona en la tabla el valor del \u00e1ngulo con el tiempo total necesario para llegar a la caba\u00f1a<\/b>. Se evidencia que todos los grupos manejan de manera correcta la hoja de c\u00e1lculo y solo un grupo no realiz\u00f3 el an\u00e1lisis correspondiente.<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th>Correcto<\/th>\n<th>Parc. Correcto<\/th>\n<th>Incorrecto<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>6<\/td>\n<td>1<\/td>\n<td>0<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>El 86% de los grupos respondieron esta pregunta de manera correcta y el 14% respondi\u00f3 de manera parcialmente correcta. Entre las respuestas dadas tenemos las siguientes:<\/p>\n<p>Respuesta G7: \u201cA continuaci\u00f3n, se presentar\u00e1 la tabla en la cual se evidencia el Angulo teta en radianes y el tiempo en diferentes momentos\u201d.<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\">Imagen 9<\/strong><\/p>\n<p>Este grupo propone una respuesta, maneja de forma adecuada la vista hoja de c\u00e1lculo de GeoGebra, pero no toma el tiempo en segundos tal como lo da el recurso.<\/p>\n<p>Respuesta correcta G3: \u201cEn la siguiente tabla se evidencia la relaci\u00f3n entre \u00e1ngulo, tiempo y distancia, tambi\u00e9n se resalta el \u00e1ngulo para el cual se recorri\u00f3 menos distancia y tiempo\u201d.<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th>\u00c1ngulo<\/th>\n<th>Tiempo<\/th>\n<th>Distancia<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>0,1974<\/td>\n<td>3,3993<\/td>\n<td>10,0<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>0,2011<\/td>\n<td>3,3610<\/td>\n<td>9,8<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>0,2054<\/td>\n<td>3,3187<\/td>\n<td>9,6<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>0,2096<\/td>\n<td>3,2785<\/td>\n<td>9,4<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>0,245<\/td>\n<td>2,9987<\/td>\n<td>8<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>0,3218<\/td>\n<td>2,6082<\/td>\n<td>6<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>0,3805<\/td>\n<td>2,4201<\/td>\n<td>5<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>0,436<\/td>\n<td>2,2407<\/td>\n<td>4<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>0,588<\/td>\n<td>2,0769<\/td>\n<td>3<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>0,8961<\/td>\n<td>1,9037<\/td>\n<td>1,6<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>1,1071<\/td>\n<td>1,8704<\/td>\n<td>1<\/td>\n<\/tr>\n<tr bgcolor=\"yellow\">\n<td>1,186<\/td>\n<td>1,868<\/td>\n<td>0,8<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>1,5658<\/td>\n<td>1,9154<\/td>\n<td>0,01<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Para los puntos 5 y 6 se pide hallar el tiempo m\u00ednimo utilizando el recurso GeoGebra. Para dar soluci\u00f3n a estos puntos cada grupo debe hacer uso de la herramienta GeoGebra, mover el deslizador, tener en cuenta los datos de la hoja de c\u00e1lculo <a href=\"\/\/www.geogebra.org\/m\/m9pchdbx\u201d\" target=\"\u201d_blank\u201d\" rel=\"noopener\">https:\/\/www.geogebra.org\/m\/m9pchdbx<\/a>, realizar la gr\u00e1fica y adem\u00e1s tener en cuenta los resultados y respuestas encontrados en los puntos anteriores para realizar comparaciones y encontrar el tiempo solicitado en el planteamiento inicial.<\/p>\n<p>En la pregunta 5: <b>De acuerdo con tus observaciones del punto anterior. <i>\u00bfCu\u00e1l es el tiempo m\u00ednimo necesario para llegar a la caba\u00f1a, siguiendo la ruta descrita? \u00bfEn qu\u00e9 direcci\u00f3n deber\u00eda caminar el excursionista para llegar m\u00e1s r\u00e1pido a la caba\u00f1a?<\/i><\/b> En esta pregunta se encontr\u00f3 que el 57% de los grupos respondi\u00f3 esta pregunta de manera correcta y el 43% respondi\u00f3 de manera parcialmente correcta.<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th>Correcto<\/th>\n<th>Parc. Correcto<\/th>\n<th>Incorrecto<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>4<\/td>\n<td>3<\/td>\n<td>0<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Entre las respuestas de los grupos tenemos las siguientes:<br \/>\nRespuesta G7: \u201cse demora 1,86 horas, cuando el Angulo teta equivale a 67,952 grados, adem\u00e1s en esa ruta es en el menor tiempo en el que la persona llega a la caba\u00f1a\u201d.<\/p>\n<p>Respuesta G3: \u201cEl tiempo m\u00ednimo necesario para llegar a la caba\u00f1a siguiendo la ruta descrita es 1,868 h, y la direcci\u00f3n en la que debe caminar es 1,186 rad\u201d.<\/p>\n<p>En la pregunta 6: <b>Compara los resultados obtenidos en (2) y (3) con el tiempo m\u00ednimo necesario para llegar a la caba\u00f1a obtenido en (6) <i>\u00bfConcuerda este resultado con tu hip\u00f3tesis en el punto (3)?<\/i> Explica tu respuesta<\/b>. En esta pregunta se encontr\u00f3 43% de los grupos respondieron esta pregunta de manera correcta y el 57% respondi\u00f3 de manera parcialmente correcta.<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th>Correcto<\/th>\n<th>Parc. Correcto<\/th>\n<th>Incorrecto<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>3<\/td>\n<td>4<\/td>\n<td>0<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>A continuaci\u00f3n, una de las respuestas correctas presentada por el G3: \u201cEl tiempo obtenido en 2 y en 3 es respectivamente 3,4 h y 1,91 h, a diferencia del resultado obtenido anteriormente (1,868 h) que, aunque es similar, no es igual, pues no se hizo el an\u00e1lisis de cada uno de los caminos posibles, solo de algunos, obteniendo un margen de error de 0,042 h\u201d.<\/p>\n<p>Respuesta parcialmente correcta por G1: \u201cEl camino en el que el excursionista llega en menor tiempo a la caba\u00f1a es de 1.868 horas; el camino de manera diagonal que toma la persona es de 3.4 horas y, finalmente, el camino en el que m\u00e1s demora tomando el bosque es de manera perpendicular a la tomada en la carretera, por lo que demora 4 horas, por ende, el tiempo m\u00ednimo al llegar es de 1.868 horas con una direcci\u00f3n de 0.6927 rad\u201d.<\/p>\n<p>En la pregunta 7: <b>Vamos ahora a construir una funci\u00f3n que modele la situaci\u00f3n planteada, es decir, queremos encontrar el tiempo total necesario para llegar a la caba\u00f1a en funci\u00f3n del \u00e1ngulo teta, para eso sigue los pasos dados a continuaci\u00f3n:<\/b><br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\">Imagen 10<\/strong><\/p>\n<p>a) Sea y la distancia recorrida por el excursionista caminando por el bosque, encuentre una expresi\u00f3n para y en t\u00e9rminos del \u00e1ngulo \u03b8.<\/p>\n<p>b) Sea x distancia recorrida por el excursionista caminando por la carretera, encuentre una expresi\u00f3n para x en t\u00e9rminos del \u00e1ngulo \u03b8.<\/p>\n<p>c) Sabiendo que por el bosque puede caminar a una velocidad de 3 km\/h, encuentre una funci\u00f3n para expresar el tiempo necesario para recorrer la distancia y en t\u00e9rminos del \u00e1ngulo \u03b8.<\/p>\n<p>d) Sabiendo que por la carretera puede caminar a una velocidad de 8 km\/h, encuentre una funci\u00f3n para expresar el tiempo necesario para recorrer la distancia x en t\u00e9rminos del \u00e1ngulo \u03b8.<\/p>\n<p>e) Teniendo en cuenta los resultados obtenidos en el punto C y D, escriba una funci\u00f3n que represente el tiempo total que necesita el excursionista para llegar a la caba\u00f1a siguiendo la ruta descrita.<\/p>\n<p>En esta pregunta se pide construir una funci\u00f3n que modele la situaci\u00f3n planteada, aqu\u00ed se observa que 6 de los 7 grupos llegaron a la respuesta correcta respondiendo cada una de las preguntas dadas y teniendo en cuenta los conceptos que se hab\u00edan revisado en la primera parte del trabajo correspondiente a pre-saberes. Veamos:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th>Correcto<\/th>\n<th>Parc. Correcto<\/th>\n<th>Incorrecto<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>6<\/td>\n<td>1<\/td>\n<td>0<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>El 86% de los grupos respondieron esta pregunta de manera correcta y el 14% respondi\u00f3 de manera parcialmente correcta ya que no justificaron cada uno de los pasos para llegar a la soluci\u00f3n, solamente presentan el resultado (funci\u00f3n que modela la situaci\u00f3n) pero no muestran la manera de llegar a ese resultado.<\/p>\n<p>En la soluci\u00f3n de esta pregunta se observa que los grupos que responden de manera correcta, aunque muestran el paso a paso que se solicitaba, solo presentan expresiones matem\u00e1ticas, no lo explican ni justifican de manera adecuada. Entre las respuestas dadas tenemos las siguientes:<\/p>\n<p>Respuesta G1:<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\">Imagen 11<\/strong><\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Imagen 12<\/strong><\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Imagen 13<\/strong><\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Imagen 14<\/strong><\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Imagen 15<\/strong><\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Imagen 16<\/strong><\/p>\n<p>Respuesta correcta, pero sin justificaci\u00f3n paso a paso \u2013 G5<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\">Imagen 17<\/strong><\/p>\n<p>En las preguntas 8, 9 y 10 se pide graficar la funci\u00f3n obtenida y encontrar el m\u00ednimo con ayuda de GeoGebra.<\/p>\n<p>En la pregunta 8: <b>Grafica la funci\u00f3n obtenida en el punto anterior<\/b>. Se encontr\u00f3 que 86% de los grupos respondieron esta pregunta de manera correcta y el 14% no respondi\u00f3 o respondi\u00f3 de manera incorrecta.<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th>Correcto<\/th>\n<th>Parc. Correcto<\/th>\n<th>Incorrecto<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>6<\/td>\n<td>0<\/td>\n<td>1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Algunas de las gr\u00e1ficas presentadas por los estudiantes fueron:<br \/>\nGr\u00e1fica G5<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\">Imagen 18<\/strong><\/p>\n<p>Los 6 grupos que respondieron la pregunta presentaron una buena gr\u00e1fica, la diferencia entre las respuestas es que algunos le hac\u00edan mayor o menor zoom a la gr\u00e1fica presentada. En la pregunta 9: <b>Analiza la gr\u00e1fica obtenida para valores del \u00e1ngulo tera en el intervalo de 0.1974 a 1.5658. <i>\u00bfPor qu\u00e9 crees que debemos considerar solamente estos valores de teta?<\/i><\/b><\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th>Correcto<\/th>\n<th>Parc. Correcto<\/th>\n<th>Incorrecto<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>3<\/td>\n<td>3<\/td>\n<td>1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>El 43% de los grupos respondieron esta pregunta de manera correcta, el 43% respondi\u00f3 de manera parcialmente correcta y el 14% respondi\u00f3 de manera incorrecta. Presentamos a continuaci\u00f3n algunas de las respuestas:<\/p>\n<p>Respuesta correcta G1: \u201cDebemos evaluar en este intervalo ya que estos son los 2 extremos del recorrido en funci\u00f3n del \u00e1ngulo\u201d.<\/p>\n<p>Respuesta correcta G3: \u201cCreemos que se debe considerar los valores de \u03f4 porque este representa el \u00e1ngulo de cada uno de los posibles caminos y direcciones que puede tomar el excursionista para llegar a la caba\u00f1a\u201d.<\/p>\n<p>Respuesta incorrecta G7: \u201cDebemos considerar estos puntos por que entre estos se encuentra el tiempo en el cual la persona se demora menos en llegar a la caba\u00f1a\u201d.<\/p>\n<p>En la pregunta 10: <b>Observando la gr\u00e1fica obtenida, <i>\u00bfcu\u00e1l es el valor m\u00ednimo de la funci\u00f3n?<\/i> Para obtenerlo puedes utilizar la siguiente funci\u00f3n de GeoGebra<\/b>:<br \/>\nM\u00ednimo [ &lt;Funci\u00f3n&gt;, &lt;Extremo inferior del intervalo&gt;, &lt;Extremo superior del intervalo&gt;]\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th>Correcto<\/th>\n<th>Parc. Correcto<\/th>\n<th>Incorrecto<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>4<\/td>\n<td>2<\/td>\n<td>1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>El 57% de los grupos respondieron esta pregunta de manera correcta, el 29% respondi\u00f3 de manera parcialmente correcta y el 14% no respondi\u00f3 la pregunta. Presentamos a continuaci\u00f3n algunas de las respuestas:<\/p>\n<p>Respuesta G7: \u201cEl m\u00ednimo corresponde a 1.86 es decir el tiempo m\u00e1s corto en el que la persona llega a la caba\u00f1a\u201d.<br \/>\nRespuesta G4: \u201cSe hall\u00f3 como resultado en GeoGebra analizando la gr\u00e1fica 1,863 su valor m\u00ednimo\u201d. Aunque la respuesta es correcta no hay una buena redacci\u00f3n de la misma.<\/p>\n<p>Respuesta G2: \u201cel valor m\u00ednimo de la funci\u00f3n es (1.19,1.87)\u201d. Este grupo presenta el valor num\u00e9rico de manera correcta pero no da ninguna explicaci\u00f3n ni justificaci\u00f3n de la misma, adjuntan una captura de pantalla de la soluci\u00f3n dada por GeoGebra:<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\">Imagen 19<\/strong><\/p>\n<p>En la pregunta 11: <b>Escribe una conclusi\u00f3n en la que compares los procesos algebraicos vs la utilizaci\u00f3n de la herramienta GeoGebra al resolver el problema planteado<\/b>:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th>Correcto<\/th>\n<th>Parc. Correcto<\/th>\n<th>Incorrecto<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>3<\/td>\n<td>3<\/td>\n<td>1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>El 14% de los grupos no respondi\u00f3 la pregunta, el 43% respondi\u00f3 de manera equivocada, es decir, no compararon los m\u00e9todos, sino que formularon una conclusi\u00f3n sobre el problema resuelto indicando c\u00f3mo lo hicieron y cu\u00e1l era la ruta que se deb\u00eda seguir para llegar m\u00e1s r\u00e1pido a la caba\u00f1a. El 43% de los estudiantes si hicieron una comparaci\u00f3n entre la soluci\u00f3n algebraica y la utilizaci\u00f3n de la herramienta computacional, entre sus respuestas tenemos:<\/p>\n<p>Respuesta G1: \u201cAl utilizar los procesos algebraicos podemos observar c\u00f3mo obtuvimos un resultado muy similar al arrojado por GeoGebra por ejemplo, algebraicamente obtuvimos el valor m\u00ednimo del \u00e1ngulo (1.868) y con respecto a la utilizaci\u00f3n del programa GeoGebra obtuvimos otro valor mucho m\u00e1s certero en la medici\u00f3n del \u00e1ngulo (1.863), en conclusi\u00f3n obtuvimos la coordenada en donde se encuentra el punto\u201d.<\/p>\n<p>Respuesta G13: \u201cEn conclusi\u00f3n, podemos decir que la relaci\u00f3n entre el proceso algebraico y el proceso en GeoGebra se complementan, porque inicialmente se realiza el proceso algebraico para as\u00ed modelar la funci\u00f3n que ser\u00e1 ingresada en GeoGebra, donde el programa autom\u00e1ticamente simplifica la modelaci\u00f3n de la funci\u00f3n y por ello evita el proceso de hallar los puntos cr\u00edticos. Es decir, GeoGebra, es una herramienta de ayuda eficaz que complementa el proceso algebraico realizado anteriormente por los estudiantes\u201d.<\/p>\n<p>Respuesta G7: \u201cEl uso de conocimientos empleados en operaciones algebraicas y en la herramienta de GeoGebra nos facilit\u00f3 el proceso del trabajo, de esta manera pudimos resolver cada punto del ejercicio, realizando operaciones para hallar funciones y en el software graficarlo para observar la funci\u00f3n y tambi\u00e9n para conocer los intervalos, m\u00ednimos absolutos, m\u00e1ximos absolutos, etc., de esta manera se concluye que no es un VS entre este si no un complemento de las mismas para lograr el mismo medio\u201d.<\/p>\n<p>En la pregunta 12: <b>Socializaci\u00f3n: Muestra el paso a paso del trabajo realizado por medio de un video, fotos organizadas en un archivo PDF, una presentaci\u00f3n, etc.<\/b><\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th>Correcto<\/th>\n<th>Parc. Correcto<\/th>\n<th>Incorrecto<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>4<\/td>\n<td>0<\/td>\n<td>3<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>El 57% de los estudiantes respondieron esta pregunta compartiendo im\u00e1genes o videos de la realizaci\u00f3n de su trabajo, el 43% no lo hicieron. Entre las im\u00e1genes presentadas por los estudiantes tenemos:<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\">Fotograf\u00edas 1<\/strong><\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">\u00bfCu\u00e1les son las lecciones aprendidas?<\/strong><br \/>\nEn la realizaci\u00f3n de la actividad se pudo evidenciar que los estudiantes lograron hallar una funci\u00f3n que describ\u00eda el tiempo necesario para llegar a la caba\u00f1a, utilizando sus conceptos previos de f\u00edsica (relaci\u00f3n velocidad, distancia y tiempo) adem\u00e1s del conocimiento previo de las razones trigonom\u00e9tricas, teniendo como base los tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos que se derivan de la situaci\u00f3n problema planteada. Despu\u00e9s de encontrar el modelo matem\u00e1tico que describ\u00eda la situaci\u00f3n, lograron utilizar el programa GeoGebra para graficar la funci\u00f3n obtenida, encontrar el m\u00ednimo de dicha funci\u00f3n y obtener sus propias conclusiones.<\/p>\n<p>En la primera parte se evidenci\u00f3 que la mayor\u00eda de los estudiantes conocen el teorema de Pit\u00e1goras y lo consideran como algo caracter\u00edstico de los tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos. Muchos de los estudiantes reconocen y utilizan bien las razones trigonom\u00e9tricas.<\/p>\n<p>En la segunda parte se evidenci\u00f3 que todos los estudiantes resolvieron el problema propuesto, logrando modelar el problema mediante una expresi\u00f3n matem\u00e1tica utilizando las razones trigonom\u00e9tricas y el concepto de velocidad. Tambi\u00e9n se observ\u00f3 que utilizaron de manera correcta el programa GeoGebra logrando as\u00ed obtener el m\u00ednimo de la funci\u00f3n planteada. Los estudiantes participaron de forma activa durante todo el proceso de construcci\u00f3n de este conocimiento. Desarrollaron actividades que les permiti\u00f3 hallar el tiempo necesario para recorrer una distancia conociendo la velocidad, interpretar tablas, calcular e interpretar las razones trigonom\u00e9tricas y obtener el valor m\u00ednimo de una funci\u00f3n. La organizaci\u00f3n intencionada de este tipo de actividades motiva a los estudiantes y les permite establecer roles m\u00e1s participativos y proactivos en el proceso de aprendizaje del c\u00e1lculo. Adicionalmente contribuye a desarrollar las competencias de modelaci\u00f3n, comunicaci\u00f3n, argumentaci\u00f3n y resoluci\u00f3n de problemas.<\/p>\n<p><strong style=\"color:#B695C0;\">Referencias<\/strong><br \/>\nArboleda, A. A. (8 de octubre de 2011). Desarrollo del pensamiento espacial y sistema geom\u00e9trico en el aprendizaje de los s\u00f3lidos regulares mediante el modelo de Van Hiele, con los estudiantes de 6 grado del colegio San Jos\u00e9 de la comunidad marista. http:\/\/funes.uniandes.edu.co\/2620\/1\/AlonsoDesarrolloAsocolme2011.pdf<\/p>\n<p>Argumentaci\u00f3n matem\u00e1tica: pr\u00e1cticas escritas e interpretaciones. (Junio de 2010). Suma+. https:\/\/pagines.uab.cat\/nuria_planas\/sites\/pagines.uab.cat.nuria_planas\/files\/suma_2010.pdf<\/p>\n<p>Espeso, P. (22 de abril de 2016). GeoGebra, una pr\u00e1ctica herramienta para aprender matem\u00e1ticas. Educaci\u00f3n 3.0. https:\/\/www.educaciontrespuntocero.com\/recursos\/herramienta-aprender-matematicas\/#:~:text=Disponible%20a%20trav%C3%A9s%20de%20la,ecuaciones%20y%20hojas%20de%20c%C3%A1lculo<\/p>\n<p>Est\u00e1ndares B\u00e1sicos de Competencias en Matem\u00e1ticas. (s.f.). Ministerio de Educaci\u00f3n Nacional. https:\/\/www.mineducacion.gov.co\/1759\/articles-116042_archivo_pdf2.pdf<\/p>\n<p>Mart\u00ednez, J. (2002): Ense\u00f1ar matem\u00e1ticas a alumnos con necesidades educativas especiales. Ediciones Praxis.<\/p>\n<p>Mimenza, O. C. (17 de noviembre de 2016). La teor\u00eda cognitiva de Jerome Bruner. Psicolog\u00eda y mente.  https:\/\/psicologiaymente.com\/psicologia\/teoria-cognitiva-jerome-bruner<\/p>\n<p>Pensamiento num\u00e9rico. (Mayo de 2014). https:\/\/matemaye.wordpress.com\/que-es-2<\/p>\n<p>Romo, A. (2015). Las t\u00e9cnicas autoinstruccionales y de soluci\u00f3n de problemas. Slide Player.  https:\/\/slideplayer.es\/slide\/1071549<\/p>\n<p>Vasco, C. E. (s.f.). http:\/\/pibid.mat.ufrgs.br\/2009-2010\/arquivos_publicacoes1\/indicacoes_01\/pensamento_variacional_VASCO.pdf<\/p>\n<p>Villa, J. A., Bustamante, C., Berrio, M., Osorio, A. &amp; Ocampo, D. (s.f.). El proceso de modelaci\u00f3n matem\u00e1tica en las aulas escolares. A prop\u00f3sito de los 10 a\u00f1os de su inclusi\u00f3n en los lineamientos curriculares colombianos. http:\/\/funes.uniandes.edu.co\/936\/1\/4Cursos.pdf<br \/>\n<\/details>\n<p>\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014<\/p>\n<details>\n<summary><strong style=\"color:#F1C40F;\">Experiencia 4. La resoluci\u00f3n de problemas en contexto real con la mediaci\u00f3n de GeoGebra<\/strong><br \/>\n<i>Yenni Mina Mosquera y Sandra Lorena Chavarria Bueno<\/i><\/summary>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<strong style=\"color:#B695C0;\">Resumen<\/strong><br \/>\nEl presente art\u00edculo se presenta como resultado de dos proyectos de investigaci\u00f3n comparativos, uno en el nivel de la media vocacional y otro en el nivel superior. Los proyectos tienen objetivos, enfoques te\u00f3ricos, dise\u00f1os metodol\u00f3gicos y actividades de aprendizajes similares para poder establecer comparaciones. El objetivo principal de los proyectos es documentar el impacto que tiene el uso sistem\u00e1tico de la tecnolog\u00eda computacional en la resoluci\u00f3n de problemas en contexto real con la mediaci\u00f3n de GeoGebra. Los resultados obtenidos muestran que las hojas de trabajo dise\u00f1adas en contexto real y el uso de tecnolog\u00eda computacional involucraron a los estudiantes en la resoluci\u00f3n de un problema que demand\u00f3 una participaci\u00f3n m\u00e1s activa de parte de los estudiantes en el proceso de aprendizaje. El ambiente de aula que se propici\u00f3 en la investigaci\u00f3n ayud\u00f3 a los estudiantes a interactuar con la tecnolog\u00eda, a medir y tomar datos, procesarlos e interpretarlos, a utilizar diversas representaciones semi\u00f3ticas de la funci\u00f3n lineal, a comunicar y a argumentar ideas relativas a este objeto matem\u00e1tico.<br \/>\n<\/details>\n<p>\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014<br \/><\/li><li class=\"tab-pane \" id=\"ert_pane1-6\"><details>\n<summary><b>David Ben\u00edtez Mojica<\/b>, Universidad del Valle (Cali, Colombia)<\/summary>\n<p>Profesor de tiempo completo en la Facultad de Educaci\u00f3n y Pedagog\u00eda de la Universidad del Valle. Licenciado en Matem\u00e1ticas y F\u00edsica, por la Universidad del Tolima, Ibagu\u00e9-Tolima; mag\u00edster en Ciencias con especialidad en Matem\u00e1tica Educativa del CINVESTAV-M\u00e9xico y doctor en Ciencias con especialidad en Matem\u00e1tica Educativa del CINVESTAV-M\u00e9xico. Ha escrito varios art\u00edculos de investigaci\u00f3n en la l\u00ednea de resoluci\u00f3n de problemas de matem\u00e1ticas con la mediaci\u00f3n de tecnolog\u00edas digitales. Obtuvo el premio clase 2010 por el instituto para el fomento de la investigaci\u00f3n educativa (IFIE) en M\u00e9xico por sus trabajos relacionados con el desarrollo de competencias disciplinares de matem\u00e1ticas. Ha sido parte del grupo acad\u00e9mico que ha liderado el diplomado en dise\u00f1o de ambientes de aprendizaje con fundamento en la resoluci\u00f3n de problemas y con la mediaci\u00f3n de tecnolog\u00edas digitales.<br \/>\nCorreo electr\u00f3nico: david.benitez[@]correounivalle.edu.co<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><a href=\"https:\/\/orcid.org\/0000-0002-8766-4410\" target=\"_blank\" title=\"ORCID iD\" rel=\"noopener noreferrer\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-1012\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/ORCIDiD_icon16x16.png\" style=\"margin-right: 6px;\" alt=\"Icono ORCID\" width=\"16\" height=\"16\"><\/a><b>Hendel Yaker Agudelo<\/b>, Universidad Icesi (Cali, Colombia)<\/summary>\n<p>Licenciado en Matem\u00e1tica y F\u00edsica, por la Universidad del Valle, Cali-Valle del Cauca; mag\u00edster en matem\u00e1ticas de la Universidad del Valle. Miembro fundador del Instituto GeoGebra de Cali (IG Cali), con el cual viene trabajando desde 2015 en diferentes procesos de investigaci\u00f3n en educaci\u00f3n matem\u00e1tica y de ejecuci\u00f3n de proyectos orientados al desarrollo profesional de los docentes de matem\u00e1ticas en la regi\u00f3n del Valle del Cauca. Hace parte del grupo acad\u00e9mico que lidera el diplomado en dise\u00f1o de ambientes de aprendizaje con fundamento en la resoluci\u00f3n de problemas y con la mediaci\u00f3n de tecnolog\u00edas digitales, en representaci\u00f3n del IG Cali y del Departamento de Matem\u00e1ticas y Estad\u00edstica de la Universidad Icesi.<br \/>\nCorreo electr\u00f3nico: hyaker[@]icesi.edu.co<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><a href=\"https:\/\/orcid.org\/0000-0003-3298-9979\" target=\"_blank\" title=\"ORCID iD\" rel=\"noopener noreferrer\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-1012\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/ORCIDiD_icon16x16.png\" style=\"margin-right: 6px;\" alt=\"Icono ORCID\" width=\"16\" height=\"16\"><\/a><b>Henry Arley Taquez<\/b>, Universidad Icesi (Cali, Colombia)<\/summary>\n<p>Profesor del departamento de pedagog\u00eda de la Escuela de Ciencias de la Educaci\u00f3n y Coordinador del \u00e1rea de educaci\u00f3n y TIC del Centro de Recursos para el Aprendizaje de la Universidad Icesi, donde lidera procesos de formaci\u00f3n docente y la gesti\u00f3n de proyectos educativos mediados por las Tecnolog\u00edas de la Informaci\u00f3n y la comunicaci\u00f3n (TIC). Hace parte del grupo de investigaci\u00f3n IRTA Investigaci\u00f3n en Recursos y Tecnolog\u00edas para el Aprendizaje de la misma universidad. Sus actuales intereses de investigaci\u00f3n est\u00e1n en el aprendizaje activo, los entornos virtuales de aprendizaje, la gesti\u00f3n de la innovaci\u00f3n educativa y el desarrollo profesional docente.M\u00e1ster en Sociedad de la Informaci\u00f3n y el Conocimiento con \u00e9nfasis en e-learning por la Universidad Abierta de Catalu\u00f1a de Barcelona &#8211; Espa\u00f1a, especialista en Sistemas Gerenciales de Ingenier\u00eda con \u00e9nfasis en Gerencia Inform\u00e1tica de la Pontificia Universidad Javeriana Cali e ingeniero de sistemas de la Universidad del Valle.<br \/>\nCorreo electr\u00f3nico: hataquez[@]icesi.edu.co<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><b>Edilma Quiceno Mesa<\/b>, Instituci\u00f3n Educativa T\u00e9cnica de Comercio Sim\u00f3n Rodr\u00edguez (Cali, Colombia)<\/summary>\n<p>Docente de Preescolar del sector oficial del Distrito de Santiago de Cali, labora en la Instituci\u00f3n Educativa T\u00e9cnica de Comercio Sim\u00f3n Rodr\u00edguez, actualmente pertenece al Grupo de investigaci\u00f3n CILEE (Cali Investiga Lee y Escribe). Licenciada en Educaci\u00f3n preescolar de la Universidad del Quind\u00edo, con tres especializaciones: Especialista en Educaci\u00f3n y Orientaci\u00f3n Familiar de la Fundaci\u00f3n Universitaria Monserrate de Bogot\u00e1 D.C, Especialista en inform\u00e1tica y Multimedios de la Fundaci\u00f3n Universitaria Libertadores de Bogot\u00e1 D.C y Especialista en Tecnolog\u00eda en inform\u00e1tica de la universidad Virtual de Santander, (CVUDES). Ha realizado dos Maestr\u00edas, la primera en Gesti\u00f3n de la Tecnolog\u00eda Educativa del Centro de Educaci\u00f3n Virtual de la Universidad de Santander y la segunda en Educaci\u00f3n con \u00e9nfasis en matem\u00e1ticas de la Universidad del Valle.<br \/>\nCorreo electr\u00f3nico: equime69[@]gmail.com<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><b>Yolanda Gir\u00f3n Colorado<\/b>, Colegio Berchmans (Cali, Colombia)<\/summary>\n<p>Maestra de primaria del Colegio Berchmans desde hace 15 a\u00f1os; licenciada en Educaci\u00f3n Preescolar de la Universidad de Manizales. Ha realizado los diplomados: Dise\u00f1o de ambientes de aprendizaje con fundamento en la resoluci\u00f3n de problemas, con la mediaci\u00f3n de tecnolog\u00edas digitales y Diplomado en integraci\u00f3n de las TIC en las pr\u00e1cticas pedag\u00f3gicas. Actualmente participa en el grado tercero, en la implementaci\u00f3n de proyectos interdisciplinares desde la integraci\u00f3n de las \u00e1reas de Matem\u00e1ticas, Lenguaje, Sociales y Educaci\u00f3n religiosa.<br \/>\nCorreo electr\u00f3nico: yolanda.giron[@]berchmans.edu.co<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><b>Liliana Margarita Plaza Lafaurie<\/b>, Colegio Berchmans (Cali, Colombia)<\/summary>\n<p>Maestra de primaria del Colegio Berchmans desde hace 23 a\u00f1os; licenciada en Educaci\u00f3n Preescolar de la Universidad de San Buenaventura. Realiz\u00f3 el diplomado: Dise\u00f1o de ambientes de aprendizaje con fundamento en la resoluci\u00f3n de problemas, con la mediaci\u00f3n de tecnolog\u00edas digitales. Actualmente participa en el grado tercero, en la implementaci\u00f3n de proyectos interdisciplinares desde la integraci\u00f3n de las \u00e1reas de Matem\u00e1ticas, Lenguaje, Sociales y Educaci\u00f3n religiosa.<br \/>\nCorreo electr\u00f3nico: liliana.plaza[@]berchmans.edu.co<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><b>Luis Alberto Mosquera Torres<\/b>, Colegio Berchmans (Cali, Colombia)<\/summary>\n<p>Profesor de tiempo completo del Colegio Berchmans de la ciudad de Cali por los \u00faltimos 15 a\u00f1os, en los sectores de primaria y bachillerato. Estudi\u00f3 licenciatura en matem\u00e1ticas y f\u00edsica en la Universidad del Valle. En su proceso de formaci\u00f3n hizo parte de la l\u00ednea de lenguaje, razonamiento y comunicaci\u00f3n de conocimientos y saberes matem\u00e1ticas, del \u00e1rea de educaci\u00f3n matem\u00e1tica de la Universidad, como asistente de investigaci\u00f3n. Ha participado en procesos de formaci\u00f3n continua con la Universidad ICESI y el Instituto GeoGebra Cali.<br \/>\nCorreo electr\u00f3nico: luis.mosquera[@]berchmans.edu.co<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><b>Yenny Cifuentes Bocanegra<\/b>, Instituci\u00f3n Educativa Libardo Madrid Valderrama (Cali, Colombia)<\/summary>\n<p>Profesora con nombramiento oficial de la Secretar\u00eda de Educaci\u00f3n de Cali y docente de primaria de la Instituci\u00f3n Educativa Libardo Madrid Valderrama de la misma ciudad. Licenciada en educaci\u00f3n b\u00e1sica con \u00e9nfasis en matem\u00e1ticas de la Universidad del Valle. Magister en Educaci\u00f3n de la Universidad Icesi y egresada del Diplomado en dise\u00f1o de ambientes de aprendizaje basados en soluci\u00f3n de problemas matem\u00e1ticos y mediados con tecnolog\u00eda. Participante de \u201cExperiencias significativas e innovaciones pedag\u00f3gicas de las instituciones educativas oficiales del municipio de Cali 2019.<br \/>\nCorreo electr\u00f3nico: yenny2815[@]hotmail.com<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><b>Yari Carime Riascos Moscoso<\/b>, Instituci\u00f3n Educativa Jos\u00e9 Manuel Saavedra Galindo (Cali, Colombia)<\/summary>\n<p>Profesora con nombramiento oficial de la Secretar\u00eda de Educaci\u00f3n de Cali y docente de primaria de la Instituci\u00f3n Educativa Jos\u00e9 Manuel Saavedra Galindo, sede Nuestra Se\u00f1ora de F\u00e1tima de la ciudad de Cali. Licenciada en educaci\u00f3n b\u00e1sica con \u00e9nfasis en matem\u00e1ticas de la Universidad Santiago de Cali. Magister en Educaci\u00f3n de la Universidad Icesi y egresada del Diplomado en dise\u00f1o de ambientes de aprendizaje basados en soluci\u00f3n de problemas matem\u00e1ticos y mediados con tecnolog\u00eda.<br \/>\nCorreo electr\u00f3nico: yaricarime[@]hotmail.es<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><b>Manuel Alberto Marinez Castillo<\/b>, Colegio Berchmans (Cali, Colombia)<\/summary>\n<p>Profesor de tiempo completo durante seis a\u00f1os del colegio Berchmans. Durante este tiempo ayud\u00f3, con apoyo del departamento de Matem\u00e1ticas de la Instituci\u00f3n, a desarrollar los fundamentos del pensamiento aleatorio y estad\u00edstico del \u00e1rea de Matem\u00e1ticas de la instituci\u00f3n. Esto, con el objetivo de que los estudiantes desarrollaran una cultura de pensamiento estad\u00edstico. Licenciado en Matem\u00e1ticas y F\u00edsica por la Universidad del Valle; Mag\u00edster en Educaci\u00f3n Matem\u00e1tica por la Universidad del Valle.<br \/>\nCorreo electr\u00f3nico: mmarinezc[@]gmail.com<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><b>Juli\u00e1n Enrique C\u00f3rdoba Castrill\u00f3n<\/b>, Colegio Berchmans (Cali, Colombia)<\/summary>\n<p>Profesor de matem\u00e1ticas del colegio Berchmans, egresado de la Universidad Santiago de Cali con el t\u00edtulo de Licenciado en B\u00e1sica con \u00c9nfasis en Matem\u00e1ticas. Actualmente desempe\u00f1a la misi\u00f3n de coordinador del \u00e1rea de matem\u00e1ticas del colegio. Es titulado tambi\u00e9n como Normalista Superior en el a\u00f1o 2003, su trabajo lo ha dedicado a los procesos de ense\u00f1anza en el sector escolar, participando como docente y directivo, haciendo parte tambi\u00e9n del proceso de acompa\u00f1amiento a estudiantes que participan en las olimpiadas de matem\u00e1ticas a nivel nacional.<br \/>\nCorreo electr\u00f3nico: julian.cordoba[@]berchmans.edu.co<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><b>Hever Mar\u00edn<\/b>, Colegio Berchmans (Cali, Colombia)<\/summary>\n<p>Profesor de tiempo completo en el Colegio Berchmans-compa\u00f1\u00eda de Jes\u00fas-Cali. Es licenciado en matem\u00e1ticas y f\u00edsica por la universidad del Valle, Cali; Ingeniero de sistemas por la universidad Santiago de Cali, Actualmente se desempe\u00f1a como profesor de f\u00edsica y est\u00e1 desarrollando el proyecto Makerslab Berchmans, donde se busca implementar la impresi\u00f3n 3D en el aula de clase.<br \/>\nCorreo electr\u00f3nico: hever.marin[@]berchmans.edu.co<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><b>Yeni Marcela Betancur Aristiz\u00e1bal<\/b>, Colegio Berchmans (Cali, Colombia)<\/summary>\n<p>Profesora del colegio Berchmans, en la ciudad de Cali. Licenciada en educaci\u00f3n b\u00e1sica con \u00e9nfasis en Matem\u00e1ticas de la Universidad de Antioquia, Magister en la Ense\u00f1anza de las ciencias exactas y naturales de la Universidad Nacional, sede Medell\u00edn.<br \/>\nCorreo electr\u00f3nico: yeni.betancur[@]berchmans.edu.co<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><b>Urbano Rengifo Hern\u00e1ndez<\/b>, Colegio Berchmans (Cali, Colombia)<\/summary>\n<p>Profesor de tiempo completo en el Colegio Berchmans de Cali. Licenciado en Educaci\u00f3n con especialidad en Matem\u00e1ticas por la Universidad Santiago de Cali; Especialista en Educaci\u00f3n Matem\u00e1ticas por la Universidad del Valle.<br \/>\nCorreo electr\u00f3nico: urbano.rengifo[@]berchmans.edu.co<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><b>Natalia Amu Mancilla<\/b>, Universidad del Valle (Cali, Colombia)<\/summary>\n<p>Egresada de la Instituci\u00f3n educativa PBRO Horacio G\u00f3mez Gallo; Estudiante de pregrado de Licenciatura B\u00e1sica con \u00c9nfasis en Matem\u00e1tica en la Facultad de Educaci\u00f3n y Pedagog\u00eda de la Universidad del Valle, Cali-Valle del Cauca. Monitora de docencia en la Facultad de Educaci\u00f3n y Pedagog\u00eda. Asisti\u00f3 al V SEMINARIO sobre el uso de las TIC en los procesos de Ense\u00f1anza-Aprendizaje. Dise\u00f1o de tareas basado en herramientas digitales. Ha realizado diferentes cursos de pedagog\u00eda que ofrece el SENA y tambi\u00e9n he realizado diferentes diplomados con el fin de complementar mi formaci\u00f3n profesional.<br \/>\nCorreo electr\u00f3nico: natalia.amu[@]correounivalle.edu.co<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><b>Jenny Carolina Choco P.<\/b>, Universidad del Valle (Cali, Colombia)<\/summary>\n<p>Egresada de la instituci\u00f3n educativa Fundaci\u00f3n Santa Isabel de Hungr\u00eda; estudiante de pregrado del programa Licenciatura en B\u00e1sica con \u00e9nfasis en Educaci\u00f3n matem\u00e1tica en la Facultad de Educaci\u00f3n y Pedagog\u00eda de la Universidad del valle, Cali-Valle del Cauca, Colombia. Asist\u00ed al taller seminario de Formaci\u00f3n de l\u00edderes Innovadores Ofrecido por Profuturo. Asisti\u00f3 al V Seminario sobre el uso de las TIC en los procesos de Ense\u00f1anza-Aprendizaje. Dise\u00f1o de Tareas basado en herramientas Digitales. Curs\u00e9 los programas de educaci\u00f3n continua Asesor\u00eda para el uso de las TIC en la formaci\u00f3n, Estrategias Pedag\u00f3gicas Para el Desarrollo del Pensamiento, ofrecido por el Sena.<br \/>\nCorreo electr\u00f3nico: jenny.choco[@]correounivalle.edu.co<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><b>Diana Marcela Escobar Mu\u00f1oz<\/b>, Universidad del Valle (Cali, Colombia)<\/summary>\n<p>Egresada de la Instituci\u00f3n Educativa Joaqu\u00edn de Cayzedo y Cuero, Cali. Profesora de tiempo completo en el Colegio Franciscano de P\u00edo XII. Licenciada en educaci\u00f3n b\u00e1sica con \u00e9nfasis en matem\u00e1ticas de la Universidad del Valle, Cali. Creadora del emprendimiento Max Math-Juegos did\u00e1cticos.<br \/>\nCorreo electr\u00f3nico: escobar.diana[@]correounivalle.edu.co<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><b>Elena Freire-Gard<\/b>, Ceibal (Montevideo, Uruguay)<\/summary>\n<p>Correo electr\u00f3nico: efreire[@]docente.ceibal.edu.uy<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><b>Cintya Gonzales Hern\u00e1ndez<\/b>, Pontificia Universidad Cat\u00f3lica del Per\u00fa (Lima, Per\u00fa)<\/summary>\n<p>Correo electr\u00f3nico: cintya.gonzales[@]pucp.pe<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><b>Oneida Quiroga Gonz\u00e1lez<\/b>, Universidad de los Andes (Bogot\u00e1, Colombia)<\/summary>\n<p>Correo electr\u00f3nico: oneida.quiroga1302[@]gmail.com<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><b>Yasm\u00edn Johanna Garc\u00eda<\/b>, Universidad Icesi (Cali, Colombia)<\/summary>\n<p>Correo electr\u00f3nico: yasmin.garcia[@]u.icesi.edu.co<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><b>Paula Andrea Gonz\u00e1lez Parra<\/b>, Universidad Aut\u00f3noma de Occidente (Cali, Colombia)<\/summary>\n<p>Correo electr\u00f3nico: pagonzalez[@]uao.edu.co<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><b>Lina Esperanza Soto Archila<\/b>, Universidad Industrial de Santander (Bucaramanga, Colombia)<\/summary>\n<p>Correo electr\u00f3nico: lina.soto[@]sanpedro.edu.co<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><b>Yenni Mina Mosquera<\/b>, Universidad del Valle (Cali, Colombia)<\/summary>\n<p>Correo electr\u00f3nico: yenni.mina[@]correounivalle.edu.co<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><b>Sandra Lorena Chavarria Bueno<\/b>, Universidad Icesi (Cali, Colombia)<\/summary>\n<p>Correo electr\u00f3nico: slchavarria[@]icesi.edu.co<br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details><\/li><li class=\"tab-pane \" id=\"ert_pane1-7\"><u>Cap\u00edtulo II<\/u><br \/>\n<i>Experiencia 1<\/i><\/p>\n<details>\n<summary><strong style=\"color:#b695c0;\"><i>Anexo A. Test de Entrada<\/i><\/strong><\/summary>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Anexo-A.jpg\" align=\"center\"><\/p>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><strong style=\"color:#b695c0;\"><i>Anexo B:. Hoja de Trabajo N\u00b01<\/i><\/strong><\/summary>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Anexo-B.jpg\" align=\"center\"><\/p>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<u>Cap\u00edtulo III<\/u><br \/>\n<i>Experiencia 1<\/i><\/p>\n<details>\n<summary><strong style=\"color:#b695c0;\"><i>Anexo A. Hoja de trabajo<\/i><\/strong><\/summary>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_19.jpg\" align=\"center\"><br \/>\n<img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_20.jpg\" align=\"center\"><br \/>\n<img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_21.jpg\" align=\"center\"><br \/>\n<img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_22.jpg\" align=\"center\"><br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><strong style=\"color:#b695c0;\"><i>Anexo B. Resultados registrados interpretados a las respuestas de los estudiantes<\/i><\/strong><\/summary>\n<p><b>Observaci\u00f3n<\/b>: en la tabla se registran las respuestas, a las 7 preguntas seleccionadas, de los 30 estudiantes. Si la respuesta del estudiante da cuenta de la competencia que se desea identificar en ellos, se registra 1 y 0 en el caso contrario o si no da respuesta.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_AnexoB.png\" align=\"center\"><br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<i>Experiencia 3<\/i><\/p>\n<details>\n<summary><strong style=\"color:#b695c0;\"><i>Anexo A. Prueba diagn\u00f3stica<\/i><\/strong><\/summary>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_33.jpg\" align=\"center\"><br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><strong style=\"color:#b695c0;\"><i>Anexo B. Hoja de trabajo (actividad 1)<\/i><\/strong><\/summary>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_34.jpg\" align=\"center\"><br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><strong style=\"color:#b695c0;\"><i>Anexo C. Hoja de trabajo (actividad 2)<\/i><\/strong><\/summary>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_35.jpg\" align=\"center\"><br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><strong style=\"color:#b695c0;\"><i>Anexo D. Hoja de trabajo (evaluaci\u00f3n final)<\/i><\/strong><\/summary>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Cap3_36.jpg\" align=\"center\"><br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details>\n<details>\n<summary><strong style=\"color:#b695c0;\"><i>Anexo E. Hoja de trabajo (sitio web: Funci\u00f3n Lineal)<\/i><\/strong><\/summary>\n<p><a href=\"https:\/\/sites.google.com\/view\/elementos-de-la-fucion-lineal\/inicio\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/sites.google.com\/view\/elementos-de-la-fucion-lineal\/inicio<\/a><br \/>\n&nbsp;<br \/>\n<\/details><\/li><\/ul><\/div><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>T\u00edtulo completo: Experiencias significativas en educaci\u00f3n matem\u00e1tica. Editores acad\u00e9micos: David Ben\u00edtez Mojica, Hendel Yaker Agudelo y Henry Arley Taquez. Autores: Edilma Quiceno Mesa, Yolanda Gir\u00f3n Colorado, Liliana Margarita Plaza Lafaurie, Luis Alberto Mosquera, Yenny Cifuentes Bocanegra, Yari Carime Riascos Moscoso, Manuel Alberto Marinez Castillo, Juli\u00e1n Enrique C\u00f3rdoba, Hevert Marin Castillo, Yeni Marcela Betancur Aristiz\u00e1bal, Urbano [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":6409,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[441],"tags":[786,902,822,794,793,790,789,788,787,56,785,779,699,682,453,359,325,266],"class_list":["post-5673","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-coleccion-discernir","tag-primaria","tag-fch","tag-filcali-2022","tag-instituciones-educativas","tag-ensenanza-de-las-matematicas","tag-david-benitez-mojica","tag-hendel-yaker-agudelo","tag-henry-arley-taquez-quenguan","tag-experiencias-significativas","tag-profesores-universitarios","tag-bachillerato","tag-geogebra","tag-matematica","tag-682","tag-educacion-superior","tag-educacion","tag-libro-de-texto","tag-ece"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5673","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=5673"}],"version-history":[{"count":9,"href":"https:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5673\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":8651,"href":"https:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5673\/revisions\/8651"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-json\/wp\/v2\/media\/6409"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=5673"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=5673"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.icesi.edu.co\/editorial\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=5673"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}